专题2.2 函数的单调性与最值-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题2.2 函数的单调性与最值-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题22函数的单调性与最值解析版doc、专题22函数的单调性与最值原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。

第二篇 函数、导数及其应用
专题2.2 函数的单调性与最值
【考纲要求】
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义
【命题趋势】
函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 (2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【素养清单•常用结论】
在公共定义域内：
(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；
(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
2．【2019年高考天津理数】已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
，
，即，
所以.
故选A.
【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，但，则A错，排除A；
由，知B错，排除B；
取，满足，但，则D错，排除D；
因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
5．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
6．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
因为，
所以，
即，
解得，
所以
故选D.
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．
7．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
【答案】B　
【解析】 由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B．
8．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
【答案】C　
【解析】 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C．
9．函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为__________．
【答案】 (－∞，－2)
【解析】 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
10．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
【答案】 [2，＋∞)
【解析】 因为f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当x∈[2－a，＋∞)时，函数f(x＋a)单调递增，所以2－a≤0，所以a≥2.
【考法拓展•题型解码】
考法一　确定函数的单调性或单调区间
解题技巧；确定函数单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．
【例1】 判断并证明函数f(x)＝(其中a≠0)在x∈(－1,1)上的单调性．
【答案】见解析
【解析】 设－1 f(x)＝a＝a，则f(x1)－f(x2)＝a－a＝.
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝(x2－3x＋2)．
【答案】见解析
【解析】 (1)由于y＝
即y＝
画出函数图象，如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．

(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数是y＝u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.
所以函数y＝(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴为x＝，且开口向上，所以u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y＝(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
考法二　求函数的最值(值域)
解题技巧：求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：先确定函数单调性或函数的图象，再由单调性或函数的图象求最值(值域)．
(2)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)．
(3)分离常数法：形如y＝(ac≠0)的函数的最值(值域)经常使用“分离常数法”求解．
(4)配方法：配方法是求“二次函数型函数”最值(值域)的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的最值(值域)问题，均可使用配方法．
另外，还可用判别式法、有界性法等来求最值(值域)．
【例3】 (1)函数f(x)＝的最大值为__________．
(2)函数y＝x＋的最小值为__________．
【答案】(1)2　(2)1
【解析】 (1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
(2)令t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝2＋，又因为t≥0，所以y≥y(0)＝1.故函数y＝x＋的最小值为1.
【例4】 求下列函数的值域．
(1)y＝，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋；
(3)y＝x＋4＋；(4)y＝；
(5)y＝＋.
【答案】见解析
【解析】(1)(有界性法)由y＝，得x＝.因为－3≤x≤－1，所以－3≤≤－1，解得≤y≤3，所以函数的值域为.
(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，则x＝，所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋.所以t＝，即x＝时，y取最大值，ymax＝，且y无最小值，所以函数的值域为.
(3)(三角换元法)令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3sin＋4.因为0≤θ≤π，所以≤θ＋≤，所以－≤sin≤1.所以1≤y≤3＋4，所以函数的值域为[1,3＋4]．
(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，整理得(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0，显然y≠2，将上式看作关于x的一元二次方程，易知原函数的定义域为R，则上述关于x的一元二次方程有实根，所以[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0，解不等式得－≤y≤2，又y≠2，所以原函数的值域为.
(5)(数形结合法)如图，函数y＝＋的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(－3,4)和点B(5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出点B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小，所以ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，所以函数的值域为[10，＋∞)．

考法三　函数单调性的应用
归纳总结
(1)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．
(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．
【例5】 (1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f ，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．c 【答案】C
【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－f ＝f(log25)．因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以c (2)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，得－≤a<0.综上所述，得－≤a≤0.故选D．
【例6】 (2019·兰州模拟)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.
【答案】见解析
【解析】(1)证明：设x1，x2∈R，且x10，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为增函数．
(2)因为m，n∈R，不妨设m＝n＝1，所以f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，所以f(1)＝2，所以f(a2＋a－5)<2＝f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2＋a－5<1⇒－3 【易错警示】
易错点　混淆“单调区间”和“区间上单调”
【典例】 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4的单调减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是__________．
【错解】：a≤－3　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.
【错因分析】：错解中混淆了“单调区间”和“区间上单调”两个概念，把单调区间误认为是在区间上单调．
【正解】：a＝－3　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
误区防范
“单调区间”与“在区间上单调”的区分：
(1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．
(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间．
【跟踪训练】 若函数f(x)＝a|b－x|＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a，b的取值范围分别为__________．
【答案】(0，＋∞)，
【解析】因为|b－x|＝|x－b|，y＝|x－b|的图象如下：

因为f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b＝0，a>0.
【递进题组】
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】D　
【解析】 由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
2．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0”的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
【答案】C　
【解析】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，排除A，D项；B项中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；C项中，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
3．已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1) A． B．
C． D．
【答案】A　
【解析】由函数f(x)为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f(2x－1) 4．函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为__________．
【答案】 [3，＋∞)
【解析】 因为函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)内恒成立，即a≥x在(0,2)内恒成立，而x<3，故a≥3.
5．若对∀x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数g(x)＝＋f(x)＋3在
[－2 019，2 019]上的最大值M与最小值m的和M＋m＝__________.
【答案】 6
【解析】 对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，有f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0，令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，则f(x)＋f(－x)＝0.所以f(x)为奇函数，又设函数φ(x)＝，φ(x)为奇函数，则g(x)＝φ(x)＋f(x)＋3，而φ(x)＋f(x)为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，所以奇函数g(x)－3的最大值为M－3，最小值为m－3，且M－3＋m－3＝0，所以M＋m＝6.
【考卷送检】
一、选择题
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
【答案】C　
【解析】 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝3－x为减函数．当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
【答案】A　
【解析】 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(2019·烟台九中期末)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
【答案】B　
【解析】 因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即m＝－2.
4．(2019·南昌二中月考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤.综上，a的取值范围是.
5．(2019·黄石二中期中)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a A．－1 B．1
C．6 D．12
【答案】C　
【解析】 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1 6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【答案】D　
【解析】 因为f(x)＝所以函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x，此时x≤－1；当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)，此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D．

二、填空题
7．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
【答案】 6
【解析】 易知f(x)在[a，b]上为减函数，
所以即所以所以a＋b＝6.
8．已知函数f(x)＝，则该函数的单调增区间为________．
【答案】 [3，＋∞)
【解析】 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间为[3，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－ 三、解答题
10．已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】 (1)定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，
所以值域为{y|y≠1}．
(2)证明：设00，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x∈[2,8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝.
11．(2019·福州一中期中)已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减 ，求a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：任取x1＜x2＜－2，则作差可得f(x1)－f(x2)＝－＝.因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任取1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．
12．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1 因为1≤x11，所以2x1x2－1>0.
又x1－x2<0，所以f(x1) (2)因为在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，
则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
13．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
【答案】见解析
【解析】 (1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，所以f ＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f ＝f(x1)－f(x2)得f ＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为－2.