河南省顶尖名校2021-2022学年高三下学期第二次素养调研文科数学试题及答案

河南省顶尖名校2021-2022学年高三下学期第二次素养调研

文科数学试卷

    本试卷考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：

    1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。

    2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x｜2x－x2≤0}，B＝{x｜x＜1}，则A∪B＝

A．{x｜x≤0}                       B．{x｜x＜1}    

C．{x｜x＜1或x≥2}                D．{x｜x≤0或x≥2}

2．已知z（2＋i）＝i－1，则z的虚部为

    A．        B．           C．             D．

3．在等差数列{}中，＋＝，＋＝，则＝

A．60           B．64             C．78              D．84

4．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．下图是2012—2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是

    A．这9年我国快递业务量有增有减

    B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51．4％

    C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36％

    D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

5．已知，则

    A．－         B．－           C．              D．

6．已知函数f（x）＝x3－ax2－8x的导函数为偶函数，则f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为

A．4x－y－16＝0                    B．x－4y－16＝0    

C．2x－y－8＝0                     D．4x－y＋4＝0

7．已知函数，若实数m满足≥2f（1），则实数m的取值范围是

A．（0，]      B．[，3]          C．[1，3]          D．[3，＋∞）

8．已知函数（A＞0，＞0，｜｜＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则g（x）的解析式为

    A．g（x）＝sin2x                   B．

    C．             D．

9．一个长方体的平面展开图如图所示，其中AB＝4，AD＝2，DH＝，点M为AB的中点，则将该长方体还原后，AH与CM所成角的余弦值为

    A．           B．            C．             D．

10．在西方，人们把宽与长之比为（≈0．618）的矩形称为黄金矩形，这个比例（≈0．618）被称为黄金分割比例．黄金分割比例符合人类潜意识里的审美观，给人以强烈的视觉美感，因此在绘画、设计、建筑等领域有着广泛的应用．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD，矩形BCFE，矩形EBHG，矩形GEJI，矩形GKLI均为黄金矩形．现从图中随机取一点P，则点P恰好落在黄金矩形GKLI内的概率为

A．    B．

C．    D．

11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，若·＝·，且＝，则C的离心率为

    A．2            B．          C．           D．

12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满足AB＝BC＝CD＝DA＝DB＝10 cm，AC＝15 cm，则该“鞠”的表面积为

    A．cm2                       B．cm2

C．cm2                       D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．下图是某高速公路测速点在2021年2月1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度（单位：km／h）的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m＝__________，据此图可

得在该段时间内过往车辆的平均速度约为__________km／h．（本小题第一空2分，第二

空3分）

14．设为等比数列{}的前项和，且－＝，＝，则的值是__________．

15．已知函数（x＞0）图象的一条切线l1与直线l2：3x－4y＝0垂直，则l1的方程为__________．

16．已知在正四面体ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的中点．若BE＋EF的最小值为，则该四面体外接球的表面积是__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（一）必考题：共60分．                                                             

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．

（1）求角C的大小；

（2）若c=，a2+b2=10，求△ABC的面积．

18．已知直三棱柱中，，△ABC为等腰直角三角形, ，、分别是和的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)求三棱锥的体积．

19．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如表对应数据：

（1）求线性回归方程；

（2）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额.

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：， .

20．已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点．

（1）求椭圆的方程．

（2）是否存在直线，使得的面积为?  若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值及该切线方程；

（2）若关于x的不等式 恒成立，求正数的最小值.

（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线和射线与的交点分别为，，求的面积．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若，求a的取值范围．

文科数学答案

CDCDB     ADCBD   DB

17．解:（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，

∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，

∴cosC=，∵0＜C＜π，∴∠C=．    …………6分

（2）∵c=，a2+b2=10，，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，

即7=10﹣ab，解得ab=3，

∴△ABC的面积S===． …………12分

18． (1)证明：∵为等腰直角三角形，，

∴，又，

∴四边形为正方形，又、分别是和的中点，∴，

又∵为的中点，∴，

又∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面平面，又平面平面，

∴平面，又∵平面，∴，

又，∴平面；   …………6分

(2)解：∵，由（1）可知平面，

∵，，

∴．    …………12分

19．解:（1）由表中数据，计算，，

，

，

则，，

所以关于的线性回归方程是；     …………10分

（2）当时，，

所以预测当广告费支出7百万元时，销售额为63百万元.  …………12分

20.解：（1）设，因为直线的斜率为，，

所以，可得，

又因为，所以，所以，

所以椭圆的方程为．  …………4分

（2）假设存在直线，使得的面积为，

当轴时，不合题意，

设，，直线的方程为，

联立 消去得：，

由可得或，

，，

所以

，

点到直线的距离，

所以，

整理可得：即，

所以或，所以或，

所以存在直线：或使得的面积为. …………12分

21.解

，由题意知，

解得，所以

所以切点坐标为，又切线斜率为2，

故所求的切线方程为，即.  …………4分

（2）函数的定义域为，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为

不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，

即恒成立，

令显然在上单调递增，且，

所以等价于，所以

即，所以，所以的最小值为   …………12分

22．解：（1）将曲线的参数方程化为普通方程为：

即：

根据，，可得：，即，所以，

曲线的极坐标方程为：   …………5分

（2）分别将和代入曲线的极坐标得：

，

所以，

.  …………10分

23．解：(1)

因为，

于是得不等式等价于或或，

解得：，解得：，解得：，综上得：，

所以不等式的解集为.   …………5分

(2)当，即时，恒成立，则，

当，即时，恒成立．

而，当且仅当，即或，

即当或时，取最小值3，于是得，

综上，a的取值范围是.  …………10分