2022届河北省张家口市高三下学期3月一模考试数学试题含解析

2022年普通高等学校招生全国统一模拟考试

数   学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知，则的虚部是（    ）

A. B. C. D.

3.已知，，则（    ）

A. B. C. D.

4.下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5.下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（    ）

A. B. C. D.

6.为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）

A.18种 B.12种 C.72种 D.36种

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（    ）

A. B. C. D.

8.已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若，则下列不等式中正确的有（    ）

A. B. C. D.

10.某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：

经计算，则可以推断出（    ）

A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64

B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化

C.有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关

D.在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关

附：

11.已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面内一点，则下面结论中正确的有（    ）

A.平面

B.以为球心、为半径的球面与该正方体侧面的交线长是

C.的最小值是

D.的最小值是

12.已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ）

A.点M到直线l的距离为定值 B.以为直径的圆与l相切

C.的最小值为32 D.当最小时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，，若，则______.

14.已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是______.

15.已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是______.

16.已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列是等比数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和，并证明：.

18.（本小题满分12分）

已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求角A的大小；

（2）若，求周长的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.

（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；

（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好?

21.（本小题满分12分）

已知双曲线的离心率是，实轴长是8.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，.

（1）当时，证明：当时，；

（2）若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围.

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数学参考答案及评分标准   2022.3

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】因为集合，集合，所以，故选C.

2.【答案】B

【解析】因为，所以z的虚部是，故选B.

3.【答案】B

【解析】由，，得，

所以，故选B.

4.【答案】A

【解析】因为，所以函数为奇函数；

因为，又，所以，故A正确；

函数非奇非偶，故B错误；

函数为偶函数，故C错误；

因为，故D错误，故选A.

5.【答案】D

【解析】因为正三棱锥的底面边长为1，所以其内切圆半径为，由三棱锥体积与圆柱体积公式可得，故选D.

6.【答案】D

【解析】4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲、乙、丙三地，共有种方案，所以共有36种选派方案.故选D.

7.【答案】C

【解析】由，得

.故选C.

8.【答案】A

【解析】由题设，当时，，令，则，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.又，，所以当时，直线与的图象有两个交点，即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AB

【解析】对于A选项，因为，所以，故A正确；

对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；

对于C选项，当时，不成立，故C不正确；

对于D选项，当，时，，故D不正确.故选AB.

10.【答案】ACD

【解析】补充完整列联表如下：

对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；

对于B选项，，故B不正确；

因为7.4844>6.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C，D均正确.故选ACD.

11.【答案】ABD

【解析】对于A选项，因为平面即为平面，又因为，且平面，平面，所以平面，故A正确；

对于B选项，该球面与侧面的交线长为，故B正确

对于C，D选项，将沿翻折到与在同一平面且点，D在直线的异侧，作于点G，此时，则的最小值是，故C不正确，D正确.故选ABD.

12.【答案】BCD

【解析】设，，，，，，直线的方程为，则直线的方程为.

将直线的方程代入，化简整理得，

则，，

故.所以，.

因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，

又，所以，故A错误；

因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；

同理，，所以，，，

则，当且仅当时等号成立，故C正确；

.

设，则，，.

当时，即时，最小，这时，故D正确.故选BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】

【解析】因为，所以，解得，故填.

14.【答案】

【解析】若恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，

故

解得，故填.

15.【答案】

【解析】设右焦点为，连接，.因为，即，可得四边形为矩形.在中，，.

由椭圆的定义可得，所以，所以离心率，故填.

16.【答案】

【解析】由题意知，，，则，，其中，

.当时，，，；当时，，，.又在区间上有且只有一个极大值点，所以，得，即，所以.

当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；

当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，

所以的最大值为，故填.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）解：设等比数列的公比是q，首项是.

由，可得.

由，可得，所以，

所以.

（2）证明：因为，

所以

.

又，所以.

18.解：（1）由正弦定理，得.

由余弦定理得，，

又，所以.

（2）由和（1）可知，

则，

得，即，

所以（当且仅当时，取得等号），

所以周长的最大值为.

19.（1）证明：因为四边形是菱形，，所以.

因为平面平面，平面平面，所以平面，所以.

因为，所以.

又，且，所以平面，

所以平面.

（2）解：如图，连接.

因为，，O是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，所以平面.

设，建立空间直角坐标系，则，，，，

，，.

设平面的法向量是，

则即

取，可得.

设平面的法向量是，

则即

取，可得.

所以.

所以二面角的余弦值是.

20.解：（1）依题意有，，

.

又事件C与D相互独立，

则，

所以.

（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，

所以.

设A组的积分为，则，

所以.

设B组中服用乙种中药康复的人数为，则

，

，

，

，

故的分布列为

所以.

设B组的积分为，则，

所以.

因为，

所以甲种中药药性更好.

21.（1）解：依题意得，

解得所以双曲线C的方程是.

（2）证明：设，，，直线l的方程为.

将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，

，

则，.

z=1要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足

即解得.（无这个范围，也不扣分）

由，得，故，

所以.

又，

所以点D的纵坐标为定值.

22.（1）证明：当时，.

令，则，

所以在上单调递增，且，

所以，即.

令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，

所以.

所以当时，有，

所以当时，.

（2）解：因为，使恒成立，令，

只需，即在上恒成立，.

整理得.（）.

设，则.

又，可得时，，单调递增；时，，单调递减，因此当时，有最小值，

所以在R上单调递增.

所以（）式即，所以，即.

设，，则，令，解得.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

所以，所以.

所以实数a的取值范围为.