北师大版数学六年级下 第六讲 正比例与反比例 提升版（教师版+学生版）学案

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第6讲 正比例与反比例
知识点一：变化的量
1.相互关联的变量在一定条件下的变化是有规律的。
2.列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称，以及图中每一个点所对应的两个量的多少。
3. 一般用含有字母的式子表示有规律的变量的变化规律，应先根据题中的条件写出等量关系式，再将等量关系式用字母表示出来。[来源:学科网]
知识点二：正比例
1.成正比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值一定。
2.如果用x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的比值，正比例关系可以表示为yx=k（一定）。
3.判断两个量是否成正比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的比值；（3）最后，根据比值是否一定来判断这两个变量是否成正比例。
知识点三：正比例图像
1.成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线。
2.从正比例图象中可以得出任意一点所表示的意义。
3. 观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出两个量的变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。
知识点四：反比例
1.成反比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的积一定。
2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的乘积，反比例关系可以表示为xy=k（一定）。
3.判断两个量是否成反比例的方法
（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；
（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的积；
（3）最后，根据积是否一定来判断这两个变量是否成反比例。
4. 正比例和反比例的异同点

考点1：变化的量
【典例1】1．（南京期中）六（2）班有48名学生，这个班男、女生人数的比不可能是（　　）
A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．1：1
【分析】因为是人数比，算出人数时，必须是整数，如是2：1，那就是说一共是3份，一份是48÷3＝16，可以，如是3：2，那就是说一共是5份，一份是48÷5＝9.6，得数不是整数，不行；如是3：5那总人数就是8份，一份是48÷8＝6，可以；
如是1：1，那总人数就是2份，一份是48÷2＝24，可以，一一找出即可。
【解答】解：48÷（2+1）＝16
48÷（3+2）＝9.6，
48÷（5+3）＝6，
48÷（1+1）＝24。
所以3：2不可能是男生和女生人数的比。
故选：B。
【点评】此题关键是明白人数必须是整数，那就要一一看比的总份数能否整除48即可。
【典例2】（2021•宁波模拟）一个圆，它的半径的长度是123456789，那么它的面积的数值与周长的数值之比值是　61415526　．（答案用带分数表示，并写成最简分数）
【分析】设圆的半径为r，根据面积公式：s＝πr2，圆周长公式：c＝2πr，分别求出这个圆的面积和周长，进而根据题意，进行比即．
【解答】解：设半径为r，则面积数与周长数之比为：
πr2：2πr=r2=12×(123+456789)=12×(122+415263)=61415526；
故答案为：61415526．
【点评】此题主要根据圆的周长和面积的计算方法解决问题．
考点2：正反比例的辨识
【典例1】（固阳县）如图是某造纸厂今年5月上旬的生产情况统计图：
这个造纸厂4天的生产量是　320　；生产640吨纸需要　8　天；这家造纸厂的生产量与时间成　正　比例.

【分析】如果两个数成正比例关系，即两个数的比值一定，如果两个数成反比例关系，则两个数的乘积一定，由此解答即可。
【解答】解：由图象可知，这个造纸厂4天的生产量是320，生产640吨纸需要8天；每天生产量是320÷4＝80（吨）640÷8＝80（吨）即3204=6408，比值一定，成正比例。
这个造纸厂4天的生产量是320；生产640吨纸需要8天；这家造纸厂的生产量与时间成正比例.
故答案为：320，8，正。
【点评】此题考查了正比例关系的运用，也可运用比的性质解答。
【典例2】（唐县）如表：如果A与B成正比例，那么“x”代表的数是　4　；如果A与B成反比例，那么“x”代表的数是　254　．
A
5
x
B
20
16
【分析】如果A与B成正比例，即5：20＝x：16；如果A与B成反比例，即16x＝5×20；解比例即可．
【解答】解：如果A与B成正比例，
5：20＝x：16
20x＝5×16
x=5×1620
x＝4

如果A与B成反比例，
16x＝5×20
x=5×2016
x=254
故答案为：4；254．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正、反比例的意义及应用．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系就是反比例关系．
【典例3】（惠来县）圆的周长一定，直径和圆周率成反比例．　×　．（判断对错）
【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，不仅要看比值或乘积一定，还要看一种量是否随着另一种量的变化而变化，如果只是一种量变化，另一种量不变化，这两种相关联的量就不成正、反比例．
【解答】解：因为圆周率是一个固定不变的数，不能随着圆的直径的变化而变化，所以圆的直径和圆周率不成比例；
故答案为：×．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例．
考点3：作比例图像
【典例1】（ 卢龙县期末）右边的图象表示汽车在公路上行驶的路程与耗油量的关系．
①请你用学过的数学知识描述这辆汽车行驶的路程和耗油量的关系，并讲明理由．
②根据图象，这辆汽车行驶75km耗6升．计算这辆汽车行驶180km耗油多少升？

【分析】①表中有两种相关联的量，行驶的路程和耗油量，耗油量随着行驶的路程变化而变化，且行驶路程和耗油量的比值是一定的，50：4＝100：8＝150：12…，符合正比例关系式x：y＝k（一定），所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
②因为行驶的路程和耗油量成正比例，设这辆汽车行驶180km耗油x升，据此列比例解答．
【解答】解：①汽车行驶路程与耗油量是正比例关系；
因为50：4＝100：8＝150：12＝…＝12.5（一定），
汽车行驶路程与耗油量的比值一定，所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
②设这辆汽车行驶180km耗油x升，
756=180x
75x＝6×180
x=6×18075
x＝14.4．
答：辆汽车行驶180km耗油14.4升．
【点评】此题主要考查从折线统计图中获得信息的能力，以及正比例的意义的实际应用．
【典例2】（旅顺口区校级月考）如图是大连到沈阳G67次高速动车运行情况图．（假设匀速行驶）
（1）从图上看，高速动车4分行驶　16　千米；
（2）高速动车的速度是　240　千米/时；
（3）高速动车所行驶的路程和时间成　正　比例；
（4）大连到沈阳的里程是390千米，高速动车需　1.625　时到达．
（5）高速动车3.5分大约行驶到哪里，请你在图上标出来．

【分析】（1）通过观察折线统计图可知：高速动车4分钟行驶16千米；
（2）高速动车的速度是4×60＝240千米/时；
（3）因为路程时间=速度（一定），所以高速动车所行驶的路程和时间成正比例；
（4）根据时间＝路程÷速度，据此列式解答；
（5）首先根据速度×时间＝路程，求出3.5分钟行驶多少千米，然后在图中标出来即可．
【解答】解：（1）答：高速动车4分钟行驶16千米．

（2）4×60＝240（千米/时）；
答：高速动车的速度是240千米/时．

（3）因为路程时间=速度（一定），所以高速动车所行驶的路程和时间成正比例．

（4）390÷240＝1.625（小时）；
答：高速动车需要1.625小时．

（5）4×3.5＝14（千米）；

故答案为：16；4；正；1.625．
【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．


















综合练习
一．选择题
1．（林西县）小红和小丽体重的比是4：5，小红的体重是小丽的（　　）
A．20% B．125% C．25% D．80%
【分析】小红和小丽体重的比是4：5，把小红体重看作是4，则小丽体重就是5，小红的体重是小丽的百分之几，用小红体重除以小丽体重，商用百分数表示即可．
【解答】解：小红体重看作是4，则小丽体重就是5，
4÷5＝80%
即小红的体重是小丽的80%．
故选：D．
【点评】本题的关键是根据比与分数的关系，分别求出小明和小丽的体重是小红体重的几分之几，再根据一个数乘分数的意义列式解答．
2．（平原县）一杯纯牛奶，小明先喝了13后，再加满水又喝了12，再加满水，最后全部喝完．小明喝的纯牛奶与水的比是（　　）
A．1：1 B．3：2 C．5：6 D．6：5
【分析】先求出小明喝水的量就是两次加入的量，第一次加入了 13杯，第二次加入了 12杯，把它们相加，即可求出小明喝了多少杯水；再根据比的意义，写出比、化简即可解答。
【解答】解：1：（13+12）
＝1：56=6：5；
答：小明喝的纯牛奶与水的比是 6：5。
故选：D。
【点评】此题考查了比的意义，关键是理解喝掉水的量就是两次加入水的量，也就是前两次喝掉杯数的和。
3．（海淀区）为了得到一棵古树的高度，芳芳和小伙伴在古树旁边对3根木棍同时进行了测量，数据如下：

木棍1
木棍2
木棍3
棍长/cm
20
15
10
影长/cm
16
12
8
芳芳根据这组数据和此时古树的影长6m，推断出了这棵古树的高度是7.5m。她推断的依据是（　　）

A．此时此地物体的高度与其影长无关
B．此时此地物体的高度与其影长成正比例
C．此时此地物体的高度与其影长成反比例
D．此时此地物体的高度与其影长不成比例
【分析】由题意可知，棍长与影长成正比例关系，因为20：16＝15：12＝10：8＝5：4，由此可知，
树高：树的影长＝棍长：棍的影长。
【解答】解：设古树的高度是x米
20：16＝5：4； 15：12＝5：4； 10：8＝5：4
x：6＝5：4
4x＝30
x＝7.5
故选：B。
【点评】解决此题的关键是根据题意计算发现棍长与影长是成正比例关系的量。
4．（北川县期末）下列关系中，成反比例关系的是（　　）
A．被减数一定，减数和差
B．圆锥体积一定，这个圆锥的底面积和高
C．6x＝y，x和y
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A、被减数一定，减数和差不成比例；
B、因为：圆锥的体积（一定）=13×底面积×圆锥的高，所以它的底面积和体积成反比例；
C、因为：6x＝y，xy=6，所以x和y成正比例。
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
5．（雄县）下列x和y成反比例关系的是（　　）
A．y＝7+x B．x+y＝48 C．x=35y D．y=4x
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择
【解答】解：A．因为y＝7+x，所以y﹣x＝7（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例．
B．因为x+y＝48（一定），是X和Y的和一定，x和y不成比例．
C．因为x=35y，所以x÷y=35（一定），是比值一定，x和y成正比例．
D．因为y=4x，所以xy＝4（一定），是乘积一定，x和y成反比例．
故选：D．
【点评】此题考查的目的是理解掌握反比例的意义及应用，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数乘积一定，这两种量成反比例．
6．（高邑县期中）下列哪个图象是正比例图象（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系．由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线．据此解答．
【解答】解；根据正比例图象的特点可知，图B符合正比例图象的特点，所以图B 是正比例图象．
故选：B．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义以及正比例图象的特点．
7．（临猗县）圆的面积和半径（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．据此解答即可．
【解答】解：圆的面积÷半径的平方＝π（一定），是比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例，但是圆的面积和半径不成比例．
故选：C．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
8．（东台市）下面各题中的两种量成正比例的是（　　）
①正方形的边长和它的周长．
②一个人的身高和体重．
③订阅《盐阜大众报》的总价和份数．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据正比例、反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化；另一种也随着变化，如果两种相关联的中相对应的两个数的比值一定，这两种相关联的成正比例；如果两种相关联的量中相对应的两个数乘积一定，这两种相关联的量成反比例．据此解答即可．
【解答】解：（1）因为正方形的周长边长=4（一定），所以正方形的边长和周长成正比例．
（2）虽然一个人身高和体重是相关联的量，但是这两种量中相对应的两个数的比值不一定、乘积也不一定，所以一个人的身高和体重不成比例．
（3）因为总价份数=每份《盐阜大众报》的单价（一定），所以订阅《盐阜大众报》的总价和份数成正比例．
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例、反比例的意义及应用．
二．填空题
9．（南京期中）从学校到图书馆，彬彬去时用了15分钟，沿原路返回时用了18分钟，去的速度与返回的速度的比是　6：5　。
【分析】假设从学校到图书馆的路程是单位“1”，则彬彬的去时速度与返回速度分别是115、118；然后用去时的速度比返回时的速度，再化简即可解答。
【解答】解：把从学校到图书馆的路程看作单位“1”，
彬彬去时用了15分钟，沿原路返回时用了18分钟，所以去时的速度和返回时的速度分别是115、118，
所以去的速度与返回速度的比是115：118。
115：118
＝18：15
＝6：5。
【点评】本题考查比的应用，回想路程、时间、速度三者间的关系。
10．（荥阳市）红花朵数的34等于黄花朵数的158，红花朵数与黄花朵数的比是　5：2　．已知红花和黄花一共有280朵，红花有　200　朵．
【分析】红花朵数的34等于黄花的朵数158，根据比的意义，用红花朵数比上黄花朵数即可；再根据分数乘法的意义即可求出黄花的朵数．
【解答】解：据分析可知：
红花朵数与黄花朵数的比158：34=5：2；
280×55+2=200（朵）
答：红花朵数与黄花朵数的比是5：2，红花有200朵．
故答案为：5：2，200．
【点评】此题考查了比的意义，应注意灵活运用．
11．（天峨县期末）甲、乙两个数的比是3：5，甲数占两个数和的　37.5　%，乙数比甲数大　66.7　%．
【分析】首先把两个数的和看作单位“1”，根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法求出甲数占两数和的百分之几，再把甲数看作单位“1”，先求出乙数比甲数多多少，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答．
【解答】解：3÷（3+5）
＝3÷8
＝0.375
＝37.5%
（5﹣3）÷3
＝2÷3
≈0.667
＝66.7%
答：甲数占两数和的37.5%，乙数比甲数大66.7%．
故答案为：37.5、66.7．
【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，以及百分数意义的应用．
12．（舒兰市校级期中）从甲地到乙地，小王要50分钟，小李要60分钟，小王和小李所用时间的比是　5：6　，小李和小王的速度比是　5：6　．
【分析】用小王用的时间和小李所用的时间相比；把甲地到乙地的路程看作单位“1”，先根据题意，用“路程÷时间＝速度”分别求出小李和小王的速度，即可求出速度比；即可得解．
【解答】解：50：60
＝（50÷10）：（60÷10）
＝5：6

（1÷60）：（1÷50）
=160：150
＝（160×300）：（150×300）
＝5：6
答：小王和小李所用时间的比是5：6，小李和小王的速度比是5：6．
故答案为：5：6，5：6．
【点评】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）路程、时间和速度三者之间的关系．
13．（莱阳市期末）如果3x＝7y（x、y均不等于0），则x和y成　正　比例关系．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：如果3x＝7y（x和y都不为0），即x：y=73，是比值一定，则x和y成正比例。
故答案为：正。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
14．（亳州）（1）如果y=9x（x、y均不为0），那么x和y成　反　比例；如果y=12，那么x＝　18　。
（2）请从24的全部因数中选出两个奇数和两个偶数组成一个比例，写在下面的横线里。　2：1＝6：3　
【分析】据正比例的意义和反比例的意义：即看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；
根据奇数和偶数的意义，根据题意选出两个奇数和两个偶数，组成一个比例式即可。
【解答】解：（1）因为y=9x，则xy＝9（一定），所以x和y成反比例；如果y=12，那么x×12=9，x＝18。
（2）选出两个奇数和偶数，组成一个比例式为：2：1＝6：3（答案不唯一）。
故答案为：反，18；2：1＝6：3（答案不唯一）。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
15．（成武县）观察表格，可知x和y成　反　比例关系，当x＝6时，y＝　4　．
x
1
2
3
…
y
24
12
8
…
【分析】1×24＝2×12＝3×8＝24，因为xy＝k（一定），所以x和y成反比例，当x＝6时，y＝4．据此解答即可．
【解答】解：因为xy＝k（一定），所以x和y成反比例，
24÷6＝4
所以当x＝6时，y＝4．
故答案为：反；4．
【点评】此题考查的目的是理解掌握反比例的意义及应用．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种就叫做成反比例的量，它们的关系就是反比例关系．
16．（渭滨区）a与b成正比例关系，如果a＝4，则b＝60；如果a＝　10　，则b＝150．
【分析】如果a和b成正比例，说明a和b的比值一定，再根据比值一定列出比例式，进而根据比例的性质，解比例得解；
【解答】解：如果a与b成正比例，那么
4：60＝a：150
60a＝4×150
60a÷60＝4×150÷60
a＝10
故答案为：10．
【点评】解决此题关键是根据比值一定或乘积一定，先列出比例，进而根据比例的性质先把比例式转化为乘积式来解比例得解；注意等号要对齐．
17．（定陶区校级期中）因为：　速度　×　时间　＝路程（一定），所以　速度　和　时间　成　反　比例．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为：速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例；
故答案为：速度，时间，速度，时间，反．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
18．（大连）如果m：n＝a，当a一定时，m和n成　正　比例；当n一定时m和a成　正　比例；当m一定时，n和a成　反　比例．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为如果m：n＝a，则m：a＝n，an＝m，当a一定时，即比值一定，m和n成正比例；
当n一定时，即比值一定，则m和a成正比例；
当m一定时，即乘积一定，所以n和a成反比例；
故答案为：正，正，反．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
三．判断题
19．（富裕县期末）男生与全班学生的人数比是6：11，则女生人数占男生的56．　√　（判断对错）
【分析】把全班人数看作单位“1”，男生与全班学生的人数比是6：11，就是把全班人数平均分成11份，男生占6份，女生占（11﹣6）份，即5份，求女生人数占男生人数的几分之几，用女生所占的份数除以男生人数所占的份数．
【解答】解：由题意可知，把全班人数平均分成11份，男生占6份，女生占11﹣6＝5（份）
5÷6=56
即女生人数占男生的56，原题的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数．关键是看把全班人数平均分成多少份，男生、女生各占多少份．
20．（洪洞县期中）如果甲数是乙数的35（甲、乙两数均不为0），那么乙数和甲数的比是3：5。　×　（判断对错）
【分析】甲数是乙数的35（甲、乙两数均不为0），把乙数看作单位“1”，甲数就是单位“1”的35，所以用单位“1”乘35求出甲数，再根据比的意义，用乙数比上甲数求出乙数和甲数的比，再判断即可解答。
【解答】解：1：（1×35）
＝1：35
＝5：3
乙数和甲数的比是5：3，不是3：5，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了分数的意义和比的意义。
21．（交城县期末）从A地到B地，甲要4分钟，乙要5分钟，甲乙的速度比是4：5．　×　（判断对错）
【分析】把这段路的长度看作单位“1”，先根据速度＝路程÷时间，表示出两人的速度，再求出两人的速度比即可解答．
【解答】解：（1÷4）：（1÷5）
=14：15
＝5：4
答：甲、乙的速度比是5：4．
所以题干的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）路程、时间和速度三者之间的关系．
22．（宁津县）正比例与反比例的图象都是一条直线．　×　（判断对错）
【分析】根据正、反比例的意义，正比例是相对应的两个数的比值一定，反比例是相对应的两个数的乘积一定．
【解答】解：正比例的图象的一条直线，而反比例的图象是一条曲线．
因此，正比例与反比例的图象都是一条直线．这种说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正、反比例的意义及应用．
23．（临朐县）圆的周长和它的面积成正比例．　×　（判断对错）
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：圆的周长＝2πr，
圆的面积＝πr2，
因为圆的面积÷圆的周长=r2，没有定值，所以圆的周长和面积不成正比例．
故答案为：×．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
24．（交城县）比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例．　×　（判断对错）
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为图上距离：实际距离＝比例尺（一定）
是比值一定，所以比例尺一定，两地的实际距离与图上距离成正比例；
故答案为：×．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
25．（承德期末）一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例．　×　（判断对错）
【分析】本题考查的是正比例关系；两个变量的比值一定时，称这两个变量成正比例；而本题不是比值一定，而是和一定。
【解答】解：未读的页数+已读的页数＝总页数，这不是比值一定，这是和一定，与成正比例的意义不一致，
所以题干说法错误，
故答案为：×。
【点评】解决本题关键是对成正比例关系的把握，必须是两个变量的比值一定。
26．（ 成华区期末）书的总页数一定，已读页数与剩下页数成反比例．　×　（判断对错）
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为：剩下页数+已读页数＝书的总页数（一定），是和一定，不是比值一定，也不是乘积一定，所以书的总页数一定，未读页数与已读页数不成比例．
故答案为：×．
【点评】题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
四．应用题
27．（临猗县）果果家在装修房屋时，买了同样大小的地砖，铺地面积与所需块数的关系如图．他家的客厅面积是48平方米，需要多少块这种地砖？

【分析】通过观察图象可知，因为正比例图象是一条直线，所以需要地砖的块数和铺地的面积成正比例，设需要x块这种地砖，据此列比例解答．
【解答】解：设需要x块这种地砖，
28=48x
2x＝8×48
x=8×482
x＝192
答：需要这种地砖192块．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系．
五．操作题
28．（保定模拟）购买一种丝绸面料，购买的长度与应付的钱数如下．
（1）把下表填写完整．
长度/米
1
2
3
4
5
6
…
总价钱/元
40
80
　120　
　160　
　200　
　240　
…
（2）在图中描点连线表示上表中的数量关系．
（3）观察图象，180元可以购买多少米丝绸？

【分析】（1）因为每米布料的价钱相等，所以根据表格中的数据和等量关系“单价×数量＝总价”作答即可；
（2）线将表格中的数据所表示的点在图中描出来，然后用线连接起来即可；
（3）观察图中直线的走向作答即可．
【解答】解：（1）
长度/米
1
2
3
4
5
6
…
总价钱/元
40
80
120
160
200
240
…
（2）解：如图所示：

（3）在上图中画线可知，180元可以购买4.5米丝绸．
故答案为：120；160；200；240．
【点评】本题考查了正比例应用题，单价、数量、总价的关系及应用．
六．解答题
29．（峄城区期末）一列火车每小时行驶200千米．
（1）把下表填写完整．
时间/小时
1
2
3
4
5
…
路程/千米
200
　400　
　600　
　800　
　1000　
…
（2）根据表中数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把点按顺序连起来．

（3）时间和路程成正比例吗？为什么？
（4）利用图象估计一下，2.5小时行多少千米？行360千米需要多少小时？
【分析】（1）根据速度×时间＝路程，列式计算；
（2）根据统计表中的数据，先在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连起来即可；
（3）因为火车行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例；
（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时．
【解答】解：（1）200×2＝400（千米），200×3＝6000（千米），200×4＝800（千米），200×5＝1000（千米）
时间/小时
1
2
3
4
5
…
路程/千米
200
400
600
800
1000
…
（2）根据数据连线后如下图：

（3）时间和路程成正比例；因为汽车在公路上行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例．
（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时；
答：2.5小时行驶500千米．行驶360千米用1.8小时．
【点评】此题考查根据统计表中的信息，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据观察图象得出2.5小时行多少千米和行360千米需要多少小时．
30．（晋中期末）同一时间、同一地点测得树高和影长的数据如表：
树高/m
2
3
4
6
影长/m
1.6
2.4
3.2
4.8
（1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来．
（2）连线以后观察，它们是在一条直线上吗？　在　，说明树高和影长成　正比例　关系．
（3）不计算，利用图象判断，树高8米时，影长　6.4　米？影长4米时，树高　5　米？

【分析】（1）先依据所给数据描出对应点，进而可以连接各点，再观察图象的特点即可；
（2）通过图象特点，即可发现规律；
（3）依据树高和影长的比例关系，即可判断树高8米时，影子的长度；以及影长4米时，树高的长度．
【解答】解：（1）所作图象如下图，观察发现：表示树高和对应影长的点，都在一条直线上．

（2）连线以后，发现表示树高和对应影长的点，都在一条直线上，这说明树高和影长成正比例关系，
因为随着树的高度的增加，影长也在增加，且树高与影长的商是一定的，所以树高和影长成正比例关系；
（3）设树高8时，影长为x米，影长4m时，树高y米，
则有2：1.6＝8：x
2x＝8×1.6
2x＝12.8
x＝6.4；

2：1.6＝y：4
1.6y＝4×2
1.6y＝8
y＝5
答：树高8m时，影长6.4米，影长4m时，树高5米．
故答案为：在、正比例； 6.4，5．
【点评】解答此题的关键是明白：如果两个量的商一定，则说明这两个量成正比，据此即可逐步求解