北师大版数学六年级下 第三讲 比例（一） 提升版（教师版+学生版）学案

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1.只有比值相等的两个比才能组成比例。
2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或ab=cd，那么ad=bc。
3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系
知识点二：比例的应用
1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。
2.解比例实际上就是解方程，要做好检验
考点1：比例的意义和基本性质
【典例1】1．（中原区）下面哪组中的两个比可以组成比例？
A．12：13和4：6B．1.2：34和45：5
C．0.3：1.5和5：25
【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例．根据求比值的方法，分别求出各组中两个比的比值，如果两个比的比值相等，就能组成比例．据此解答．
【解答】解：A.12：13
=12÷13
=12×3
=32
4：6
＝4÷6
=23
32≠23
所以12：13和4：6不能组成比例．
B.1.2：34
＝1.2÷34
＝1.2×43
＝1.6
45：5
=45÷5
=45×15
=425
1.6≠425
所以1.2：34和45：5不能组成比例．
C.0.3：1.5
＝0.3÷1.5
＝0.2
5：25
＝5÷25
＝0.2
0.2＝0.2
所以0.3：1.5和5：25 能组成比例．即0.3：1.5＝5：25．
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的意义及应用．
【典例2】（任丘市期末）根据ab＝cd，下面不能组成比例的是（ ）
A．a：c和d：bB．b：d和a：cC．d：a和b：c
【分析】在比例中，两内项的乘积等于两外项的乘积．所以根据比例的基本性质，由等式a×b＝c×d 可得比例a：d＝c：b，c：a＝b：d，a：c＝d：b；然后选择即可．
【解答】解：根据比例的基本性质，由等式a×b＝c×d；
得比例a：d＝c：b、c：a＝b：d、a：c＝d：b．
所以，根据a×b＝c×d；
B选项不能组成比例．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，同时要注意要求选的是不能组成比例的选项．
【典例3】（鄄城县）比例的两个内项分别是4和5，两个外项分别是x和2.5，则x＝ 8 ．
【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．比例的两个内项分别是4和5，两个外项分别是x和2.5，据此组成比例并解比例即可．
【解答】解：由比例的两个内项分别是4和5，两个外项分别是x和2.5，得：
x：4＝5：2.5
2.5x＝4×5
x=4×52.5
x＝8
答：x是8．
故答案为：8．
【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的基本性质、解比例的方法及应用．
【典例4】（温州）用最小的一位数、最小的质数、最小的合数、分子是1的最大真分数组成比值是2的比例式是 1：12=4：2
【分析】最小的一位数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，分子是1的最大真分数是12，即用1、2、4和12组成比值是2的比例式；据此写出．
【解答】解：最小的一位数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，分子是1的最大真分数是12
1：12=1÷12=2
4：2＝4÷2＝2
组成比值是2的比例式是1：12=4：2
（答案不唯一．）
故答案为：1：12=4：2．
【点评】本题是考查自然数的意义、质数与合数的意义、比例的意义．
考点2： 解比例
【典例1】（嘉祥县）求未知数x．
①4x−18=12
②2x+30%x＝9.2
③x：14=14：12
【分析】①根据等式的性质，方程两边同时加18，再同时除以4求解；
②先化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以2.3求解；
③依据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积化简，再依据等式性质，方程两边同时除12求解．
【解答】解：①4x−18=12
4x−18+18=12+18
4x=58
4x÷4=58÷4
x=532
②2x+30%x＝9.2
2.3x＝9.2
2.3x÷2.3＝9.2÷2.3
x＝4
③x：14=14：12
12x=116
12x÷12=116÷12
x=18
【点评】本题主要考查学生运用等式性质，以及比例基本性质解方程的能力．
【典例2】（陇县）求未知数x．
2x﹣1.2＝4.8
x：1.2＝3：4
34x﹣0.25x=58
【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时加上1.2，然后两边再同时除以2即可．
（2）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时除以4即可．
（3）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘2即可．
【解答】解：（1）2x﹣1.2＝4.8
2x﹣1.2+1.2＝4.8+1.2
2x＝6
2x÷2＝6÷2
x＝3
（2）x：1.2＝3：4
4x＝1.2×3
4x＝3.6
4x÷4＝3.6÷4
x＝0.9
（3）34x﹣0.25x=58
12x=58
12x×2=58×2
x=54
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等．
综合练习
一．选择题
1．（兴县）下面能与15：4组成比例的是（ ）
A．5：4B．20：1C．1：20
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，据此可先求出15：4的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例．
【解答】解：15：4=15÷4=120；
A、5：4＝5÷4=54，因为54≠120，所以不能组成比例；
B、20：1＝20÷1＝20，因为20≠120，所以不能组成比例；
C、1：20＝1÷20=120，因为120=120，所以能组成比例．
故选：C．
【点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
2．（诸城市期末）能与15：14组成比例的比是（ ）
A．0.5：1B．5：4C．4：5D．13：12
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，据此可先求出15：14的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例。
【解答】解：15：14=0.8
A、0.5：1＝0.5
B、5：4＝1.25
C、4：5＝0.8
D、13：12=23
可知只有C项的比值与15：14相同。
故选：C。
【点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积，等于就能组成比例，不等于就不能组成比例。
3．（定陶区校级期中）把比例5：3＝20：12的内项3增加6，要使比例成立，外项12应该增加（ ）
A．6B．12C．18D．24
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先计算出内项3增加6之后的内项之积，则内项之积等于外项之积，用外项之积除以另一个外项5，即可求出外项12变成了几，再减去12即可求出增加了几．
【解答】解：把比例5：3＝20：12的内项3增加6，
变成3+6＝9，则内项之积变成20×9＝180，
要使比例成立，外项12应变成：180÷5＝36
相当于增加：36﹣12＝24．
故选：D．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．
4．（农安县）因为3a＝4b，所以（ ）
A．a：b＝3：4B．a：4＝3：bC．b：3＝a：4D．3：a＝4：b
【分析】根据比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
【解答】解：选项A：因为a：b＝3：4，
所以4a＝3b，
选项B：因为a：4＝3：b，
所以ab＝12，
选项C：因为b：3＝a：4，
所以3a＝4b，
选项D：因为3：a＝4：b，
所以4a＝3b．
故选：C．
【点评】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．
二．填空题
5．（长垣县期末）A+B＝27，A：B＝5：4，则A＝ 15 ，B＝ 12 ．
【分析】因为A：B＝5：4，则A是A、B和的55+4，已知A+B＝27，所以A＝27×55+4=15，进而求得B即可．
【解答】解：A＝27×55+4=15，
B＝27﹣15＝12，
故答案为：15，12．
【点评】此题考查了比的运用，关键是把比转化为分数来解答．
6．（兴县）18的因数共有 1，2，3，6，9，18 个，选择其中的四个数组成比例为 2：3＝6：9（答案不唯一） ．
【分析】根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身，然后根据比例的意义，写出两个比值相等的比组成比例即可．
【解答】解：18的约数有：1，2，3，6，9，18．
2：3＝6：9（答案不唯一）；
故答案为：1，2，3，6，9，18；2：3＝6：9（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查求一个数的因数的方法和比例的意义．
7．（鸡西）在一个比例中，两个外项互为倒数.如果一个内项是2.5，那么另一个内项是 25 .
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出两外项的积，就等于知道了两内项之积，进而可以求出另一个内项．
【解答】解：因为两个外项互为倒数
则两外项之积＝两内项之积＝1
所以另一个内项为：1÷2.5=25
故答案为：25。
【点评】解答此题的主要依据是：比例的基本性质以及互为倒数的两个数的积是1．
8．（许昌）已知37=158+a=b：21，则a＝ 27 ，b＝ 9 ．
【分析】根据比的基本性质和比例的意义，比的前项由3变为15，扩大了5倍，要使比值不变，比的后项也要扩大5倍，进而求出a的值；比的后项由7变成了21，扩大了3倍，要使比值不变，比的前项也要扩大3倍，进而求出b的值即可．
【解答】解：根据比的基本性质：15÷3＝5
7×5＝35，即8+a＝35，
则a＝27；
根据比例的基本性质：21÷7＝3
3×3＝9，则b＝9．
故答案为：27，9．
【点评】本题考查的是比的基本性质和比例的意义，应熟练掌握．
9．（扶风县）23a=415b，那么a：b＝ 2：5 ．
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出比例、化简即可．
【解答】解：23a=415b
a：b=415：23
＝（415×152）：（23×152）
＝2：5
故答案为：2：5．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的逆运用．
三．判断题
10．（高邑县期中）在比例里，两个外项的积与两个内项积的差是0． √ （判断对错）
【分析】在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，这叫做比例的基本性质，由此即可解决问题．
【解答】解：根据比例的基本性质可得：在比例里两内项的积等于两外项的积，
即在比例里，两个外项的积与两个内项积的差是0，所以原题说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题考查了比例的基本性质的灵活应用．
11．（喀什地区模拟）在比例里，如果两个内项互为倒数，那么两个外项的积一定是1． √ ．（判断对错）
【分析】比例的性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积．在一个比例中，两个内项互为倒数，则两个内项的积是1，那么两个外项的积也是1．
【解答】解：在一个比例中，两个内项互为倒数，则两个内项的积是1，那么两个外项的积也是1．
故答案为：√．
【点评】此题考查比例基本性质的运用．
12．（鸡西）如果4a＝3b，那么a：b＝4：3． × ．（判断对错）
【分析】根据比例的基本的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，判断即可．
【解答】解：如果4a＝3b，那么a：b＝3：4，
所以原题计算错误；
故答案为：×．
【点评】解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
四．计算
13．（萧山区模拟）解方程或比例
x−14x＝21
（2x﹣6）×14=0.8
x：0.75=45：15
【分析】（1）先化简方程的左边，把方程变成34x＝21，然后把方程的两边同时除以34即可；
（2）先把方程的两边同时除以14，再同时加6，最后同时除以2即可；
（3）先根据比例的性质，把比例方程转化成简易方程，再把方程的两边同时除以15即可．
【解答】解：（1）x−14x＝21
34x＝21
34x÷34=21÷34
x＝28
（2）（2x﹣6）×14=0.8
（2x﹣6）×14÷14=0.8÷14
2x﹣6＝3.2
2x﹣6+6＝3.2+6
2x＝9.2
2x÷2＝9.2÷2
x＝4.6
（3）x：0.75=45：15
15x＝0.75×45
15x＝0.6
15x÷15＝0.6÷15
x＝0.04
【点评】本题考查了学生根据比例的性质以及等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐．
14．（魏县）解方程．
0.3×6﹣3x＝1.2
23：56=x：0.5
3.5+8x＝2712
【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时加上3x，然后两边再同时减去1.2，最后两边同时除以3即可．
（2）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时乘65即可．
（3）首先根据等式的性质，两边同时减去3.5，然后两边再同时除以8即可．
【解答】解：（1）0.3×6﹣3x＝1.2
1.8﹣3x+3x＝1.2+3x
1.2+3x＝1.8
1.2+3x﹣1.2＝1.8﹣1.2
3x＝0.6
3x÷3＝0.6÷3
x＝0.2
（2）23：56=x：0.5
56x=23×0.5
56x=13
56x×65=13×65
x=25
（3）3.5+8x＝2712
3.5+8x＝27.5
3.5+8x﹣3.5＝27.5﹣3.5
8x＝24
8x÷8＝24÷8
x＝3
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等．
15．（ 合肥期中）解比例．
【分析】（1）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程5x＝6×18，再根据等式的性质，方程两边同时除以5即可得到原比例的解。
（2）同理，把比例转化成一般方程0.8x＝0.24×0.3，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.8即可得到原比例的解。
（3）同理，把比例转化成一般方程0.9x＝15×2.7，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.9即可得到原比例的解。
（4）同理，把比例转化成一般方程12x=13×81，再根据等式的性质，方程两边同时除以12即可得到原比例的解。
【解答】解：（1）6：x＝5：18
5x÷5＝6×18÷5
x＝21.6
（2）0.24x=0.8：0.3
0.8x＝0.24×0.3
0.8x÷0.8＝0.24×0.3÷0.8
x＝0.09
（3）x：15＝2.7：0.9
0.9x＝15×2.7
0.9x÷0.9＝15×2.7÷0.9
x＝45
（4）13：12=x：81
12x=13×81
12x÷12=13×81÷12
x＝54。
【点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答。
16．（新田县期中）解比例：
3.75：x＝5：12
30x=0.25：0.6
【分析】（1）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程5x＝3.75×12，再根据等式的性质，方程两边同时除以5即可得到原比例的解。
（2）同理，把比例转化成一般方程0.25x＝30×0.6，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.25即可得到原比例的解。
【解答】解：（1）3.75：x＝5：12
5x＝3.75×12
5x÷5＝3.75×12÷5
x＝9
（2）30x=0.25：0.6
0.25x＝30×0.6
0.25x÷0.25＝30×0.6÷0.25
x＝72
【点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答。
17．（定州市）求未知数x
①5.4：x＝0.6：19
②3.7：x＝2.4：4.8
【分析】①根据比例的基本性质，原式化成0.6x＝5.4×19，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.6求解；
②根据比例的基本性质，原式化成2.4x＝3.7×4.8，再根据等式的性质，方程两边同时除以2.4求解．
【解答】解：①5.4：x＝0.6：19
0.6x＝5.4×19
0.6x÷0.6＝102.6÷0.6
x＝171
②3.7：x＝2.4：4.8
2.4x＝3.7×4.8
2.4x÷2.4＝17.76÷2.4
x＝7.4
【点评】本题主要考查学生运用等式的性质，以及比例基本性质解方程的能力，注意等号对齐．
18．（盐城期中）解比例．
（1）10：12＝x：30；
（2）10.55=x4．
【分析】（1）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程12x＝10×30，再根据等式的性质，方程两边同时除以12即可得到原比例的解．
（2）同理，把比例转化成一般方程5x＝10.5×4，再根据等式的性质，方程两边同时除以5即可得到原比例的解．
【解答】解：（1）10：12＝x：30
12x＝10×30
12x÷12＝10×30÷12
x＝25；
（2）10.55=x4
5x＝10.5×4
5x÷5＝10.5×4÷5
x＝8.4．
【点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答．
19．（定陶区校级期中）解下列比例．
【分析】求未知外项=已知内项×已知内项已知外项，依此解比例即可求解．
求未知外项=已知内项×已知内项已知外项，依此解比例即可求解．
求未知外项=已知内项×已知内项已知外项，依此解比例即可求解．
求未知内项=已知外项×已知外项已知内项，依此解比例即可求解．
【解答】解：3：18＝5：x
x=18×53
x＝30；
x：0.25＝3.6：0.1
x=0.25×3.60.1
x＝9；
x：10=14：13
x=10×1413
x＝712；

x=3.6×44.8
x＝3．
【点评】本题重点考查学生对于比例的基本性质的应用，是基础题型．
20．（洪泽区校级期中）求未知数．
【分析】（1）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程15x＝21×8，再根据等式的性质，方程两边同时除以15即可得到原比例的解．
（2）同理，把比例转化成一般方程32x＝2.8×94，再根据等式的性质，方程两边同时除以32即可得到原比例的解．
（3）同理，把比例转化成一般方程512x=38×25，再根据等式的性质，方程两边同时除以512即可得到原比例的解．
【解答】解：（1）21x=158
15x＝21×8
15x÷15＝21×8÷15
x＝11.2；
（2）x：2.8=94：32
32x＝2.8×94
32x÷32=2.8×94÷32
x＝4.2；
（3）38：512=x：25
512x=38×25
512x÷512=38×25÷512
x=925．
【点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答．
21．（九台区校级期中）解比例
25：7＝x：35；（2+x）：2＝21：6；x4=56．
【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．再根据解比例的方法，未知内项=外项×外项已知内项；未知外项=内项×内项已知外项；据此解答即可．
【解答】解：（1）25：7＝x：35
7x＝25×35
x=25×357
x＝125
（2）（2+x）：2＝21：6
（2+x）×6＝2×21
12+6x＝42
12+6x﹣12＝42﹣12
6x＝30
6x÷6＝30÷6
x＝5
（3）x4=56
6x＝4×5
x=4×56
x=103
【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的基本性质，掌握解比例的方法及应用．
22．（海淀区）解方程x：2.4＝1.5：4
【分析】根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程4x＝2.4×1.5，再根据等式的性质，方程两边同时除以4即可得到原比例的解．
【解答】解：x：2.4＝1.5：4
4x＝2.4×1.5
4x÷4＝2.4×1.5÷4
x＝0.9
【点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答．
23．（太原）解方程．
①58：16=x：415
②12x−16x＝3.5
③23x÷0.25＝10
【分析】①先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时乘6求解，
②先化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时乘3求解，
③根据等式的基本性质，方程的两边同时乘0.25，再同时除以23即可求解．
【解答】解：①58：16=x：415
16x=58×415
16x×6=16×6
x＝1
②12x−16x＝3.5
13x＝3.5
13x×3＝3.5×3
x＝10.5
③23x÷0.25＝10
23x÷0.25×0.25＝10×0.25
23x÷23=52÷23
x=154
【点评】考查了运用等式的性质解方程，等式的性质1：等式两边同时加（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等．等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
24．（嘉兴）解方程或比例．
【分析】（1）先把方程的两边同时加1.1，再同时除以78即可；
（2）先根据比例的基本性质，把比例方程转化成简易方程，再把方程的两边同时除以21即可．
【解答】解：（1）78x﹣1.1＝2.4
78x﹣1.1+1.1＝2.4+1.1
78x＝3.5
78x÷78=3.5÷78
x＝4
（2）x：35＝1.8：21
21x＝35×1.8
21x＝63
21x÷21＝63÷21
x＝3
【点评】本主要考查学生依据等式的性质和比例的基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号．
五．解答题
25．（ 江宁区月考）把52、87、0.4和78四个数组成一个比例．
【分析】根据比例的性质，看看给出的这四个数中哪两个数相乘的积等于另两个数相乘的积，进而逆用比例的性质把等式转化成比例即可．
【解答】解：因为52×0.4=87×78，
所以52：87=78：0.4．
【点评】解决此题也可以根据比的意义，先用四个数写出两个比值相等的比，进而写出比例即可．
26．（中原区）解比例：34：x＝3：12．
【分析】先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以3求解．
【解答】解：34：x＝3：12
3x=34×12
3x＝9
3x÷3＝9÷3
x＝3
【点评】本题主要考查学生依据等式的性质以及比例基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号6：x＝5：18
0.24x=0.8：0.3
x：15＝2.7：0.9
13：12=x：81
3：18＝5：x
x：0.25＝3.6：0.1
x：10=14：13

21x=158
x：2.8=94：32
38：512=x：25
78x﹣1.1＝2.4
x：35＝1.8：21