河南省实验中学2020-2021学年高二下学期期中考试 数学（理）（含答案）练习题

河南省实验中学2020——2021学年下期期中试卷

高二理科数学       命题人：     审题人：

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知，则（   ）

A． B． C．2 D．

2．用反证法证明“若a，b∈R，，则a，b不全为0”时，假设正确的是（   ）

A．a，b中只有一个为0 B．a，b至少一个不为0 

C．a，b至少有一个为0 D．a，b全为0

3．下列运算正确的个数是（   ）

①②③④

A．1           B．2             C．3 D．4

4．用数学归纳法证明时，第二步应假设（   ）

A．时， B．时，

C．时， D．时，

5．记为等差数列的前n项和，若，.则数列的通项公式（   ）

A.B. C. D.

6．若直线和曲线相切，则实数的值为（   ）

A. B.2 C.1D.

7．函数的导函数为，则函数的大致图象为（   ）

8. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ）

A. B.C. D.

9．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是（   ）

A．丙有可能没有选素描 B．丁有可能没有选素描 

C．乙丁可能两门课都相同 D．这四个人里恰有2个人选素描

10．已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且＝，则的解集是（   ）

A．B．C．D．

11．已知函数，，若，则的最小值为（   ）

A．B．C．D．

12．已知，，，则的大小关系是（   ）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知函数，则＝.

14．已知各项均为正数的等比数列中，是它的前项和，若，且，则.

15．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为.

16．已知函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则实数的取值范围为.

三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．(本小题满分12分)

在中，内角所对的边分别为,,，若．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，点在边上，且，求的长度．

18．(本小题满分12分)

已知函数．

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）若，求的单调区间．

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，求平面CDM与平面BDM所成锐二面角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的离心率为，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF1F2的周长是6．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设斜率为的直线交x轴于T点，交曲线C于A，B两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）设，若函数在区间，上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数区间上的最小值为1，求实数的值．

（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）

在平面直角坐标xOy中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l上的两个动点M，N满足，点P在曲线上，以M，N，P为顶点构造平行四边形MNPQ，求平行四边形MNPQ面积的最大值.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知不等式的解集为．

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）已知为集合中的最小正整数，若均为正数，且，求证：

河南省实验中学2020——2021学年下期期中试卷

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.     14.  31   15.     16.

三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解：（Ⅰ）由正弦定理

可化为，

即，

所以，

因为，所以，即，…………4分

因为为三角形内角，所以，所以；

所以；………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得，故，…………8分

因为在边上，且，所以，

又，…………10分

所以，所以．………………12分

18. 解：（Ⅰ）因为当时，，

所以，由得或，………………2分

当变化时，，的变化情况列表如下：

所以当时，取极大值；当时，取极小值．…………6分

（Ⅱ），…………7分

①当时，当，，单调递增，

当，，单调递减，

当，，单调递增．

②当时，在恒成立，所以在上单调递增；

③当时，当，，单调递增，

当，，单调递减，

当，，单调递增，…………11分

综上所述，①当时，单调递增区间为，．单调递减区间为；

②当时，单调增区间为，无减区间；

③当时，单调递增区间为，，单调递减区间为．……12分

19. 解：（Ⅰ）连接AC交BD于E，连接EM，则E为AC中点，

∴EM为△APC的中位线，∴EM∥AP，

又∵，∴.…………4分

（Ⅱ）∵，所以，

取BC中点O，AD中点F，连接PO，OF，则，

∵，，，

∴，又因为，所以，

所以两两垂直；………………6分

如图，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，所以，

∴，，………8分

设平面BDM的法向量为，

则，即，取；

设平面CDM的法向量为，

则，即，取，………………10分

所以，

所以平面CDM与平面BDM所成锐二面角的余弦值为.………………12分

20. 解：（Ⅰ）由题意知；，解得，

∵，∴，所以椭圆C的方程为.………………4分

（Ⅱ）假设存在，则，设，设直线，

，化简得，

∴，，………………6分

为定值，………………10分

所以，所以，所以.………………12分

21. 解：（Ⅰ），则，

因为在，上为减函数，所以在，上恒成立，

即对，恒成立，所以对，恒成立，

因为，在，上单调递减，

则函数的最小值为，所以；经检验可得满足条件；

所以实数的取值范围为.………………………………5分

（Ⅱ），则，

又在上恒成立，则在上单调递增，

∵区间上的最小值为1，

∴存在唯一的，使得，即………………①，

所以当时，，单调递减，

当,时，，单调递增，

则的最小值为，

由题意可知，…………②，        ……………………9分

由①②得，又因为关于单调递减，且，

所以，带入①可得 ， ∴．…………………………12分

22. 解：（Ⅰ）曲线的参数方程为，消去参数，可得曲线的标准方程为．………………………………2分
    直线l的极坐标方程为，化简可得，

∵∴．………………………………5分
（Ⅱ）设，则点P到直线的距离
，
所以，当且仅当，即取到最大值，
所以平行四边形MNPQ面积的最大值．………………10分
23.解（Ⅰ）等价于

或或，

解得或或，则；…………5分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，，

因为均为正数，由柯西不等式可得

当且仅当，即时等号成立.

∴.………………10分

．