专题09 一元二次函数、方程和不等式（能力测评卷）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

章末检测（一)  集合与常用逻辑用语

◎◎◎◎◎◎滚动测评卷◎◎◎◎◎◎

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．{x|0≤x<1}　　　　 B．{x|0<x≤1}

C．{x|x<0} D．{x|x>1}

【答案】B

【解析】∵全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁UB)＝{x|0<x≤1}，故选B.

2．四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

3．下列四个命题中的真命题为(　　)

A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

【答案】D

【解析】选项A中，<x<且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；选项C中，x＝±1，与∀x∈R矛盾；选项D中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D正确．

4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　)

A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}

C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}

【答案】B

【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根为m，－n.因为m＋n>0，所以m>－n，结合二次函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选B.

5．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　)

A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}

C．{x|－a<x<5a} D．{x|5a<x<－a}

【答案】A

【解析】方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.

6．若－4<x<1，则(　　)

A．有最小值1 B．有最大值1

C．有最小值－1 D．有最大值－1

【答案】D

【解析】又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.

∴≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．

7．关于x的方程的解集为(　　)

A．{0} B．{x|x≤0或x>1}

C．{x|0≤x<1} D．{x|x≠1}

【答案】B

【解析】由题意知，≥0，所以x≤0或x>1，

所以方程的解集为{x|x≤0或x>1}．

8．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，0] B．（﹣1，0） 

C．（﹣∞，0]∪[1+∞，） D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）

【答案】A

【解析】命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．

由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立．

∴a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0，故选：A．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．（2019·江苏姑苏�高二期中）已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有：(    )

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；

对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；

对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.故选：AC

2．（2020·山东新泰�泰安一中高二期中）如果，那么下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

A. ，故错误；

B. ，当时，，故错误；

C. ，故正确；

D. ，，故正确.

故选CD.

11．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)

A．a>0 B．b>0

C．c>0 D．a＋b＋c>0

【答案】BCD

【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.

12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　)

A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅

B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}

C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式

D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝

【答案】AB

【解析】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0.从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．

由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，

知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4.当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．

【答案】∅

【解析】原不等式变形为3x2－5x＋4<0.

因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，

所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.

14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是________．

【答案】{x|3<x<m}

【解析】由题意，知方程x2－4x＋m＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m≤0，解得m≥4，又x2－(m＋3)x＋3m<0等价于(x－3)(x－m)<0，所以3<x<m.

15．若∃x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是________．

【答案】a≥2

【解析】∃x>0，使得＋x－a≤0，等价于a大于等于＋x的最小值，

∵x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝1时等号成立)，

故a≥2.

16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．

【答案】20　330

【解析】设总产值为y万元，应开发A类电子器件x件，则应开发B类电子器件(50－x)件．

根据题意，得＋≤20，解得x≤20.

由题意，得y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.

(1)当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B；

(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

【解析】(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∪B＝{x|－2≤x≤7}，∁RA＝{x|x<1或x>7}，(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}．

(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.

若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4；

若A≠∅，由A⊆B，得，解得－1≤a≤

综上，a的取值范围是.

18．(本小题满分12分)）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求：

（1）3x+4y的最小值；

（2）求xy的最小值．

【解析】（1）正数x，y满足x+3y＝5xy，∴5．

∴3x+4y（3x+4y）（135，当且仅当x＝1，y时取等号．∴3x+4y的最小值为5．

（2）∵正数x，y满足x+3y＝5xy，∴5xy，

解得：xy，当且仅当x＝3y时取等号．

∴xy的最小值为．

19．(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.

【解析】原不等式可化为，

即，

①当即时，；

②当时，即时，原不等式的解集为；

③当即时，，

综上知：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

20．(本小题满分12分)设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【解析】（1），

.

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，.

当且仅当时，取等号，

，即.

21．(本小题满分12分)已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

【解析】（1）由x2﹣x﹣m＝0可得m＝x2﹣x

∵﹣1＜x＜1

∴

M＝{m|}

（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N

①当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则即

②当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则即

③当a＝2﹣a即a＝1时，N＝φ，此时不满足条件

综上可得

22．(本小题满分12分)某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．

【解析】设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，

①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x），

则S（x）＝6﹣x17﹣[（x+1）]≤17﹣217﹣6＝11，当且仅当x+1，解得x＝2时，取等号．

②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，

则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．

∵10＜11，∴最大收益为11万元，

答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．