第6章 解三角形专题训练（二）—周长最值问题-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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解三角形专题训练（二）—周长最值问题1．已知的内角，，的对边分别为，，，．（1）求角；（2）若，求的周长的最大值．解：（1）根据正弦定理，由已知得：，即，，，，，从而．，．（2）由（1）和余弦定理得，即，，即（当且仅当时等号成立）．所以，周长的最大值为．2．在中，角，，的对边分别为，，，，．（1）求角；（2）求周长的最大值．解：（1）由正弦定理知，，，，整理得，由余弦定理知，，，．（2）由（1）知，，，由正弦定理知，，，，，，，，当，即时，取得最大值，为8，，故周长的最大值为12．3．中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，因为，由正弦定理可得，即为，由余弦定理可得，由，可得；（2）由题意可得，又，可设，，，由正弦定理可得，可得，，则周长为，，当，即时，的周长取得最大值．另解：，，又，，由，则（当且仅当时，“”成立），则周长的最大值为．4．锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围．解：（1）锐角三角形中，由正弦定理可得，，，，即，约掉变形可得，角；（2），，，由正弦定理可得，，周长为，，，，，，周长的取值范围为，5．已知中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围．解：（1）由，得，代入已知条件得：，（1分）即：，（3分），由此得，（4分），．（6分）（2）由上可知：，．由正弦定理得：，（7分），（9分）由得：，，且，周长的取值范围为，．（12分）6．在中，角，，的对边分别为，，，，．（1）求角；（2）求周长的最大值．解：（1）由正弦定理知，，，，整理得，由余弦定理知，，，．（2）由（1）知，，，由正弦定理知，，，，，，，，当，即时，取得最大值，为8，，故周长的最大值为12．