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第八章 立体几何初步（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）
展开多面体、旋转体的定义
类别 | 多面体 | 旋转体 |
定义 | 由若干个平面多边形围成的几何体 | 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 |
图形 | ||
相关概念 | 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 | 轴：形成旋转体所绕的定直线 |
棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
名称 | 定义 | 图形及表示 | 相关概念 |
棱柱 | 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 | 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ | 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 |
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
棱锥的结构特征
1.棱锥的概念
名称 | 定义 | 图形及表示 | 相关概念 |
棱锥 | 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 | 如图可记作：棱锥S—ABCD | 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 |
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
棱台的结构特征
名称 | 定义 | 图形及表示 | 相关概念 | 分类 |
棱台 | 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 | 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ | 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 | 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… |
圆柱的结构特征
圆柱 | 图形及表示 |
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 | 图中圆柱表示为圆柱O′O |
相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 |
圆锥的结构特征
圆锥 | 图形及表示 |
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 | 图中圆锥表示为圆锥SO |
相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 |
圆台的结构特征
圆台 | 图形及表示 |
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 | 图中圆台表示为圆台O′O |
相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 |
球的结构特征
球 | 图形及表示 |
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 | 图中的球表示为球O |
相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 |
简单组合体的结构特征
1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.
2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
| 图形 | 表面积 |
多面体 | 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 |
棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 | 体积 | 说明 |
棱柱 | V棱柱＝Sh | S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 |
棱锥 | V棱锥＝Sh | S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 |
棱台 | V棱台＝(S′＋＋S)h | S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 |
圆柱、圆锥、圆台的表面积
| 图形 | 表面积公式 | |
旋转体 | 圆柱 | 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) | |
圆锥 | 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) | ||
圆台 | 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) | ||
圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 | 体积 | 说明 |
圆柱 | V圆柱＝Sh＝πr2h | 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h |
圆锥 | V圆锥＝Sh＝πr2h | 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h |
圆台 | V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h | 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h |
球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).
2.球的体积公式V＝πR3.
空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
直线与平面的位置关系
位置关系 | 直线a在平面α内 | 直线a在平面α外 | |
直线a与平面α相交 | 直线a与平面α平行 | ||
公共点 | 有无数个公共点 | 只有1个公共点 | 没有公共点 |
符合表示 | a⊂α | a∩α＝A | a∥α |
图形表示 | |||
平面与平面的位置关系
位置关系 | 两平面平行 | 两平面相交 |
公共点 | 没有公共点 | 有无数个公共点(在一条直线上) |
符号表示 | α∥β | α∩β＝l |
图形表示 |
一、直线与直线平行
1、基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
二、直线与平面平行
1、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：
2、性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：
三、平面与平面平行
平面与平面平行的判定定理
文字语言 | 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 |
符号语言 | ⇒α∥β |
图形语言 |
两个平面平行的性质定理
文字语言 | 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 |
符号语言 | α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b |
图形语言 |
一、直线与直线垂直
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)画法：
2.两条直线的位置关系
3.两个定理
(1)基本事实
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.
③作用：证明空间两条直线平行.
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②作用：证明两个角相等或互补.
4.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
二、直线与平面垂直
直线与平面垂直的定义
定义 | 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 |
记法 | l⊥α |
有关概念 | 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 |
图示 | |
画法 | 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 |
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 | 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 |
符号语言 | l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α |
图形语言 |
直线与平面所成的角
有关概念 | 对应图形 | |
斜线 | 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA | |
斜足 | 斜线和平面的交点，图中点A | |
射影 | 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO | |
直线与平面所成的角 | 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° | |
取值范围 | 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° | |
三、平面与平面垂直
二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面.
3.画法：
4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 | 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 |
符号语言 | l⊥α，l⊂β⇒α⊥β |
图形语言 |
3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 | 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 |
符号语言 | α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β |
图形语言 |
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第十章 概率（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）： 这是一份第十章 概率（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册），共4页。试卷主要包含了频率与概率等内容，欢迎下载使用。
第九章 统计（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）： 这是一份第九章 统计（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册），共3页。试卷主要包含了简单随机抽样，抽样调查，将数据分组，列频率分布表，画频率分布直方图等内容，欢迎下载使用。
