2021_2022学年新教材高中数学第一章预备知识章末复习与总结学案北师大版(2019)必修第一册
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章末复习与总结一、数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.集合的基本概念[例1] 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中元素的个数为( )A．0 B．2C．3 D．6[解析] ∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0，2，4}，故集合A*B中元素的个数为3.[答案] C二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算及一元二次不等式的求解问题.集合的运算[例2] (1)设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1，3，7}，B＝{2，3，8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )A．{1，2，7，8} B．{4，5，6}C．{0，4，5，6} D．{0，3，4，5，6}(2)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求：①A∩B；②A∪B；③∁R(A∩B)．(1)[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴∁UA＝{0，2，4，5，6，8}，∁UB＝{0，1，4，5，6，7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0，4，5，6}．[答案] C(2)[解] 由已知得B＝{x|x≥－3}．①A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．②A∪B＝{x|x≥－4}．③∁R(A∩B)＝{x|x＜－3或x＞－2}.解一元二次不等式[例3] 解下列关于x的不等式：(1)－1＜x2＋2x－1≤2；(2)m2x2＋2mx－3＜0.[解] (1)原不等式等价于即由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0.由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图．求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．(2)当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)＜0.当m＞0时，解集为；当m＜0时，解集为.三、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题、不等式的证明及应用中.充分条件与必要条件的判断[例4] (1)设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2021·北京市丰台区检测)a∈是方程ax＋3＝0有实数根x0且x0∈{x|－1≤x≤2}的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析] (1)由x∈M或x∈P可得x∈(M∪P)，而(M∩P)(M∪P)，所以“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．故选B.(2)“方程ax＋3＝0有实数根x0且x0∈{x|－1≤x≤2}”等价于“函数y＝ax＋3的图象在－1≤x≤2时与x轴有交点”，则或解得a≥3或a≤－.所以a∈是方程ax＋3＝0有实数根x0且x0∈{x|－1≤x≤2}的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A集合间的关系[例5] (1)(2021·杭州联考)已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是( )A．A⊆B B．ABC．BA D．A∈B(2)(2021·天津河西区检测)已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：①若a∈A1，则a∉A2，②若a∈A2，则a∉A1，则称(A1，A2)是集合A的“互斥子集组”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”，则集合A＝{1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是________．[解析] (1)因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B.(2)①当集合A1中只有1个元素({1}，{2}，{3}，{4}，共4种)时，集合A2是由集合A中除去这个元素后剩下的3个元素组成的集合的非空子集，这样的“互斥子集组”共有4×(23－1)＝28(个)．②当集合A1中有2个元素({1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6种)时，A2共有22－1＝3(个)，故此时这样的“互斥子集组”有6×3＝18(个)．③当集合A1中有3个元素({1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4种)时，A2只有1种情形，这样的“互斥子集组”共有4×1＝4(个)．综上所述，这样的“互斥子集组”共有28＋18＋4＝50(个)．[答案] (1)D (2)50全称量词命题与存在量词命题[例6] (2021·潍坊市模拟)下列关于命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定正确的是( )A．∀x∈R，均有x2＋x＋1＜0B．∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0C．∃x∈R，使得x2＋x＋1≥0D．∃x∈R，使得x2＋x＋1＝0[解析] 命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．[答案] B不等式的性质及应用[例7] 已知a＋b＜0，且a＞0，则( )A．a2＜－ab＜b2 B．b2＜－ab＜a2C．a2＜b2＜－ab D．－ab＜b2＜a2[解析] 法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，选A.法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b，因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A.[答案] A不等式的证明[例8] 已知x>0，y>0，z>0，求证：≥8.[证明] ∵x>0，y>0，z>0，∴＋≥>0，＋≥>0，＋≥>0，当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式等号同时成立．∴≥＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立.利用基本不等式求最值[例9] 已知m＞0，n＞0，若m＝＋2，则mn的最小值为________；(2)已知a∈R，b＞0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．[解析] (1)因为m＝＋2，化简可得mn＝m＋2n≥2，故mn≥8，当且仅当m＝2n＝4时，等号成立，即mn的最小值是8.(2)法一：∵b＞0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2 ＝2，当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，故a＋的最小值为2.法二：∵(a＋b)b＝1，∴a＋＝a＋2b＝(a＋b)＋b≥2＝2，当且仅当a＝0，b＝1时等号成立．[答案] (1)8 (2)2四、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合、不等式的实际应用中.集合的应用[例10] 现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )A．最多人数是55 B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80[解析] 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.作出Venn图，由图可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.[答案] B不等式的实际应用[例11] 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t)之间满足y＝x2－40x＋1 600，其中30≤x≤50.已知每处理1 t的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？[解] (1)该技术改进不能获利．当30≤x≤50时，设该工厂获利S万元，则S＝20x－(x2－40x＋1 600)＝－(x－30)2－700，所以当30≤x≤50时，S的最大值为－700，－700＜0，因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会亏损．(2)由题意，知二氧化碳每吨的平均处理成本P＝＝x＋－40，因为当30≤x≤50时，P＝x＋－40≥2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时等号成立，所以当处理量为40 t时，每吨的平均处理成本最少．
