专题10 三角形（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题10 三角形

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重难突破

知识点一  三角形角和边

1、三角形的有关概念

2、三角形的分类

三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．

3、三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°．

4、三角形的边

（1）对于任意的，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设、为定点），由“两点之间，线段最短”可得：．同理可得：，．

即：三角形任意两边之和大于第三边．

推论：三角形任意两边之差小于第三边．

理论依据：两点之间，线段最短.

（2）三角形三边关系的应用

①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围；

②判断三条线段能否组成三角形.

注意：

判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.

典例1

（2019春•青羊区期末）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°

【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；

当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．

故选：D．

典例2

（2021春•龙岗区校级期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是　　

A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，3，5 D．2，6，10

【解答】解：．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；

．，能组成三角形，故此选项符合题意；

．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；

．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；

故选：．

典例3

（2019•金华）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是　　

A．1 B．2 C．3 D．8

【解答】解：由三角形三边关系定理得：，

即，

即符合的只有3，

故选：．

知识点二  三角形三条重要线段

注意：

三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．

典例1

（2020春•高明区期末）如图，已知点是中边上的一点，线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条　　

A．角平分线 B．中线 

C．高线 D．边的垂直平分线

【解答】解：由题意知，当线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条中线．

故选：．

典例2

（2020春•顺德区校级期末）如图，在中，已知点、分别是、边上的中点，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于、分别为、的中点，

、、、的面积相等，

，

．

故选：．

典例3

（2021春•历城区期中）如图，于点，于点，于点，下列关于高的说法中正确的是　　

A．中，是边上的高 B．中，是边上的高 

C．中，是边上的高 D．中，是边上的高

【解答】解：于点，

中，是边上的高，故选项正确，选项错误；

于点，

中，是边上的高，故选项错误，选项错误．

故选：．

典例4

（2020•恩施市模拟）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则　　．

【解答】解：是的边上的中线，

，

又，的周长比的周长多，

，

即，

，

故答案为：10；

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1．（2019春•皇姑区期末）若三角形的两个内角的和是，那么这个三角形是　　

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定

【解答】解：第三个角是，则该三角形是钝角三角形．

故选：．

2．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是　　

A．2，2，4 B．2，6，3 C．12，5，6 D．7，3，6

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

、，不能组成三角形；

、，不能组成三角形；

、，不能组成三角形；

、，能够组成三角形．

故选：．

3．（2020秋•门头沟区期末）如图所示，中边上的高线是　　

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段

【解答】解：由图可得，中边上的高线是，

故选：．

4．（2020秋•海珠区校级期末）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是　　

A．6 B．13 C．14 D．15

【解答】解：设第三边为，根据三角形的三边关系知，．

由于第三边的长为偶数，

则可以为6，

三角形的周长是．

故选：．

5．（2021春•福田区校级期中）如图，，，则中线的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：延长至，使，连接，如图所示．

点为中点，

．

在和中，

，

．

．

在中，由三角形三边关系可得，，

即①，

②．

解①得，解②得．

故．

故选：．

6．（2021春•南山区校级期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　　

A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 

C．三角形的稳定性 D．垂线段最短

【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．

故选：．

二、填空题（共5小题）

7．（2020春•宝安区期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　   　三角形．

【解答】解：三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，

这个三角形一定是直角三角形．

故答案为：直角．

8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有　 　对．

【解答】解：与、与、与共三对．

故答案为：3．

9．（2021春•盐田区校级期中）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为　　．

【解答】解：为的中线，

，

的周长，

，

，

，即，

的周长，

故答案为：．

10．（2019春•通川区期末）如图，是中边上的高，是的平分线，若，，则　　   ．

【解答】解：，，

，

平分，

，

是边上的高，

，

，

，

，

故答案为：．

11．（2021春•龙岗区校级期中）如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则　  　．

【解答】解：过点作，交于，连接，

为的中点，

为的中位线，

，，

，

，

，

，

，

，

，，，

，

，

故答案为27．

三、解答题（共2小题）

12．（2019秋•瑶海区期中）已知的三边长分别为，，．

（1）若，，满足，试判断的形状；

（2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．

【解答】解：（1），

，，

，

是等边三角形；

（2），，且为整数，

，即，

，5，6，

当时，周长的最小值；

当时，周长的最大值．

13．（2020春•福田区校级期末）如图，为的中线，为三角形中线，

（1），，求的度数；

（2）在中作边上的高；

（3）若的面积为60，，则点到边的距离为多少？

【解答】解：（1）是的一个外角，

．

（2）如图所示，即是中边上的高．

（3）为的中线，为三角形中线，

；

，

，

即点到边的距离为6．