专题05 两条直线的位置关系（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

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专题05 两条直线的位置关系知识网络  重难突破知识点一 对顶角、邻补角、互余、互补1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．2、对顶角两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．如图和是对顶角；和 是对顶角对顶角的性质：对顶角相等．注意：①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系；②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线．③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．  3、邻补角两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图，和有公共顶点，有一条公共边，与互为反向延长线，所以和互为邻补角；  4、余角和补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．（2）性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．  典例1 （2021春•福田区校级月考）下列四个图形中，与是对顶角的是　　A． B． C． D．【解答】解：、的两边不是的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；、的两边不是的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；、的两边是的两边的反向延长线，是对顶角，符合题意；、的两边是没有公共顶点，不是对顶角，不合题意；故选：． 典例2 （2020春•南山区期中）如图，直线与相交于点，为的角平分线，若，则的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：，，为的角平分线，，故选：． 典例3 （2020春•高明区期末）如图，直线于点，为过点的一条直线，则与的关系中一定成立的是　　A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角【解答】解：图中，（对顶角相等），又，，．故选：． 知识点二 垂直、垂线段最短   1、垂直两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线与互相垂直，记作或（），读作“垂直于”，垂足为；注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况． 2、垂线的性质平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条；②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条；③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段． 典例1 （2020春•揭阳期中）若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为　　A． B． C．或 D．至少【解答】解：从点作直线的垂线，垂足为点，当、、三点共线时，线段的长为，其它情况下大于，当、在直线的两侧时，，故选：． 典例2 （2020•金平区一模）能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是　　A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【解答】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是两点确定一条直线，故选：． 典例3 （2020•南海区校级模拟）如图，，，已知，那么的大小是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，，故选：．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020春•五莲县期末）下列四个图中，与是对顶角的是　　A． B． C． D．【解答】解：图中的两角没有公共顶点，不符合对顶角的条件；图、满足两角有一个公共定点，但两个角的边不是互为反向延长线，故不符合对顶角的条件；只有中的两个角满足对顶角的定义．故选：．2．（2019•紫金县一模）如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，故选：．3．（2019春•光明区期末）如图，，垂足为，，下列结论不正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：如图，，，，，，结论不正确的是：，故选：．4．（2020春•济阳区期末）如图，已知直线、相交于点，平分，，则的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：平分，，，．故选：．5．（2020秋•长春期末）如图，，，点是线段上的动点，则、两点之间的距离不可能是　　A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：，，，即．观察选项，只有选项符合题意．故选：．6．（2021春•历下区期中）如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是　　A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线【解答】解：先过点作，垂足为点，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；故选：．7．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是　　A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短【解答】解：某同学的家在处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线，是因为垂线段最短，故选：．8．如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：，射线平分，，，．故选：． 二、填空题（共5小题）9．（2021春•福田区校级期中）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是　　（用字母表示）．【解答】解：，由垂线段最短可知是最短的，故答案为：．10．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，直线与直线相交于点，，　　．【解答】解：依题意设，则，，，解得，．故答案为：．11．（2021春•南海区校级期中）如图，是直线上一点，，射线平分，，则　  　．【解答】解：．．平分．．．．．故答案为：20．12．（2020春•金山区期中）如图，直线，相交于点，，过点作，则的度数为　　．【解答】解：直线与直线相交，，．，，．故答案为：．13．（2021春•金牛区校级月考）已知与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的大小是　         ．【解答】解：设是度，根据题意，得①两个角相等时，如图，，解得；②两个角互补时，如图，所以，．故的大小是或．故答案为：或． 三、解答题（共2小题）14．（2021春•简阳市 月考）如图所示，直线、相交，于，且，求的度数和的度数．【解答】解：，，，，，，．15．（2020秋•砚山县期末）如图，直线与相交于点，．（1）如图1，若平分，求的度数；（2）如图2，若，且平分，求的度数．【解答】解（1），平分，，，，即的度数为； （2）设，，，平分，，，，，即的度数为．