专题1.2相交线与平行线（精讲精练）-2021-2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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【知识梳理】
1．余角与补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：同角（或等角）的补角相等．同角（或等角）的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
2. 对顶角与邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
注意：邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
3.垂线及其性质：
（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（4）垂线段的性质：垂线段最短．
注意：正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
4.同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
5.平行线的判定：
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，即平行公理的推论.
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
6.平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
7.平行线的性质与判定综合题解题方法：
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【典例剖析】
【考点1】余角和补角
【例1】如图所示，OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，且∠AOB＝90°，∠EOD＝67.5°的度数．
（1）求∠BOD的度数；
（2）∠AOE与∠BOC互余吗？请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义可求∠AOE与∠BOE，再根据角的和差关系可求∠BOD的度数；
（2）根据角平分线的定义可求∠BOC，再根据角的和差关系可求∠AOE与∠BOC是否互余．
【解析】（1）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOE＝45°，
∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝22.5°；
（2）∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝45°，
∴∠AOE+∠BOC＝45°+45°＝90°，
∴∠AOE与∠BOC互余．
【变式1-1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据余角的定义可直角计算求解．
【解析】A．∵∠1+∠2+90°＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠1与∠2互为余角，故正确；
B．∵∠1+45°+∠2+45°＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2＝270°，
即∠1与∠2不互为余角，故错误；
C．∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
D．∵∠1+∠2度数不确定，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误．
故选：A．
【变式1-2】如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，∠AOD＝130°，则∠BOC＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝130°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣130°＝50°．
故选：D．
【变式1-3】一个角的余角是它的补角的25，则这个角等于（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【分析】设这个角的度数是x°，根据题意得出方程90﹣x=25（180﹣x），求出方程的解即可．
【解析】设这个角的度数是x°，
则90﹣x=25（180﹣x），
解得：x＝30，
即这个角的度数是30°，
故选：C．
【变式1-4】已知∠AOB+∠COD＝180°．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOD＝68°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，指出∠AOD的补角并说明理由．
【分析】（1）根据角的和差关系解答即可；
（2）根据如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，据此解答即可．
【解析】（1）∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB＝90°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝∠COD﹣∠AOD，∠AOD＝68°，
∴∠AOD＝90°﹣68°＝22°，
∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC，
∴∠BOC＝90°+22°＝112°；
答：∠BOC＝112°．
（2）∵∠BOC+∠AOD＝180°﹣∠AOD+∠AOD＝180°，
∴∠BOC是∠AOD的补角．
【考点2】对顶角与邻补角
【例2】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM＝∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【解析】（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MON=32x°=32×36°＝54°，
即∠MON的度数为54°．
【变式2-1】在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解析】A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
【变式2-2】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝42°，则∠AOM等于（ ）
A．138°B．148°C．159°D．169°
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOM，根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解析】∵OM平分∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠BOM=12∠BOD=12×42°＝21°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝159°，
故选：C．
【变式2-3】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（ ）
A．72°B．98°C．100°D．108°
【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠OAC，结合图形计算，得到答案．
【解析】设∠BOD＝x，
∵∠BOD：∠BOE＝1：2，
∴∠BOE＝2x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，
∴∠OAC＝∠BOD＝36°，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，
【变式2-4】如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为 55° ．
【分析】根据角平分线的定义求出∠MOA的度数，根据邻补角的性质计算即可．
【解析】∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，
∴∠MOA＝∠MOC＝35°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：55°．
【考点3】同位角、内错角、同旁内角
【例3】如图图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
【解析】∵选项B中∠1和∠2是由四条直线组成，
∴∠1和∠2不是同位角．
故选：B．
【变式3-1】如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠4是内错角
C．∠5与∠6是内错角D．∠3与∠5是同位角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义结合图形进行判断即可．
【解析】如图，∠1与∠2是直线a与直线b被直线c所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；
∠1与∠6是直线a与直线b被直线c所截的内错角，而∠6与∠4是邻补角，所以∠1与∠4不是内错角，因此选项B符合题意；
∠5与∠6是直线c与直线d被直线b所截的内错角，因此选项C不符合题意；
∠3与∠5是直线c与直线d被直线b所截的同位角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【变式3-2】如图，给出以下说法：①∠B和∠1是同旁内角；②∠3和∠4是内错角；③∠B和∠AEC是同位角；④∠A和∠3是内错角；⑤∠2和∠3是对顶角，其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
【解析】∠B和∠1是直线AB和CE被直线BC所截的一对同旁内角，故①正确；
∠3和∠4不是内错角，故②错误；
∠B和∠AEC是直线CE和BC被直线AB所截的一对同位角，故③正确；
∠A和∠3是直线AB和CD被直线AC所截的一对内错角，故④正确；
∠2和∠3不是对顶角，故⑤错误；
即正确的有3个，
故选：B．
【考点4】平行线
【例4】同一平面内两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直B．相交、平行
C．垂直、平行D．相交、垂直、平行
【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答．
【解析】同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系．
故选：B．
【变式4-1】若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．
【解析】PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，
故C错误；
故选：C．
【变式4-2】下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解析】①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D．
【考点5】平行线的判定条件
【例5】如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么下列结论成立的是（ ）
A．∠l＝∠3B．∠2＝∠3C．AB∥CDD．AE∥DF
【分析】证明∠BAD＝∠CDA即可判断．
【解析】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AB∥CD，
故选：C．
【变式5-1】如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解析】要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故选：A．
【变式5-2】如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解析】①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
【变式5-3】如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则（ ）
A．AB∥CDB．AD∥BCC．AD＝BCD．AB＝CD
【分析】根据BD平分∠ABC得出∠1＝∠3，又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3，由内错角相等，两直线平行，从而得到AD∥BC．
【解析】∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
【变式5-4】如图，可以判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠B＝∠5
C．∠1＝∠2D．∠B+∠BCD＝180°
【分析】分别利用同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行得出答案即可．
【解析】A、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，本选项不符合题意；
B、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，本选项不符合题意；
C、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，本选项符合题意；
D、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，本选项不符合题意．
故选：C．
【考点6】平行线的性质
【例6】如图，若直线l1∥l2，则下列各式成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠4＝∠5C．∠2+∠5＝180°D．∠1+∠3＝180°
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【解析】∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
故选：D．
【变式6-1】如图，AB∥CD，∠A＝30°，∠F＝40°，则∠C＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】根据三角形外角性质得出∠FEB，再利用平行线的性质解答即可．
【解析】∵∠A＝30°，∠F＝40°，
∴∠FEB＝∠A+∠F＝30°+40°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠FEB＝70°，
故选：B．
【变式6-2】已知，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝64°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．26°C．30°D．35°
【分析】根据三角形外角性质得出∠3，再利用平行线的性质解答即可．
【解析】∵∠1+∠B＝64°，
∴∠3＝∠1+∠B＝64°，
∵a∥b，
∴∠3+∠ACD+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠ACD﹣∠3＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
故选：B．
【变式6-3】如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（ ）
A．10°B．35°C．70°D．80°
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，本题得以解决．
【解析】过点C作FC∥AB，
∵BA∥DE，
∴BA∥DE∥FC，
∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，
∵∠B＝30°，∠D＝40°，
∴∠BCF＝30°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝70°，
故选：C．
【变式6-4】如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．130°
【分析】根据翻折的性质可得∠2＝∠1，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解析】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，
∴∠3＝∠2=180°-50°2=65°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
【考点7】有关平行线判定的解答题
【例7】已知，如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的判定与性质定理即可求解．
【解析】证明：∵∠1＝∠E，
∴AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD．
【变式7-1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，求证：CE∥BF．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】证明：∵∠3＝∠4，
∴DF∥BC，
∴∠5＝∠BAF，
∵∠5＝∠6，
∴∠6＝∠BAF，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠AGE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AGE，
∴CE∥BF．
【变式7-2】已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接AD和BC、∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：AD∥BC．
【分析】求出∠1＝∠BDC，根据平行线的判定得出AB∥CF，根据平行线的性质得出∠C＝∠EBC，求出∠A＝∠EBC，根据平行线的判定得出即可．
【解析】证明：∠2+∠BDC＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴AB∥CF，
∴∠C＝∠EBC，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠EBC，
∴AD∥BC．
【变式7-3】如图，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：AC∥DF．
【分析】根据对顶角的性质得到BD∥CE的条件，然后根据平行线的性质得到∠ABD＝∠C，根据∠C＝∠D，则得到∠D＝∠ABD，进而得出AC∥DF．
【解析】证明：∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD；
又∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴AC∥DF．
【变式7-4】如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；
（2）根据平行线的判定解答即可．
【解析】证明：（1）∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
【考点8】平行线的性质与判定综合问题
【例8】如图，已知CD∥BF，∠B+∠D＝180°，求证：AB∥DE．
【分析】利用平行线的性质定理可得AOC＝∠ABF，有对顶角相等和等量代换可得∠BOD+∠D＝180°，利用同旁内角互补，两直线平行可得结论．
【解析】证明：∵CD∥BF，
∴∠AOC＝∠ABF，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠ABF，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠BOD+∠D＝180°，
∴AB∥DE．
【变式8-1】如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1＝32°，
（1）求∠ACE的度数；
（2）若∠2＝58°，求证：CF∥AG．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解析】（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE＝32°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝32°；
（2）∵CF⊥CE，
∴∠FCE＝90°，
∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，
∵∠2＝58°，
∴∠FCH＝∠2，
∴CF∥AG．
【变式8-2】如图，在△ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3＝∠C．
（1）若∠C＝40°，求∠BFD的度数；
（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由∠1与∠2互补，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出AC∥DF，再利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠BFD的度数；
（2）由（1）可知∠BFD＝∠C，结合∠C＝∠3可得出∠BFD＝∠3，再利用“内错角相等，两直线平行”即可找出DE∥BC．
【解析】（1）∵∠1与∠2互补，
∴AC∥DF，
∴∠BFD＝∠C＝40°；
（2）DE∥BC，理由如下：
由（1）可知：∠BFD＝∠C，
∵∠C＝∠3，
∴∠BFD＝∠3，
∴DE∥BC．
【变式8-3】如图，AE∥FC，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．
（1）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（2）BC平分∠DBE吗？为什么？
【分析】（1）由平行线的性质得到∠C＝∠CBE，由此得到∠A＝∠CBE，根据平行线的判定即可证得结论；
（2）由角平分线的定义得到∠FDA＝∠BDA，根据平行线的性质得到∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，于是得到∠EBC＝∠CBD，即可证得结论．
【解析】（1）平行．
理由如下：
∵AE∥FC，
∴∠C＝∠CBE，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CBE，
∴AD∥BC；
（2）平分．
理由如下：
∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠BDA，
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBC＝∠CBD，
∴BC平分∠DBE．
【变式8-4】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝∠ADB＝36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠EFC＝36°