黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022届高三上学期第一次月考数学（文）试题 含答案

哈师大附中2021-2022年度高三学年上学期第一次月考

数学试卷（文科）

考试时间：120分钟      满分：150分

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1.已知集合，则（    ）

A．            B．            C．           D．

2．已知，，，则与的夹角为（    ）

A．120° B．60° C．45° D．30°

3．等差数列的前15项和，则（    ）

A．-2 B．6 C．10 D．14

4．已知向量，，则（    ）

A． B．          C． D．5

5. 若，则（    ）

A.               B.               C. 1               D.

6．在中，若，，，则（　　）

A．              B．             C．3              D．

7.若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ）

A.     B.       C.         D.

8．如图是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象，则f()＝（    ）

A．－      B．－1       C．1    D．

9．曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ）

A．               B．                 C．          D．

10.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是（    ）

A.            B.             C.              D.  

11．函数的部分图象大致为（    ）

A．B．C．D．

12．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数在上的最大值为_________.

14．已知，，则的值为________________.

15．已知奇函数满足，且当时，，则的值为_______.

16.递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则       .

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，且a1＋2，a2＋5，a3＋13构成等比数列{bn}的前三项.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.

18．（本题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若锐角满足，求的值.

19．（本题满分12分）

数列的前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20．（本题满分12分）

在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）当时，求的取值范围．

21．（本题满分12分）

已知抛物线：上的点到焦点的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．

22.（本题满分12分）

已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）证明：对任意，都有．

哈师大附中2021-2022年度高三学年上学期第一次月考

数学答案（文科）

一．选择题

1～6  BDBCAD  7～12 CABDAC

二．填空题

13.    14.    15．1      16. 364

三．解答题

17．解：(1)设等差数列的公差为d，则由已知得：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，即a2＝5，

又(5－d＋2)(5＋d＋13)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，a1＝a2－d＝3，

∴an＝a1＋(n－1)×d＝2n＋1，

又b1＝a1＋2＝5，b2＝a2＋5＝10，∴q＝2，∴bn＝5·2n－1；

(2)由（1）得，

∵Tn＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1]，

2Tn＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n]，

两式相减得－Tn＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n]

＝5[(1－2n)2n－1]，

则Tn＝5[(2n－1)2n＋1].

18．解：（1）因为，

所以，

所以，

所以最小正周期；

（2）因为，所以，

又因为，且为锐角，所以.

19．解：（1）因为，所以，

所以，即，

当时，，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以.

（2）设公差为，由，得，

因为成等比数列，所以，即，解得或（舍去），

所以，所以.

所以，因为，

所以，.

20．解：（1）由及正弦定理得，

所以，所以，所以，由，可得；

（2），，所以，

所以：

，

因为为锐角三角形，则，解得，

所以，，则，所以，.

21．解：（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离为，得，解得，

所以抛物线的标准方程为．

（2）设，，

显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，

联立消去得，

由得，即．

所以，．

又因为，，

所以，

所以，

即，解得，满足，

所以直线的方程为．

22.解：（1）因为，

所以，

则函数的定义域为，

而

因为，令，解得；令，解得，

所以在区间单调递减，在区间单调递增，

故函数有极小值为，无极大值；

（2）因为，，

所以，

因为，令，可得（舍）或，

令，得，令，得，

故在区间单调递减，在区间单调递增

所以，，

若对任意，都有，

只需证，，

即证，，

，，

令，，

只需证

，所以函数在单调递增，

，

对任意，都有，