第二篇专题二数列的综合应用 2022版高考数学复习讲义

  数列的综合应用等差(比)数列的判断与证明　【典例1】(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．【思维点拨】(1)明思路：证明等差数列，定义法！找关系：利用Sn，bn的关系式建立{bn}的递推关系；定方向：确定整理的方向——等差数列定义式就是目标式！(2)求bn：由(1)定性，直接求通项；求Sn：代入已知关系式求解； 求an：由和式求通项，分段求【规范解答】(1)由已知可得：＋＝2，＝Sn(n≥2)⇒＋＝2(n≥2)⇒2bn－1＋1＝2bn(n≥2)⇒bn－bn－1＝(n≥2)，b1＝.故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．………………6分易错点不能根据Sn，bn的关系式建立{bn}的递推关系障碍点不能利用前n项之积bn表示数列的通项Sn 学科素养逻辑推理、数学运算评分细则用bn表示出Sn，求出b1各得1分；求出递推关系得3分，写出所证得1分．注意不写bn＋1≠0不扣分；不写n∈N*不扣分(2)由(1)知bn＝＋(n－1)＝，则＋＝2⇒Sn＝.9分n＝1时，a1＝S1＝.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝12分易错点由Sn求an，忽视首项的求解与检验障碍点解决和式与项的关系时易遗漏首项学科素养逻辑推理、数学运算评分细则求出bn得2分；求出Sn得1分；求n＝1与n≥2分别得1分；检验与结论得1分1．证明数列{an}是等差数列或等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1－an或(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1；等比中项a＝an－1an＋1(n≥2).2．“累加(积)法”破解数列通项公式数列通项公式的求解，主要是利用通项公式法，对于形如an＋1－an＝f(n)或＝f(n) 的递推关系，求其通项公式应根据递推关系的结构特征分别利用累加法或累积法求解．求解过程注意两点：(1)累加或累积的最后一个式子：求通项公式时，要注意最后一个递推关系应为an－an－1或，这样运算的结果才可以得到an的表达式，否则得到的就是an＋1的表达式；(2)累加或累积的结果：若第一行写出首项a1，就前n个式子的和或积就是数列{an}的通项公式；若第一行没有写出首项，则就变为前n－1个式子的和或积，其运算的结果应为an－a1或.　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.又①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).因为bn＝an＋1－2an，所以bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以－＝，故是首项为，公差为的等差数列．所以＝＋(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n－2.数列与概率的交汇【典例2】棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败集中营)时游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn.(1)求P3的值；(2)证明：Pn＋1－Pn＝－(Pn－Pn－1)(2≤n≤98).【思维点拨】(1)怎样才能到达目的地，要看上一步到达的地点(2)递推关系要依据上一步所到的位置确定【解析】(1)由题意，P0＝1；P1＝；P2＝P0＋P1＝×1＋×＝.依题意，棋子要到第3站，有两种情况：由第2站跳1站得到，其概率为P2；可以由第1站跳2站得到，其概率为P1.所以P3＝P1＋P2＝×＋×＝.(2)依题意，当2≤n≤98时，棋子要到第(n＋1)站，有两种情况：由第n站跳1站得到，其概率为Pn；可以由第(n－1)站跳2站得到，其概率为Pn－1.所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1.同时减去Pn得，Pn＋1－Pn＝－Pn＋Pn－1＝－(Pn－Pn－1)(2≤n≤98).　该题中，试求出Pn并比较游戏结束时，进入胜利大本营还是失败集中营的可能性大．【解析】依照典例的分析，数列是首项为P2－P1＝，公比为－的等比数列，所以Pn＋1－Pn＝·n－1＝n＋1，所以P99＝P1＋(P2－P1)＋(P3－P2)＋…＋(P99－P98)＝＋(－)2＋(－)3＋…＋(－)99＝＋＝(1－)，又P99－P98＝(－)99＝－，则P98＝.又P100＝P98＝，显然P100<P99，所以胜利大本营的可能性大．　某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是.记第n代开红花的概率为pn，第n代开黄花的概率为qn.(1)求p2；(2)①证明：数列(n∈N*)为等比数列；②第n(n∈N*，n≥2)代开哪种颜色花的概率更大？【解析】(1)第二代开红花包含两个互斥事件：即第一代开红花后第二代也开红花；第一代开黄花后第二代开红花，故由p1＝，得p2＝p1·＋(1－p1)·＝；(2)①由题意可知，第n代开红花的概率与第(n－1)代的开花的情况相关，故有pn＝pn－1·＋(1－pn－1)·＝－pn－1＋，则有pn－＝－(pn－1－)，又p1－＝－＝.所以数列是以为首项，以－为公比的等比数列．②由①知pn－＝×(－)n－1，故pn＝＋×(－)n－1≤＋＝，故有当n∈N*时，pn≤.因此，第n(n∈N*，n≥2)代开黄花的概率更大．数列与不等式的交汇问题【典例3】若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(x∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan，求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.【思维点拨】(1)抓住关系：点(an，Sn)在y＝－x的图象上(2)准确求和：数列的通项是关键，求和方法由通项特征定【解析】(1)因为点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)，所以Sn＝－an，当n≥2时，Sn－1＝－an－1，所以an＝an－1－an，化为an＝an－1，当n＝1时，a1＝S1＝－a1，解得a1＝.所以an＝×＝×()n＝()2n＋1.(2)对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，所以cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＝＝(n＋1)(n－1).所以当n≥2时，＝＝(－)，所以＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＜(1＋)＝，又＋＋…＋≥＝.所以≤＋＋＋…＋＜.数列中不等式问题的处理方法　(1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．(2)放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到．(3)比较法：作差或者作商比较．　(2021·南京三模)在①a3＋b3＝0，②S3＝－19.5，③a3＋a1＝2＋这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．已知等差数列{an}的公差为d，Sn是数列{an}的前n项和，等比数列{bn}的公比为q(q≠1)，Tn是数列{bn}的前n项和，________，b1＝1，T3＝3，d＝－q，是否存在正整数λ，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【解析】由b1＝1，T3＝b1(1＋q＋q2)＝3，得q＝－2或q＝1(舍去)，所以bn＝(－2)n－1.选①，因为a3＋b3＝0，所以a3＝－b3＝－4，d＝－q＝2，所以an＝a3＋2(n－3)＝2n－10，a1＝－8，所以Sn＝n(n－9)＝－≥－20，由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤1，所以λ＝1，所以当λ＝1时，30＋Sk≤10，解得k＝4或5，故存在λ＝1，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．选②，因为S3＝－19.5，所以a2＝－6.5，d＝－q＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－10.5，a1＝－8.5，所以Sn＝n(n－9.5)＝－≥－22.5.由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤＜2，所以λ＝1，所以当λ＝1时，30＋Sk≤10，解得k＝4或5或6，故存在λ＝1，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．选③，因为a3＋a1＝2＋＝6，所以a2＝＝3，d＝－q＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－1，a1＝1，所以Sn＝n2，所以30＋Sk＞10，所以不存在正整数λ，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．