第二篇 专题五 第2课时 圆锥曲线中的定点、定值问题. 2022版高考数学复习
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专题五 第2课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点问题
【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P满足||||＝·.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)设D为直线y＝－2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF过定点．
【思维点拨】
(1) | 设P(x，y)，利用||||＝·求出动点的轨迹方程 |
(2) | 设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，利用直线与圆锥曲线相切，得到直线EF的方程，再确定定点 |
【解析】(1)设P(x，y)，则＝(－x，－1－y)，＝(－x，1－y)，＝(0，2)，＝(0，－2)，
所以||||＝·，
＝1＋y
化简得x2＝4y，所以C的方程为x2＝4y.
(2)由题意可设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
由题意知切线DE，DF的斜率都存在，
由x2＝4y，得y＝，则y′＝，所以kDE＝，
直线DE的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝x－，①
因为E(x1，y1)在x2＝4y上，所以x＝4y1，即＝2y1，②
将②代入①得x1x－2y1－2y＝0，
所以直线DE的方程为x1x－2y1－2y＝0，
同理可得直线DF的方程为x2x－2y2－2y＝0，
因为D(t，－2)在直线DE上，所以tx1－2y1＋4＝0，又D(t，－2)在直线DF上，所以tx2－2y2＋4＝0，
所以直线EF的方程为tx－2y＋4＝0，
故直线EF过定点(0，2).
本例若改为：
已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)若Q是直线l：y＝x－4上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．
【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，|PA|＝2|PB|，即＝2，整理得x2＋y2＝4，所以曲线E的轨迹方程为x2＋y2＝4；
(2)依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，
因为Q是直线l：y＝x－4上的动点，设Q(t，t－4)，则圆F的圆心为，且经过坐标原点即圆的方程为x2＋y2－tx－(t－4)y＝0.
又因为M，N在曲线E：x2＋y2＝4上，
由，可得tx＋(t－4)y－4＝0，
即直线MN的方程为tx＋(t－4)y－4＝0.
由t∈R且t(x＋y)－4y－4＝0可得，，解得，
所以直线MN是过定点(1，－1).
直线过定点问题的常见解法
(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．
(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．
提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键．
(2021·石家庄二模)已知直线l：y＝x－1与椭圆C：＋＝1(a＞1，b＞0)相交于P，Q两点，M(－1，0)，·＝0.
(1)证明椭圆过定点T(x0，y0)，并求出x＋y的值；
(2)求弦长|PQ|的取值范围．
【解析】(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立，
整理得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0.
x1＋x2＝，x1x2＝，
因为·＝0，所以(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x1－1)(x2－1)
＝2x1x2＋2＝0.
所以x1x2＝＝1，得2a2＋b2＝a2b2.
所以＋＝1，
即椭圆过定点T1(1，)，T2(1，－)，
T3(－1，)，T4(－1，－)，
所以x＋y＝1＋2＝3；
(2)|PQ|＝|x1－x2|＝
＝＝2·
＝2·.①
由2a2＋b2＝a2b2，得b2＝＞0，
所以＝，代入①，
得|PQ|＝2·，
因为a2＞1，所以|PQ|的取值范围是(2，4).
圆锥曲线中的定值问题
【典例2】(2021·新高考I卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
【思维点拨】
(1) | 利用双曲线的定义可知轨迹方程 |
(2) | 分别求出|TA|·|TB|，|TP|·|TQ|的表达式，由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|化简可得斜率之和． |
【规范解答】(1)因为|MF1|－|MF2|＝2，
所以轨迹C为双曲线右半支，2分
c2＝17，2a＝2，
所以a2＝1，b2＝16，
所以C的方程为x2－＝1(x＞0).4分
易错点 | 没有判断出是双曲线的右支 |
障碍点 | 不能利用双曲线定义判定曲线轨迹 |
学科素养 | 逻辑推理、数学运算，直观想象 |
评分细则 | 判断出是双曲线右支得2分，只判断出双曲线没有说明为双曲线的右支扣1分。 |
(2)设T，设AB：y－n＝k1，
联立，
所以(16－k)x2＋(k－2k1n)x－k－n2＋k1n－16＝0，6分
所以x1＋x2＝，
x1x2＝，
|TA|＝，
|TB|＝，8分
所以|TA|·|TB|＝(1＋k)
＝，
设PQ：y－n＝k2，
同理|TP|·|TQ|＝， 10分
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，1＋＝1＋，
所以k－16＝k－16，即k＝k，
因为k1≠k2，所以k1＋k2＝0.12分
易错点 | 化简|TA|·|TB|，|TP|·|TQ|出错 |
障碍点 | 误认为直接求两直线斜率，导致无法完成 |
学科素养 | 逻辑推理、数学运算、直观想象 |
评分细则 | 未说明直线AB斜率不存在情况扣1分，|TA|·|TB|表达式化简正确得2分． |
求定值问题常见的方法
(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2021·南京一模)设F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：为定值．
【解析】(1)若B为椭圆的上顶点，则B(0，1).
又AB过点(2，0)，故直线AB：x＋2y－2＝0.代入椭圆C：＋y2＝1，可得3y2－4y＋1＝0，
解得y1＝1，y2＝，即点A(，)，从而直线AF：y＝x－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法一：设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
故k1＋k2＝＋＝＋
＝＝＝0.
又k1，k2均不为0，故＝－1，即为定值－1.
方法二：设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
所以＝－，即ty1y2＝－，所以＝＝＝＝＝＝－1，即为定值－1.
方法三：设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，所以＝＋＝－2t.所以＝＝＝＝＝，把＝－2t－代入得＝－1.
方法四：设直线AB：y＝k(x－2)，代入椭圆的方程可得(1＋2k2)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以＝＝＝＝.
因为x1x2－x1－x2＋2＝＋2＝，x2＝－x1，代入得＝＝＝－1.
