2021届四川省成都市双流中学高三下学期三模数学（理）试题含解析

这是一份2021届四川省成都市双流中学高三下学期三模数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届四川省成都市双流中学高三下学期三模数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，则A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得集合A，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数的定义域可得：，结合交集的定义有：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．若复数，复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据的性质化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】根据的性质，可得复数，则复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.3．如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（    ）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京､深圳､广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津､西安､厦门【答案】D【分析】从折线图看涨幅，从条形图看高低，逐项判定即可.【详解】从折线图看，深圳的涨幅最接近0%,从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；从折线图看，天津和重庆的涨幅都在0%以上，都是正值，故B正确；从条形图看，平均价格前三位的是北京、深圳、广州，故C正确；从折线图看，涨幅前三位的是天津、西安、南京，厦门的涨幅接近-7.50%,故D错误；故选：D.4．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别判定与0、1的大小关系，即可得出结论.【详解】，，，，∴,故选：A5．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.【详解】 ∴BA⊥AC,∴△ABC为直角三角形，    故选：6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A．k＞4? B．k＞5?C．k＞6? D．k＞7?【答案】A【分析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行 ，第三次运行，第四次运行 ，输出，所以判断框内为 ，故选A. 【解析】程序框图. 7．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”（注：1丈等于10尺）A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺【答案】C【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长（尺）故选C8．的值为（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用同角三角函数的基本关系式和二倍角公式化简即可.【详解】解：，故选：C.9．展开式中，项的系数为A．30 B．70 C．90 D．-150【答案】B【详解】 ，对于中 的系数为 ，对于中 的系数为，所以 的系数为 ．故选B．10．在中，角所对的边分别为，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意和三角恒等变换的公式，求得，根据正弦函数与余弦函数的性质得到且，得出，求得，，结合正弦定理，即可求解.【详解】因为，即，所以，可得，所以，由正弦函数与余弦函数的性质，可得且，因为且，所以，解得，所以，又由正弦定理可得.故选：C.11．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则A．2 B． C． D．4【答案】C【详解】
过分别作准线的垂线交准线于两点，设 ，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得 ，又，即 ，解得，故选C.【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题12．定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令，则，解得．故选B．  二、填空题13．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．【答案】.【分析】首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，综上可得，目标函数的取值范围是.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14．一名小学生的年龄和身高的数据如下表.由散点图可知，身高(单位：)与年龄(单位：岁)之间的线性回归方程为，预测该学生10岁时的身高约为___________.年龄x6789身高y118126136144 【答案】153【分析】先求出样本中心点，代入回归直线，求出方程，把代入即可求解.【详解】由题意得：，把代入求得：，所以，当时，.故答案为：153.15．过直线上一点作圆：的两条切线的夹角为60°，则点的坐标为__________．【答案】【详解】设切断为E、F由切线的性质可知，因为所以设，由 故点的坐标为.【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，以及切线的性质．已知切线往往连接圆心与切点，借助图形构造直角三角形解决问题，培养了学生数形结合的思想，分析问题，解决问题的能力 16．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，…，，则__________．【答案】4【详解】
因为，两个函数对称中心均 为 ； 画出，的图象，由图可知共有四个交点，且关于对称，，,故，故答案为. 三、解答题17．设为数列的前项和，已知，.（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？【答案】（1）证明见解析；（2），，，成等差数列.【分析】（1）由已知条件和递推关系先求得，进而得到，然后根据确定了的递推关系，利用等比数列的定义证明是等比数列；（2）由（1）的结论,利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式，进而得到，然后利用分组求和和等比数列的求和公式求得的表达式，然后利用等差数列的定义证明，，成等差数列..【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，，∴是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，∴，∴，即，，成等差数列.18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1），平均身高为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）利用直方图的面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出平均数；（2）分析可知，根据二项分布可得随机变量的分布列，进而可计算得出的值.【详解】（1）根据题意得，解得，设样本中男生身高的平均值为，，所以估计该市中学全体男生的平均身高为；（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为.由已知得，所以，，，.随机变量的分布列为所以.19．如图，在斜三棱柱中，侧面 底面，侧棱 与底面成 的角，，底面 是边长为的正三角形，其重心为 点，是线段 上一点，且.（1）求证：侧面 ；（2）求平面与底面 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，证得底面，建立空间直角坐标系，求得和，利用证得侧面；（2）求得平面的法向量为和底面的一个法向量为，利用两法向量的余弦值求得平面与底面成锐二面角的余弦值.【详解】（1）侧面底面，侧棱与底面成的角,，，取的中点，则底面，以为原点建立空间直角坐标系如图：则，,，.为的重心，，,又侧面侧面. （2）设平面的法向量为，则由，得，可取又底面的一个法向量为，设平面与底面成锐二面角大小为，则.故平面与底面成锐二面角的余弦值为.【解析】1、线面平行的判定；2、二面角的计算.20．已知椭圆. （Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（1）由a2=2，b2=n，所以c2=2-n，又，得n
（2）若存在点M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
则直线AM和BM的斜率存在，分别设为k1，k2．等价于k1+k2=0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x+2）．与椭圆方程联立，利用△＞0．求出．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过令，求出m．【详解】解：（1） 因为 ，，所以 ．又 ，所以有 ，得 ．    （2）若存在点 ，使得 ，则直线 和 的斜率存在，分别设为 ，，且满足 ．依题意，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ．由 得 ．因为直线 与椭圆 有两个交点，所以 ．即 ，解得 ．设 ，，则 ，， ，．令 ，即 ，即 ，当 时，，所以 ，化简得，，所以 ．当 时，检验也成立．所以存在点 ，使得 ．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，考查转化思想的应用，存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题21．设函数 （1）若，求的单调区间；（2）若，对任意的，不等式恒成立.求 的值；（3）记为的导函数，若不等式在上有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）.【分析】（1）求出，令，解出不等式可得答案.（2）设.由题意知，可得时函数单调递增，所以在上恒成立，分离参数即可求解.（3）由题意即，在上有解.即在上有解，设，故，由导数得出其单调性，从而得出最值即可得到答案.【详解】（1），所以，因为，所以时，，时，，所以的增区间为，减区间为.（2）当，.由恒成立，即恒成立，设.由题意知，故当时函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在时取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值.由此可得，故，结合已知条件，，可得.（3）不等式在上有解.即为，化简得：，在上有解.由知，因而，设，由，∵当时，，∴在时成立.由不等式有解，可得知，即实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数单调区间以及利用导数解决恒成立、能成立问题，解答本题的关键是由恒成立，设.由题意可得函数在上单调递增，则恒成立，由题意分离参数得而，从而利用导数求出单调性得出其最小值即可，属于难题.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，.（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.【答案】（1），曲线为开口向右的抛物线；（2）.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的方程为，以及曲线的形状；（2）根据直线的参数方程得到直线经过点，求得直线的普通方程，联立方程组，结合抛物线的焦点弦的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程为，可得，又由，可得，即曲线为开口向右的抛物线.（2）由直线的参数方程为(为参数，)，可得直线经过点，则，则，，，所以直线的参数方程为，则直线的直角坐标方程为，设，联立方程组，整理得，可得，又由直线过抛物线的焦点，所以.23．已知函数（I）（II）【答案】（I）（II）【详解】（I）解法一当a=2时，，利用几何意义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即数x可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位．故，不等式的解集为．（I）解法二当a=2时，故，不等式的解集为．（II）令由，又知所以第一问的解法一主要运用了绝对值的几何意义，这种方法比较直观简单，解法二主要运用绝对值的意义进行分类讨论解决；第二问主要是含有字母a,以a作为依据分为三段来解决，最后于所给的解集相等进而求得a的值．【考点定位】本题考查绝对值不等式以及含有参数不等式的分类讨论．