2021年湖南省永州市道县七年级下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2021年湖南省永州市道县七年级下学期期末考试数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省永州市道县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案；请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置。每小题4分，共40分）
1．张明在今年的五一长假期间跟爸爸出去自驾旅游看见路边的交通标志，下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（x3）2＝x5
C．（2a）2＝4a2 D．（x+1）2＝x2+1
3．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8）
C．a2+2a+2＝（a+1）2+1 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
5．下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．平移不改变图形的形状和大小
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
6．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
7．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（　　）

A．70° B．80° C．110° D．100°
8．如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是（　　）

A．∠C＝∠CBE B．∠A+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠CDB D．∠A＝∠CBE
9．若与是同类项，则a+b＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．4
10．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．是二元一次方程x+ay＝7的一个解，则a的值为 　 　．
12．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则实数m的值是 　 　．
13．若a+4b＝10，2a﹣b＝﹣1，则a+b＝　 　．
14．一组数据2、5、x、4、3；这组数据的平均数是4，那么x等于 　 　．
15．分解因式：x2﹣4y2＝　 　．
16．如图，要使AD∥BF，则需要添加的条件是　 　（写一个即可）

17．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°后，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥BC，则∠BCA′的度数是　 　．

18．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　 　种．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（12分）把下列各式分解因式：
（1）a3+2a2b+ab2．
（2）m4﹣1．
20．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣（2a+1）（2a﹣1），其中a＝2．
21．（8分）解方程组：．
22．（8分）每一年的中考体育测试有一个项目是排球垫球，九年级学生赵明和何亮为了训练排球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数成绩：
赵明：25 23 27 29 21
何亮：24 25 23 26 27
试求出两位同学在训练中排球垫球的平均数；他们两位同学谁的成绩更稳定？为什么？
23．（10分）端午粽飘香，2021年6月14日是一年一度的端午节，道县人民喜爱包粽子，但是这一天也是全国高二学生学业水平考试，李老师为了让同学们在紧张的考试当中过一个愉快的端午节，决定购买粽子分发给同学们过端午，如果购买7个大粽子和4个小粽子需要29元，购买5个大粽子和2个小粽子需要19元，问：最后李老师购买了30个大粽子和20个小粽子共花了多少元？
24．（10分）如图，直线AB、CD与直线EF相交于点M、N两点，已知∠1＝130°，∠2＝50°．求证：∠3＝∠4．

25．（12分）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．
小明在学习完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2时，代数式（a±b）2的值具有非负性（即该式的值总是正数或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x2+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：
解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10
＝（x2+6x+9）﹣10
＝（x+3）2﹣10．
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，当x＝﹣3时，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x2﹣4x+7的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并写出此时x的值．
26．（12分）小华同学探究平行线的性质：
（1）如图（1）在平面上画出两条平行线AB∥CD，在平行线之间取一点E，连接BE和DE，已知∠ABE＝30°，∠CDE＝35°，求：∠BED的度数．
（2）如图（2）在平面上画出两条平行线AB∥CD，在平行线右上方取一点F，连接BF和DF，已知∠ABF＝150°，∠CDF＝130°，求：∠BFD的度数．
（3）如图（3）在平面上画出两条平行线AB∥CD，在平行线正上方取一点G，连接BG和DG，已知∠ABG＝α，∠CDG＝β（α＞β），直接写出∠BGD的度数（用含有α、β的式子表示）．

2020-2021学年湖南省永州市道县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案；请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置。每小题4分，共40分）
1．张明在今年的五一长假期间跟爸爸出去自驾旅游看见路边的交通标志，下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（x3）2＝x5
C．（2a）2＝4a2 D．（x+1）2＝x2+1
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方的运算法则、积的乘方的运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（2a）2＝4a2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×3+②得：7x＝14，即x＝2，
把x＝2代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
故选：C．
4．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8）
C．a2+2a+2＝（a+1）2+1 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
B、原式＝4a（a﹣2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x﹣1）2，符合题意．
故选：D．
5．下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．平移不改变图形的形状和大小
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据平移的性质对C进行判断；根据平行线的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项不符合题意；
B、两直线平移，同位角相等，所以B选项符合题意；
C、平移不改变图形的形状和大小，所以C选项不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以D选项不符合题意．
故选：B．
6．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
故选：C．
7．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（　　）

A．70° B．80° C．110° D．100°
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠3＝∠5＝110°，
∵∠1＝∠2＝58°，
∴a∥b，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝70°，
故选：A．

8．如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是（　　）

A．∠C＝∠CBE B．∠A+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠CDB D．∠A＝∠CBE
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠CBE，∴AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误；
C、∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故本选项错误；
D、∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BC，故本选项正确．
故选：D．
9．若与是同类项，则a+b＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．4
【分析】根据同类项的定义得到a＝2，b＝3，代入计算即可．
【解答】解：∵xay3与x2yb是同类项，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5．
故选：A．
10．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
故正方形的面积为（m+n）2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积＝（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．是二元一次方程x+ay＝7的一个解，则a的值为 　2　．
【分析】将方程的解代入方程，可得1+3a＝7，求出a的值即可．
【解答】解：将代入x+ay＝7，
可得1+3a＝7，
∴a＝2，
故答案为2．
12．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则实数m的值是 　±6　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，x2+mx+9＝x2+mx+32，
∴mx＝±2x•3，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
13．若a+4b＝10，2a﹣b＝﹣1，则a+b＝　3　．
【分析】由题意，将两式相加，化简即可得出．
【解答】解：∵a+4b＝10①，2a﹣b＝﹣1②，
①+②可得：3a+3b＝9，
即：a+b＝3．
故答案为：3．
14．一组数据2、5、x、4、3；这组数据的平均数是4，那么x等于 　6　．
【分析】根据算术平均数的定义得出＝4，解之即可得出答案．
【解答】解：∵数据2、5、x、4、3的平均数是4，
∴＝4，
解得x＝6，
故答案为：6．
15．分解因式：x2﹣4y2＝　（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
16．如图，要使AD∥BF，则需要添加的条件是　∠A＝∠EBC　（写一个即可）

【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件．
【解答】解：当∠A＝∠EBC（或∠D＝∠DCF或∠A+∠ABC＝180°或∠D+∠BCD＝180°）时，AD∥BF，
故答案为：∠A＝∠EBC（答案不唯一）．
17．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°后，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥BC，则∠BCA′的度数是　110°　．

【分析】根据∠BCA′＝∠ACB+∠ACA′，求出∠ACB，∠ACA′即可解决问题；
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠A′CB′＝90°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°，
∴∠BCA′＝90°+20°＝110°，
故答案为110°．
18．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种．

【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形．

故答案为：3．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（12分）把下列各式分解因式：
（1）a3+2a2b+ab2．
（2）m4﹣1．
【分析】（1）原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（a2+2ab+b2）
＝a（a+b）2；
（2）原式＝（m2+1）（m2﹣1）
＝（m2+1）（m+1）（m﹣1）．
20．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣（2a+1）（2a﹣1），其中a＝2．
【分析】直接利用乘法公式化简、合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣（4a2﹣1）
＝4a2+4a+1﹣4a2+1
＝4a+2，
当a＝2时，原式＝4×2+2
＝10．
21．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
由①+②得8x＝﹣8，即x＝﹣1，
代入①得：y＝3，
故原方程组的解为．
22．（8分）每一年的中考体育测试有一个项目是排球垫球，九年级学生赵明和何亮为了训练排球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数成绩：
赵明：25 23 27 29 21
何亮：24 25 23 26 27
试求出两位同学在训练中排球垫球的平均数；他们两位同学谁的成绩更稳定？为什么？
【分析】根据方差的定义计算出甲、乙的方差，再利用方差的意义即可得出答案．
【解答】解：乙的成绩更稳定，理由如下：
∵甲＝×（25+23+27+29+21）＝25（个），乙＝×（24+25+23+26+27）＝25（个），
∴＝×[（25﹣25）2+（23﹣25）2+…+（21﹣25）2]＝8，
＝×[（24﹣25）2+（25﹣25）2+…+（27﹣25）2]＝2，
从方差来看，＞，乙的成绩更稳定．
23．（10分）端午粽飘香，2021年6月14日是一年一度的端午节，道县人民喜爱包粽子，但是这一天也是全国高二学生学业水平考试，李老师为了让同学们在紧张的考试当中过一个愉快的端午节，决定购买粽子分发给同学们过端午，如果购买7个大粽子和4个小粽子需要29元，购买5个大粽子和2个小粽子需要19元，问：最后李老师购买了30个大粽子和20个小粽子共花了多少元？
【分析】设购买一个大粽子需要x元，购买一个小粽子需要y元，根据“购买7个大粽子和4个小粽子需要29元，购买5个大粽子和2个小粽子需要19元”列出方程组并解答．
【解答】解：设购买一个大粽子需要x元，购买一个小粽子需要y元，根据题意，得．
解这个方程组得：．
所以30×3+20×2＝130（元）．
答：最后李老师购买了30个大粽子和20个小粽子共花了130元．
24．（10分）如图，直线AB、CD与直线EF相交于点M、N两点，已知∠1＝130°，∠2＝50°．求证：∠3＝∠4．

【分析】由对顶角相等得到∠FMB＝∠1＝130°，从而得到∠FMB+∠2＝180°，即可判定AB∥CD，再由平行线的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠1＝130°，
∴∠FMB＝∠1＝130°，
∵∠2＝50°，
∴∠FMB+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠4．
25．（12分）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．
小明在学习完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2时，代数式（a±b）2的值具有非负性（即该式的值总是正数或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x2+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：
解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10
＝（x2+6x+9）﹣10
＝（x+3）2﹣10．
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，当x＝﹣3时，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x2﹣4x+7的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并写出此时x的值．
【分析】（1）、（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．
【解答】解：（1）x2﹣4x+7＝（x2﹣4x+4）+3
＝（x﹣2）2+3．
∴当x＝2时，原多项式的最小值是3；
（2）﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+1﹣1）+5
＝﹣（x2+2x+1）+1+5
＝﹣（x+1）2+6．
∴当x＝﹣1时，原多项式的最大值是6．
26．（12分）小华同学探究平行线的性质：
（1）如图（1）在平面上画出两条平行线AB∥CD，在平行线之间取一点E，连接BE和DE，已知∠ABE＝30°，∠CDE＝35°，求：∠BED的度数．
（2）如图（2）在平面上画出两条平行线AB∥CD，在平行线右上方取一点F，连接BF和DF，已知∠ABF＝150°，∠CDF＝130°，求：∠BFD的度数．
（3）如图（3）在平面上画出两条平行线AB∥CD，在平行线正上方取一点G，连接BG和DG，已知∠ABG＝α，∠CDG＝β（α＞β），直接写出∠BGD的度数（用含有α、β的式子表示）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，通过平行线的判定和性质，把∠B、∠D搬至∠BED，求出∠BED的度数；
（2）过点F作EF∥AB，通过平行线的判定和性质，把∠B、∠D与∠EFD、∠EFB联系起来，利用角的和差关系求出∠BED的度数；
（3）延长AB交GD于点E，利用三角形的外角和内角的关系，易得结论．
【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，
∵∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝∠ABE＝30°．
∵EF∥AB、AB∥CD，
∴EF∥CD．
∵∠CDE＝35°，
∴∠DEF＝∠CDE＝35°．
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF
＝65°．
（2）过点F作EF∥AB
∵∠ABF＝150°，
∴∠EFB＝180°﹣∠ABF
＝180°﹣150°
＝30°．
∵EF∥AB、AB∥CD，
∴EF∥CD．
∵∠CDF＝130°．
∴∠EFD＝180°﹣∠CDF
＝180°﹣130°
＝50°．
∴∠BFD＝∠EFD﹣∠EFB
＝50°﹣30°
＝20°．
（3）∠BGD＝α﹣β.
延长AB交GD于点E．
∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠D＝β．
在△BGE中，
∠BGD＝∠ABG﹣∠GEB
＝α﹣β．