（通用版）中考数学二轮专题复习专题07《平面几何立体几何与几何直观》精讲精练（教师版）

专题七　简单平面几何、立体几何与几何直观

此专题比较接近生活实际，学生容易掌握，平时练习时，细心、认真就能达到满意效果.

重难点突破

　简单平面几何

【例1】如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，试说明：EF是∠AED的平分线.

证明：∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠DBC.

∵ED∥BC，∴∠BDE＝∠DBC.

∴∠ABD＝∠BDE.

∵∠FED＝∠BDE，

∴EF∥BD，∠ABD＝∠FED.

∴∠AEF＝∠ABD.

∴∠AEF＝∠FED.

∴EF是∠AED的平分线.

1.直线a，b，c，d的位置如图所示，如果∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于(　C　)

A.58°     B.70°         C.110°    D.116°

2.如图，AB∥DE，∠EFC＝∠ACB，∠CAB＝∠BAD，试说明：AD∥BC.

证明：∵AB∥DE，

∴∠BAC＝∠EFC.

∵∠EFC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAC.

∵∠CAB＝∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.

∴∠ACB＝∠DAC.∴AD∥BC.

【方法指导】

本题综合考查了角平分线定义，平行线的性质与判定等知识点，解题过程中结合平行线的性质与判定紧紧围绕角之间的相等关系进行转化.

　几何体与三视图

【例2】某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为(　A　)

A.3π　　　B.2π　　　C.π　　　D.12

【答案】A

3.如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后，所得几何体(　D　)

A.主视图改变，左视图改变

B.俯视图不变，左视图不变

C.俯视图改变，左视图改变

D.主视图改变，左视图不变

4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是(　C　)

A.18　　B.54　　C.108　　D.216

【方法指导】

掌握立体几何与三视图之间的转化方法.

　中心投影与平行投影

【例3】如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为(　A　)

A.8 cm  B.20 cm  C.3.2 cm  D.10 cm

【答案】B

5.圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环阴影.已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是(　D　)

A.0.324π m2  B.0.288π m2    C.1.08π m2  D.0.72π m2

【方法指导】

把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，注意两者的区别.

　立体几何与展开图

【例4】如图所示，有一个圆锥形粮堆，其正视图是边长为6 cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是多少？

【解析】立体几何表面的最短路径要展成平面几何求解.

【答案】解：∵l＝6π＝，

∴n＝180，

∴圆锥侧面展开图是一个半圆，

如图所示，∠BAP＝90°，AB＝6，AP＝3，

由勾股定理得BP＝＝3(m).

∴小猫所经过的最短路程长为3 m.

6.下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是(　C　)

,A)  ,B)  ,C)  ,D)

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　D　)

A.4π  B.3π  C.2π＋4  D.3π＋4

【方法指导】

掌握正方体的11种侧面展开图.

专题七　简单平面几何、立体几何与几何直观

一、选择题

1.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次.若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　D　)

A.2 017π  B.2 034π  C.3 024π  D.3 026π

2.如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是(　D　)

A.E处  B.F处  C.G处  D.H处

二、填空题

3.如图，这是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是__①②④__.(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)

4.如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__1.3__m.(容器厚度忽略不计)

三、解答题

5.如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形.请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形.

解：如图所示：所画正方形即为所求.

6.在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1).现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB＋BA(km)，其中BP⊥l于点P；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB(km)，其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P.

观察计算：

(1)在方案一中，d1＝__(a＋2)__km；(用含a的式子表示)

(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝____km；(用含a的式子表示)

探索归纳

(3)①当a＝4时，d1__＜__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；

②当a＝6时，d1__＞__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；

(4)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

方法指导

当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：

∵m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m＋n＞0，

∴(m2－n2)与(m－n)的符号相同.

当m2－n2＞0时，m－n＞0，即m＞n；

当m2－n2＝0时，m－n＝0，即m＝n；

当m2－n2＜0时，m－n＜0，即m＜n.

解：d－d＝(a＋2)2－()2＝4a－20，

①当4a－20＞0，即a＞5时，

d－d＞0，d1＞d2；

②当4a－20＝0，即a＝5时，

d－d＝0，d1＝d2；

③当4a－20＜0，即a＜5时，

d－d＜0，d1＜d2.

综上所述，a＞5，选方案二；a＝5，两者均可；a＜5，选方案一.

7.一透明的敞口正方体容器ABCD—A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图①所示).

【探究】如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示.

解决问题：

(1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm；

(2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V液＝底面积S△BCQ×高AB)

(3)求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

图①图②

图③　　　　　　　　　　图④

【拓展】在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③或图④是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC＝x，BQ＝y.分别就图③和图④求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

【延伸】在图④的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM＝1 dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

解：(1)CQ∥BE；3；

(2)V液＝×3×4×4＝24(dm3)；

(3)在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝，

∴α＝∠BCQ＝37°.

答图①

【拓展】当容器向左旋转时，如题图③，0°≤α≤37°，

∵液体体积不变，

∴(x＋y)×4×4＝24，

∴y＝－x＋3，

当容器向右旋转时，如题图④，

同理得y＝，

当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如答图①，

由BB′＝4，且×PB×BB′×4＝24，得PB＝3，

∴由tan∠PB′B＝，得∠PB′B＝37°，

∴α＝∠B′PB＝53°，

此时37°≤α≤53°.

答图②

【延伸】当α＝60°时，如答图②所示，设FN∥EB，GB′∥EB，

过点G作GH⊥BB′于点H.

在Rt△B′GH中，GH＝MB＝2，∠GB′B＝30°，

∴HB′＝2，

∴MG＝BH＝4－2＜MN，

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，

∵S△NFM＋S直角梯形MBB′G＝××1＋(4－2＋4)×2＝8－，

∴V溢出＝24－4＝－8＞4(dm3)，

∴溢出液体可以达到4 dm3.