（通用版）中考数学二轮专题复习专题06《二次函数与综合应用》精讲精练（教师版）

专题六　二次函数与综合应用

此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分.

重难点突破

　二次函数的实际应用

【例1】天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax2＋bx－1 600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元.

(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式；

(2)当销售价定为24元/kg，该产品每天的销售利润为多少元？

(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？

解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w＝ax2＋bx－160，

得解得

∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为

w＝－2x2＋120x－1 600；

(2)当x＝24时，有w＝－2×242＋120×24－1 600＝128.

∴当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为128元；

(3)当w＝150时，有w＝－2x2＋120x－1 600＝150.

解得x1＝25，x2＝35.

∵x≤32，∴x＝25.∴定价为25元/kg；

(4)w＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200.

又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，

当x≤29时，w随x的增大而增大，

∴当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)2＋200＝198(元).

【方法指导】

正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案.

1.某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y1(t)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2(t)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图②所示.

(1)求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并直接写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

(2)设国内、国外市场的日销售总量为y t，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t?

(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值.

解：(1)设y1＝at2＋bt，把点(30，0)和(20，40)代入得，

解得

∴y1＝－t2＋6t(0≤t≤30，t为整数).

设y2＝kt＋b，当0≤t<20时，y2＝2t，

当20≤t≤30时，解得

∴y2＝

(2)由y＝y1＋y2，得

y＝

由图像可知，销售第20天，y＝80，∴y＝75时，t＜20，

即－t2＋8t＝75，t2－40t＋25×15＝0，解得：t1＝15，t2＝25>20(舍).

即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t；

(3)当0≤t＜20时，y＝－t2＋8t＝－ (t－20)2＋80.

此时，y随t的增大而增大.

∵t为整数， ∴当t＝19时，y最大，为79.8 t.

当20≤t≤30时，y＝－t2＋2t＋120＝－(t－5)2＋125.

∵当t＞75时，y随t的增大而减小，

∴当t＝20时，y的最大，为80 t.

综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y值最大，最大值为80 t.

【方法指导】

先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题.

　二次函数图像综合问题

【例2】如图，抛物线L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.

(1)求k值；

(2)当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)把L在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图像G最高点的坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.

解：(1)设点P(x，y)，则MP＝y，OM＝x.OA＝2x.

∵OA·MP＝12，

M是OA的中点，∴2x·y＝12，即xy＝6；

∴k＝xy＝6.

(2)当t＝1时，令y＝0，即0＝－(x－1)(x＋3)，解得x＝1或－3.

∵点B在点A左边，

∴B(－3，0)，A(1，0).

∴AB＝4，

∴L的对称轴是直线x＝－1，M的坐标为(，0)，

∵－(－1)＝，∴MP与L对称轴之间的距离为；

(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，

∴L的对称轴为直线x＝t－2.

又∵M，

当t－2≤，即t≤4时，顶点(t－2，2)就是G的最高点；

当t＞4时，L与MP的交点为最高点.

联立解得

即此时的最高点为；

(4)5≤t≤8－或7≤t≤8＋.

2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)求直线l的函数表达式；(其中k，b用含a的式子表示)

(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x＝＝1；

(2)∵直线l：y＝kx＋b过A(－1，0)，

∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直线l：y＝kx＋k.

∵CD＝4AC，点A的横坐标为－1，

∴点D的横坐标为4，代入抛物线得y＝5a，

∴将(4，5a)代入y＝kx＋k得k＝a，

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；

(3)如图①，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2－2ax－3a)，

则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－ax－a＝ax2－3ax－4a，

∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x

＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a，

∴△ACE的面积的最大值为－a.

∵△ACE的面积的最大值为，∴－a＝，解得a＝－；

(4)以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形.

由(2)知，D(4，5a).∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设P(1，m).

①如图②，连接AP.若AD是矩形ADPQ的一条边，

由中点公式可得(xA＋xP)＝(xD＋xQ)，解得xQ＝－4，

将x＝－4代入y＝ax2－2ax－3a得y＝21a，

∴Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a).

∵四边形ADPQ是矩形，

∴∠ADP＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，

∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，

解得a1＝(不合题意，舍去)，a2＝－.∴P(1，－)；

②如图③，若AD是矩形APDQ的对角线，

由中点公式得(xA＋xD)＝(xQ＋xP)，解得：xQ＝2，

将xQ＝2代入y＝ax2－2ax－3a得y＝－3a，

∴Q(2，－3a)，m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a).

∵四边形APDQ是矩形，

∴∠APD＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，

∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，

解得a1＝(不合题意，舍去)，a2＝－.

∴P(1，－4).综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，

点P的坐标为或(1，－4).

专题六　二次函数与综合应用

一、选择题

1.抛物线y＝－－3的顶点坐标是(　B　)

A.  B.   C.  D.

2.将函数y＝x2的图像用下列方法平移后，所得的图像不经过点A(1，4)的方法是(　D　)

A.向左平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度

C.向上平移3个单位长度

D.向下平移1个单位长度

3.将二次函数y＝x2的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图像与一次函数y＝2x＋b的图像有公共点，则实数b的取值范围是(　D　)

A.b＞8  B.b＞－8     C.b≥8  D.b≥－8

4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图像如图所示，下列结论错误的是(　D　)

A.4ac＜b2  B.abc＜0     C.b＋c＞3a  D.a＜b

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图像大致是(　C　)

,A)  ,B),C)  ,D)

6.已知二次函数y＝x2－x＋a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是(　B　)

A.m－1的函数值小于0

B.m－1的函数值大于0

C.m－1的函数值等于0

D.m－1的函数值与0的大小关系不确定

7.小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2－4x＋5的值的情况.他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值.几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是(　C　)

A.小明认为只有当x＝2时，x2－4x＋5的值为1

B.小亮认为找不到实数x，使x2－4x＋5的值为0

C.小梅发现x2－4x＋5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值

D.小花发现当x取大于2的实数时，x2－4x＋5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值

8.下列关于函数y＝x2－6x＋10的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任何实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3－n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n＋1时，y的整数值有(2n－4)个；④若函数图像过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b.其中真命题的序号是(　C　)

A.①  B.②  C.③  D.④

二、填空题

9.若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝__9__.

10.如图所示，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，且点B的坐标为(2，0).若抛物线y＝x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是__－2＜k＜__.

11.军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)的关系满足y＝－x2＋10x，经过__50__s，炮弹落在地上爆炸.

12.如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是__x＜－1或x＞4__.

13.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)，且对称轴为直线x＝1，有下列结论：

①abc＜0；②10a＋3b＋c＞0；③抛物线经过点(4，y1)与点(－3，y2)，则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤am2＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__.

14.定义[a，b，c]为函数y＝ax2＋bx＋c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－4m，2m－1]函数的一些结论：①当m＝时，函数图像的顶点坐标是；②当m＝－1时，函数在x＞1时，y随x增大而减小；③无论m取何值，函数图像都经过同一个点.其中所有的正确结论为__①③__.(填写正确结论序号)

三、解答题

15.在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a(x－h)2＋k的伴随直线为y＝a(x－h)＋k.例如：抛物线y＝2(x＋1)2－3的伴随直线为y＝2(x＋1)－3，即y＝2x－1.

(1)在上面规定下，抛物线y＝(x＋1)2－4的顶点坐标为__(－1，－4)__，伴随直线为__y＝x－3__；抛物线y＝(x＋1)2－4与其伴随直线的交点坐标为__(0，－3)__和__(－1，－4)__；

(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m(x－1)2－4m与其伴随直线相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C，D.

①若∠CAB＝90°，求m的值；

②如果点P(x，y)是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值.

解：①∵抛物线表达式为y＝m(x－1)2－4m，

∴其伴随直线为y＝m(x－1)－4m，即y＝mx－5m，

联立抛物线与伴随直线的表达式可得

解得或

∴A(1，－4m)，B(2，－3m)，

在y＝m(x－1)2－4m中，令y＝0可解得x＝－1或x＝3，

∴C(－1，0)，D(3，0)，

∴AC2＝4＋16m2，AB2＝1＋m2，BC2＝9＋9m2，

∵∠CAB＝90°，

∴AC2＋AB2＝BC2，即4＋16m2＋1＋m2＝9＋9m2，

解得m＝(抛物线开口向下，舍去)或m＝－，

∴当∠CAB＝90°时，m的值为－；

②设直线BC的表达式为y＝kx＋b，∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴解得

∴直线BC表达式为y＝－mx－m，

过P作x轴的垂线交BC于点Q，如答图，

∵点P的横坐标为x，

∴P[x，m(x－1)2－4m]，Q(x，－mx－m)，

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ＝m(x－1)2－4m＋mx＋m＝m(x2－x－2)＝m，

∴S△PBC＝×[(2－(－1)]PQ＝m－m，

∴当x＝时，△PBC的面积有最大值－m.

∴S取得最大值时，即－m＝，解得m＝－2.

16.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.

(1)求此抛物线的表达式以及点B的坐标；

(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t s.

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；

②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，

∴－＝1，解得b＝2，

∵抛物线过A(0，3)，∴c＝3，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3，

令y＝0可得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴B点坐标为(3，0)；

(2)①由题意可知ON＝3t，OM＝2t，∵P在抛物线上，∴P(2t，－4t2＋4t＋3)，∵四边形OMPN为矩形，∴ON＝PM，∴3t＝－4t2＋4t＋3，解得t＝1或t＝－(舍去)，∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；

②∵A(0，3)，B(3，0)，∴OA＝OB＝3，且可求得直线AB表达式为y＝－x＋3，∴当t＞0时，OQ≠OB.∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB＝QB或OQ＝BQ两种情况，由题意可知OM＝2t，∴Q(2t，－2t＋3)，∴OQ＝＝，BQ＝＝|2t－3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB＝QB时，则有|2t－3|＝3，解得t＝(舍去)或t＝；

当OQ＝BQ时，则有＝|2t－3|，解得t＝.

综上可知，当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形.

17.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y＝x2＋5x＋90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙(万元)均与x满足一次函数关系.(注：年利润＝年销售额－全部费用)

(1)成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲＝－x＋14，请用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w甲(万元)与x之间的函数关系式；

(2)成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙＝－x＋n(n为常数)，且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值；

(3)受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据(1)、(2)中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是]

解：(1)甲地当年的年销售额为万元；

w甲＝－＝－x2＋9x－90；

(2)在乙地区生产并销售时，

年利润w乙＝－x2＋nx－＝－x2＋(n－5)x－90.

由＝＝35，解得n＝15或－5.

经检验，n＝－5不合题意，舍去，∴n＝15；

(3)在乙地区生产并销售时，年利润w乙＝－x2＋10x－90，

将x＝18代入上式，得w乙＝25.2(万元)；

将x＝18代入w甲＝－x2＋9x－90，得w甲＝23.4(万元).

∵w乙＞w甲，∴应选乙地.