专题31 特殊平行四边形【专题巩固】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）课件PPT

专题31  特殊平行四边形

考点1：菱形的性质与判定

1．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．

【详解】

∵HF⊥BC,EG⊥AB,

∴∠BEO=∠BFO=90°，

∵∠A=120°，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，

由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，

因为O点是菱形ABCD的对称中心，

∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，

∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，

∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，

所以四边形EFGH是矩形；

设OE=OF=OG=OH=x，

∴EG=HF=2x，，

如图，连接AC，则AC经过点O，

可得三角形ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB=2,

∴OA=1,∠AOE=30°，

∴AE=，

∴x=OE=

∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,

故选A．

2．（2021·陕西中考真题）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．

【详解】

解：设AC与BD的交点为O，如图所示：

∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴△ABC是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

故选D．

3．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．

【答案】

【分析】

过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．

【详解】

解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，

∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，

∴OB=BD=12，OA=AC=5，

在Rt△ABO中，AB=BC==13，

∵S菱形ABCD=，

∴，

解得：AE=，

故答案为：．

4．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：；

（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝　　°时，四边形BFDE是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形

【分析】

（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF；

（2）先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE＝DE，可得结论．

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，

∴∠1＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，

理由如下：∵△ABE≌△CDF，

∴BE=DF，AE=CF，

∴BF=DE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵∠1=30°，∠2=20°，

∴∠ABD=∠1-∠2=10°，

∴∠DBE=20°，

∴∠DBE=∠EDB=20°，

∴BE=DE，

∴平行四边形BFDE是菱形，

故答案为10．

5．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：AE＝CF；

（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析

【分析】

（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；

（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．

【详解】

证明：（1）∵四边形是平行四边形

∴OA＝OC，BE∥DF

∴∠E＝∠F

在△AOE和△COF中

∴

∴AE＝CF

（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：

如图：连结BF，DE

∵四边形是平行四边形

∴OB＝OD

∵

∴                         

∴四边形是平行四边形

∵EF⊥BD，

∴四边形是菱形

6．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．

（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

（2）计算你所画菱形的面积．

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）

【分析】

（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；

（2）利用菱形面积公式求解．

【详解】

解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求

（2）图1中AC=2，BD=6

∴图1中菱形面积．

图2中，AC=，BD=

∴图2中菱形面积．

图3中，

∴图3菱形面积．

考点2：矩形的性质与判定

7．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．

【答案】

【分析】

根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．

【详解】

解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，

∵四边形DEFG是矩形，

∴GF∥AB，

∴△CGF∽△CAB，

∴，即，

∴，

∴AD+BE=AB-DE==，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，

∴△ADG≌△BEF（AAS），

∴AD=BE==，

在△BEF中，，

即，

解得：x=或（舍），

∴EF=，

故答案为：．

8．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将边折起，使点B落在上的点G处，连接，若，，则的长为________．

【答案】

【分析】

根据矩形的性质和正方形的性质，证明，从而，又因为，代入求解即可．

【详解】

解：∵四边形是矩形,，

∴,,,且四边形是正方形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴

又∵（折叠，

∴，, ，

设,则，

∴ ，

又∵是正方形对角线，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，解得：，即 ，

∴．

故答案为：

9．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.

【答案】20．

【详解】

∵AB＝5，AD＝12，

∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.

∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线

∴BO＝6.5

∵O是AC的中点，M是AD的中点，

∴OM是△ACD的中位线

∴OM＝2.5

∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20

故答案为20

10．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如果，求证：四边形是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC．

∵点C是BE的中点，

∴BC=CE，

∴AD=CE，

∵AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，

∵AB=AE，

∴DC=AE，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴四边形ACED是矩形．

考点3：正方形的性质与判定

11．（2021·重庆中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】

先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．

【详解】

解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，

又

四边形MOND的面积是1，

正方形ABCD的面积是4，

故选：C．

12．（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ）

A．60° B．65° C．75° D．80°

【答案】C

【分析】

根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形中，

∴∠MBO=∠NDO=45°，

∵点O为MN的中点

∴OM=ON，

∵∠MPN=90°，

∴OM=OP，

∴∠PMN=∠MPO=30°，

∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，

∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，

，

故选：C．

13．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】

延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．

【详解】

解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，

∵，M是AD边上的一点，，

∴，，

∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴(HL)，

∴，

∴，

在中，设，则，

根据勾股定理可得，解得，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

故选：D．