专题29 锐角三角函数与运用【专题巩固】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）课件PPT

专题29  锐角三角函数与运用

考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值

1．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．

【详解】

解：作PM⊥x轴于点M，

∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，

∴，

故选：D

2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值

【详解】

设交于点,

由题意：

是等边三角形

四边形为正方形

∴∠CBF=90°-60°=30°，

DE⊥

又

设

则

解得：

故选A

3．计算：．

【答案】-3

【分析】

根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．

【详解】

解：原式

．

考点2：三角函数与图形结合

4．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．

【答案】

【分析】

由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．

【详解】

解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，

∵∠BAE=∠BDC，

∴，

故答案为．

5．（2020天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是　   　．

【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．

【解析】如图，连接AB．

∵OA＝AB，OB＝2，

∴OB2＝OA2+AB2，

∴∠OAB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∴sin∠AOB，

故答案为．

6. (2019肇庆封开二模)如图,△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值是 (　　)

A. 　     B.    C. 　    D. 

【解析】如图，作BD⊥AC交AC的延长线于点D,利用三角函数的定义可知tan A==

故选A.

考点3：解直角三角形

7．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】A

【分析】

在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．

【详解】

在Rt△ABC中，

,

即，

故选：A．

8．（2021·广东中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．

【答案】

【分析】

首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．

【详解】

∵，

∴△ADE为直角三角形，

又∵，

∴ ,

解得DE=4,

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

,

又∵AB=12,

∴ ,

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD=AB=12,AD=BC=5

在Rt△DEC中，由勾股定理得：

,

过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图

在△EBC中：

S△EBC= ;

又∵S△EBC

∴ ,

解得,

在Rt△BFC中，

,

故填：．

9．（2021·海南中考真题）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．

【答案】

【分析】

根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．

【详解】

的坐标分别是

轴

．

故答案为：．

考点4：解直角三角形的运用

10．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中，，，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，从而DF可知，进而可求出CD的长．

【详解】

解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，

∴

∵AD//BC

∴

∴

∴则四边形AEFD是矩形，

∴

在中，AB=8，

∴

∴

在中，，

∴

故选：B．

11．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．

【答案】

【分析】

根据题意可知： ， ，， ，然后分别在 中在中，利用锐角三角函数求解即可．

【详解】

解：根据题意可知： ， ，， ，

在 中， ，

在中，，

∴ ，

即电视塔的高度为 米．

故答案为：

12．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）．

【答案】57

【分析】

根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，可得四边形 是矩形，继而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解．

【详解】

解：根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，

∵，，，

∴ ，

∴四边形 是矩形，

∴ ，

在中， ，

在中， ，

∴ ，

即乙楼高度约为57 ．

13．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

【答案】326

【分析】

根据正切的定义即可求出BC．

【详解】

解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，

，

∴（米）

故答案为：326

14．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．

（参考数据：，，，，，）

【答案】96米

【分析】

延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．

【详解】

延长交于点，

过点作，交于点，

由题意得，，

∴四边形为矩形，

∴，.

在中，，

∴，，

∴，，

∴，

∴.

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴.

答：大楼的高度约为96米.