专题5.13 《相交线与平行线》几何模型2（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题5.13 《相交线与平行线》几何模型2（知识讲解）

几何模型：角平分线模型

        图一

下面分别对（1）、（2）、（3）三个结论进行证明。

图二

           图三

图四

1、（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求 ∠C的度数

【答案】140°

【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．

 解：∵∠CDE=160°，

∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB=20°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，

∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．

【点拨】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．

举一反三：

【变式1】（2020·山东菏泽市·七年级期末）如图，，平分交于点，平分交于点，．

（1）说明的理由；

（2）若，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）55°

【分析】（1）根据角平分线的定义和，可证，从而，再证明，即可证明结论成立；

（2）先求∠ADC的度数，再求∠EDC的度数，然后根据平行线的性质可求的度数

解：（1）∵平分，平分，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．

【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究．

（1）如图1，展开后，测得，则可判定a//b，请写出判定的依据_________；

（2）如图2，若要使a//b，则与应该满足的关系是_________；

（3）如图3，纸带两条边线a，b互相平行，折叠后的边线b与a交于点C，若将纸带沿（，分别在边线a，b上）再次折叠，折叠后的边线b与a交于点，AB//，，求出的长．

【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10

【分析】

（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；

（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∥b，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；

（3）分两种情况：①当B1在B的左侧时，如图2，当B1在B的右侧时，如图3，分别求出的长，即可得到答案．

解：（1）∵，

∴a∥b（内错角相等，两直线平行），

故答案是：内错角相等，两直线平行；

（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，

若a∥b，则∠3=∠2，

∴∠4=∠2，

∵∠2+∠4+∠1=180°，

∴∠1+2∠2=180°，

∴要使a∥b，则与应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．

故答案是：∠1+2∠2=180°；

（3）①当B1在B的左侧时，如图2，

∵AB//，a∥b，

∴AA1=BB1=3，

∴=AC- AA1=7-3=4；

②当B1在B的右侧时，如图3，

∵AB//，a∥b，

∴AA1=BB1=3，

∴=AC+AA1=7+3=10．

综上所述：=4或10．

【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．

2．（2020·安徽省安庆市外国语学校七年级期末）如图，已知，，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．

（1）求的度数

（2）当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；

（3）当点P运动到某处时，，求此时的度数．

【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°

【分析】

（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可；

（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；

 解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，

（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，

∴∠APB：∠ADB=2：1．

（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC=∠ABN=30°，

【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【变式】（2020·河南周口市·七年级期中）如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．

（1）求∠EKF的度数；

（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．

（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．

【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°．

【分析】

（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论；

（2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论；

（3）根据（2）中的规律即可得出结论．

解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，

∵AB∥CD，

∴AB∥KG∥CD，

∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，

∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，

∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，

∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，

∴∠BEK+∠DFK＝90°，

则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；

（2）∠K＝2∠K1，理由为：

∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，

∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，

∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，

∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，

同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，

则∠K＝2∠K1；

（3）如图（3），

根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．

【点拨】此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．