人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.29 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解）

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类型一、平行X字型（也称为8字型）
1．如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，．求证：．

【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可．
解：，，
，
，，
，
，
．
【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
举一反三
【变式1】如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?

【答案】△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由见分析.
【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．
解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．
理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB
∴△AFD∽△EFB，
∴∠B＝∠D．
∵∠1＝∠2，
∴ ，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形．
【变式2】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．
（1）证明△MPD∽△NPE．
（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．
（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．
【答案】（1）见分析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°
【分析】
(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可．
(1)证明：∵a∥b，
∴△MPD∽△NPE．
(2)∵a∥b，
∴∠MDP＝∠NEP，
∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)∵a∥b，
∴∠1＝∠PNE＝70°，
①若PN＝PE时，
∴∠PNE＝∠PEN＝70°．
∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∴∠a＝40°；
②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°；
③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°，
∴α＝∠PEN═55°；
综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．
类型二、非平行X字型（也称为反8字型）
2．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号）
求证：．

【答案】①，证明见分析或②，证明见分析．
【分析】
若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似．
解：选择条件①的证明为：
∵，
∴，
又∵，
∴；
选择条件②的证明为：
∵，
∴．
【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．
举一反三
【变式1】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见分析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
(1)证明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)解：如图，延长至，使，连接，．
则垂直平分，
，
是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
【变式2】如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．
【分析】利用对顶角相等得到∠AOB=∠COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．
证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．
类型三、A、X字型综合
3．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
求证：△DMN∽△BCN；
求BD的长；
若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
【答案】(1)见分析 (2) 6 (3) 5
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；
（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（3）根据△MND∽△CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OB=OD＝BD，
∵△DMN∽△BCN，
∴，
∵M为AD中点，
∴AD=2DM，
∴BC=2DM，
∴BN=2DN，
设OB=OD=x，
∴BD=2x，
∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，
∴x+1=2（x-1），解得：x=3，
∴BD=2x=6，
∴BD的长为6；
解：∵△MND∽△CNB，
∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4，∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，
∴S四边形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，
∴四边形ABNM的面积为5．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键．
举一反三
【变式1】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见分析 (2)相似，证明见分析 (3)存在，
【分析】
(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；
(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；
(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
（1）证明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
解：△AEF∽△ECF．理由：
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，
存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF＝，BF＝，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，．
∴存在使得△AEF与△BFC相似．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式2】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3)
【分析】
（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF．
（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．
（3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴
∵
∴
∴，
又∵，
∴△BGC∽△DCF．
证明：由（1）知△BGC∽△DGF，
∴，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴．
解：由（1）知△BCC∽△DGF，
∴，
在△BGC与△DEC中，
∴△BGC≌△DEC（ASA）
∴
∵G是CD中点
∴
∴
∵△BGC∽△DGF
∴
在Rt△BGC中，
设，
则，
∴
∴
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．
【变式3】已知：如图，两个和中，，，，且点、、在一条直线上．联结、，与交于点．
求证：；
如果，求证：．

【分析】
（1）利用等腰三角形的性质，证，从而证得，，再利用平行线分线段成比例即可得出结论．
（2）证明，得，继而利用，即可得出结论．
(1)证明：，，
，，
，
，
，，
，，
．
(2)证明：，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．