2022年中考数学复习：圆专题练习（Word版，附答案解析）

这是一份2022年中考数学复习：圆专题练习（Word版，附答案解析），共55页。
2022年中考数学复习（选择题）：圆（10题）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•黔西南州）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（　　）

A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
2．（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（　　）
A．有最大值π B．有最小值π
C．有最大值π D．有最小值π
3．（2021秋•吉林期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
4．（2021•毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　）

A．8πm B．4πm C．πm D．πm
5．（2021•沈阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（　　）

A． B． C．π D．
6．（2021•巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）

A． B． C． D．
7．（2021•湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
8．（2021•梧州模拟）如图，C是以AB为直径的⊙O上的一点，PC是⊙O的切线，PC∥ABE为OA的中点，连接CE并延长交⊙O于点D，若AB＝4，则DE的长度为（　　）

A． B． C． D．2
9．（2021•遵义）如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，且CD∥AB，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，则AD的长是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．
10．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
2022年中考数学复习（填空题）：圆（10题）
二．填空题（共10小题）
1．（2021•东河区二模）如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC＝110°，则∠BDC的度数是 　 　．

2．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　 　．

3．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．

4．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

5．（2021•甘肃模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为 　 　．

6．（2021•珲春市模拟）如图，正三角形ABC的边长为a，D、E、F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，长为半径作圆．图中阴影部分面积为 　 　．

7．（2021•泰山区二模）曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到，再将绕点A1旋转180°•，得到…依此类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒π个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则第2020s时，点P的坐标为 　 　．

8．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 　 　．

9．（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　 　．

10．（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝　 　．

2022年中考数学复习（解答题）：圆（10题）
三．解答题（共10小题）
1．（2021•思明区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．

2．（2021•甘肃模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点．且∠BDE＝∠A．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DE＝3，∠C＝60°，求CD的长．

3．（2021•蒙阴县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线上于点D，连接BC．
（1）求证：∠BCD＝∠BAC；
（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．

4．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

5．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

6．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

7．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

8．如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

9．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

10．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．


2022年中考数学复习（选择题）：圆（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•黔西南州）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（　　）

A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
考点：弧长的计算．
专题：与圆有关的计算；运算能力．
分析：先求出OC，再根据弧长公式计算即可．
解答：∵OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，
∴OC＝OA﹣AC＝12cm，
又OA和OB的夹角为150°，
∴的长为：＝10π（cm）．
故选：B．
点评：本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．
2．（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（　　）
A．有最大值π B．有最小值π
C．有最大值π D．有最小值π
考点：圆锥的计算．
专题：与圆有关的计算；应用意识．
分析：由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π（r﹣）2+π，再根据二次函数的性质即可求解．
解答：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr（6﹣2r）＝﹣2π（r2﹣3r）＝﹣2π[（r﹣）2﹣]＝﹣2π（r﹣）2+π，
∴当r＝时，S侧有最大值π．
故选：C．
点评：本题考查了圆锥的计算，二次函数的最值，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．熟记圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl是解题的关键．
3．（2021秋•吉林期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
解答：∵BC＝CD，
∴＝，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝∠DAB＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
故选：D．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（2021•毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　）

A．8πm B．4πm C．πm D．πm
考点：圆周角定理；弧长的计算．
专题：与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
分析：根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
解答：∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为：＝（m），
故选：C．
点评：本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式l＝是解题的关键．
5．（2021•沈阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（　　）

A． B． C．π D．
考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
专题：圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
分析：过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算，得到答案．
解答：过点O作OD⊥AB于D，
则AD＝DB＝AB＝，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA＝＝＝2，
∴的长＝＝，
故选：D．

点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
6．（2021•巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）

A． B． C． D．
考点：垂径定理；圆周角定理．
专题：圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：根据题意连接OA、OC，OC交AB于点E，根据垂径定理推出OC⊥AB，且AE＝BE＝3，再由圆周角定理推出∠AOC＝2∠ADC＝60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
解答：如图，

连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴OE＝AE＝，
故圆心O到弦AB的距离为．
故选：C．
点评：本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线OA，OC，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
7．（2021•湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
考点：勾股定理；垂径定理；切线的性质．
专题：圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
分析：根据垂径定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝2．
解答：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
点评：本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF＝OC＝OD是解题的关键．
8．（2021•梧州模拟）如图，C是以AB为直径的⊙O上的一点，PC是⊙O的切线，PC∥ABE为OA的中点，连接CE并延长交⊙O于点D，若AB＝4，则DE的长度为（　　）

A． B． C． D．2
考点：圆周角定理；切线的性质．
专题：与圆有关的位置关系；推理能力．
分析：连接CO并延长交⊙O于F，连接DF，如图，先根据切线的性质得到CF⊥PC，再证明AB⊥CF，则可利用勾股定理计算出CE＝，接着证明△COE∽△DCF，利用相似比求出CD，然后计算CD﹣CE即可．
解答：连接CO并延长交⊙O于F，连接DF，如图，
∵PC是⊙O的切线，
∴CF⊥PC，
∵PC∥AB，
∴AB⊥CF，
∵E为OA的中点，AB＝4，
∴OE＝1，OC＝2，
在Rt△OCE中，CE＝＝，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠COE＝∠CDF，∠OCE＝∠DCF，
∴△COE∽△DCF，
∴＝，即＝，
∴CD＝，
∴DE＝CD﹣CE＝﹣＝．
故选：C．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
9．（2021•遵义）如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，且CD∥AB，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，则AD的长是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．
考点：等边三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质．
专题：等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
分析：延长PO交AB于H，连接AP，BP，过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于E，由切线的性质可得OP⊥CD，由等边三角形的性质可得∠COD＝60°＝∠OCD，CP＝PD，由垂径定理可得AH＝BH＝3，通过证明△APB是等边三角形，可求AP＝6，∠APH＝30°，由锐角三角函数可求AE，EP，在Rt△AED中，由勾股定理可求AD的长．
解答：如图，延长PO交AB于H，连接AP，BP，过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于E，

∵CD与⊙O相切于点P，
∴OP⊥CD，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°＝∠OCD，CP＝PD，
∵CD∥AB，
∴OH⊥AB，
∴AH＝BH＝3，
∵∠COD+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴AO＝2OH，AH＝OH＝3，
∴OH＝，AO＝2＝OB＝OP，
∵sin∠OCD＝＝，
∴OC＝4，
∴CP＝PD＝2，
∵AH＝BH，PH⊥AB，
∴AP＝BP，
∵∠AOB＝2∠APB，
∴∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AP＝BP＝6，∠APH＝30°，
∴∠APE＝60°，
∴∠EAP＝30°，
∴EP＝AP＝3，AE＝EP＝3，
∴ED＝EP+PD＝5，
∴AD＝＝＝2，
故选：C．
点评：本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
10．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
考点：正多边形和圆；扇形面积的计算；作图—复杂作图．
专题：与圆有关的计算；推理能力．
分析：连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．
解答：连接BC，如图，
由作法可知AC＝BC＝AB＝2，
∴△ACB为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O
＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O
＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O
＝4×﹣2××22﹣π×12
＝π﹣2．
故选：A．

点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．
2022年中考数学复习（填空题）：圆（10题）
参考答案与试题解析
二．填空题（共10小题）
1．（2021•东河区二模）如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC＝110°，则∠BDC的度数是 　125°　．

考点：多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
专题：圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BDC的度数即可．
解答：∵∠BOC＝110°，
∴∠A＝∠BOC＝×110°＝55°．
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
点评：本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知圆周角定理以及圆内接四边形的对角互补是解答：此题的关键．
2．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　2　．

考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：连接OA，OC，由圆内接四边形可求得∠ABC的度数，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，即可证得△OAC为等边三角形，进而可求解．
解答：连接OA，OC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明△OAC为等边三角形是解题的关键．
3．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　4　cm．

考点：垂径定理的应用．
专题：圆的有关概念及性质；应用意识．
分析：先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．
解答：∵C点是的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．

点评：本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
4．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　3+1　．

考点：正方形的性质；直线与圆的位置关系；切线的性质；平移的性质．
专题：与圆有关的位置关系；推理能力．
分析：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
解答：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
故答案为3+1．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质．
5．（2021•甘肃模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为 　π+2　．

考点：圆周角定理；弧长的计算．
专题：与圆有关的计算；推理能力．
分析：如图，连接AC，OC，推出AC＝OA＝OC，根据等边三角形的性质得到∠OAC＝∠AOC＝60°，根据弧长的计算公式即可得到结论．
解答：如图，连接AC，OC，
则AC＝OA＝OC，
∴∠OAC＝∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝30°，
∴图中阴影部分的周长为2（++OA）＝2×（+1）＝π+2，
故答案为：π+2．

点评：本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
6．（2021•珲春市模拟）如图，正三角形ABC的边长为a，D、E、F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，长为半径作圆．图中阴影部分面积为 　　．

考点：等边三角形的性质；三角形中位线定理；扇形面积的计算．
专题：等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
分析：利用等边三角形的性质结合勾股定理得出AD的长，再利用扇形面积公式求出阴影部分面积即可．
解答：连接AD，
由题意可得：CD＝，AC＝a，
故AD＝＝a，
则图中阴影部分的面积为：×a×a﹣3×＝a2﹣＝（﹣）a2．
故答案为：（﹣）a2．

点评：本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
7．（2021•泰山区二模）曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到，再将绕点A1旋转180°•，得到…依此类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒π个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则第2020s时，点P的坐标为 　（3030，0）　．

考点：规律型：点的坐标；弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转．
专题：规律型；与圆有关的计算；应用意识．
分析：如图，设的圆心为J，过点J作JK⊥OA于K．解直角三角形求出OA的长，即可得到点A坐标，再求出点P的运动路径，判断出点P的位置，求出OP可得结论．
解答：如图，设的圆心为J，过点J作JK⊥OA于K．

由题意JO＝JA＝2，∠AJO＝120°，
∵JK⊥OA，
∴OK＝KA，∠OJK＝∠AJK＝60°，
∴KO＝KA＝OJ•sin60°＝2×＝，
∴OA＝2，
∴A（2，0），
∵的长＝＝π，点P的运动路径＝2020π，
又∵2020π÷π＝1515，
∴点P在x轴上，OP的长＝1515×2＝3030，
∴此时P（3030，0）．
故答案为：（3030，0）．
点评：本题考查弧长公式，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 　（﹣，1）　．

考点：坐标与图形性质；圆周角定理．
专题：圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（﹣2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
解答：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（﹣，1）．
故答案为（﹣，1）．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
9．（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　　．

考点：扇形面积的计算．
专题：与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
分析：连接EB，AD，将图中阴影部分面积拼补为△EDO与△AOB面积之和，进一步确定△EDO、△AOB是正三角形，从而求出阴影部分的面积＝×r×r×2，即可求解．
解答：连接EB，AD，
设⊙O的半径为r，
⊙O的面积S＝πr2，
弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，
∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，
故答案为：．

点评：本题考查圆与多边形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为等边三角形的面积是解题的关键．
10．（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝　120°　．

考点：弧长的计算．
专题：与圆有关的计算；运算能力．
分析：物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，代入弧长公式即可求出n的值．
解答：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
∴＝12π，
解得：n＝120°，
故答案为：120°．
点评：本题考查了弧长的计算，理解传送距离和弧长之间的关系是解决问题的关键．

2022年中考数学复习（解答题）：圆（10题）
参考答案与试题解析
三．解答题（共10小题）
1．（2021•思明区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．

考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：（1）根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于M，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠AOC的度数，求出∠OAC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OM，根据勾股定理求出AM，再根据垂径定理求出AM＝CM＝2，再求出答案即可．
解答：（1）∵
∴∠DCF＝∠BAC＝25°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，
又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，
连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，
∵，
∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，OM⊥AC，
∴，∠AOM＝60°，
∴，
∴．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外角性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
2．（2021•甘肃模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点．且∠BDE＝∠A．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DE＝3，∠C＝60°，求CD的长．

考点：含30度角的直角三角形；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质．
专题：圆的有关概念及性质；运算能力．
分析：（1）要证明DE与⊙O相切，想到连接OD，只要证明∠ODE＝90°即可，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而得∠ADO+∠ODB＝90°，再根据等边对等角和已知证出∠BDE＝∠ADO即可解答：；
（2）根据已知可得∠A＝30°，从而求出∠DOB＝60°，进而得△ODB是等边三角形，然后在Rt△DOE中，利用锐角三角函数求出OD的长，最后在Rt△CDB中即可解答：．
解答：（1）证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠BDE＝∠A，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
即∠ODE＝90°，
∵OD是圆O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴OD＝DB，
在Rt△ODE中，DE＝3，
∴OD＝＝＝3，
∴DB＝OD＝3，
在Rt△CDB中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝．
点评：本题考查了切线的判定与性质，含30度角的直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2021•蒙阴县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线上于点D，连接BC．
（1）求证：∠BCD＝∠BAC；
（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．

考点：圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算．
专题：与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
分析：（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠OCA＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠OCA，于是得到∠BCD＝∠BAC；
（2）设⊙O的半径为r，得到AB＝2r，求得r＝2，∠AOC＝120°，BC＝2，过O作OH⊥AC于H，得到OH＝BC＝1，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
解答：（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB是是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
又∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BCD＝∠BAC；
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB＝2r，
∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r+2＝2r，
∴r＝2，∠AOC＝120°，BC＝2，
过O作OH⊥AC于H，
∴AH＝CH，
∵AO＝OB，
∴OH＝BC＝1，
由勾股定理可知：AC＝2，
∴S△AOC＝×2×1＝，
∴S扇形OAC＝＝π，
∴阴影部分面积为π﹣，

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

考点：圆的综合题．
专题：圆的有关概念及性质；几何直观；应用意识．
分析：（1）连接OC，由垂径定理可知∠GFB＝90°，由切线性质可知∠OCP＝90°，通过导角得到∠FGB＝∠PCG，∠PCG＝∠PGC，即可证明PC＝PG；
（2）连接EC、CD，证明△PCD∽△PEC，再由PC＝PG，即可证明；
（3）连接OG，EO，由垂径定理可得OG⊥BC，在Rt△BOG中，求出OB＝5，BG＝2，再证明△FGB∽△GOB，由对应边的比例关系，可求FB＝4，OF＝1，在Rt△EOF中，求出EF＝2，则ED＝4．
解答：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


点评：本题是圆的综合题，难度较大，通过三角形相似，对应边成比例是证明（2）等积式的常用方法，熟练应用垂径定理，构造直角三角形求解是解题的关键．
5．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　BE＝EM　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

考点：全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．
专题：等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
解答：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；

（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；

（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．

点评：本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
6．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

考点：圆的综合题．
专题：与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
分析：（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB＝∠ODA，则∠CAD＝∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE＝3，AD＝2，解直角三角形得到∠DAB＝30°，则∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，DF＝2，再根据S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM＝，EM＝，则MB＝，再根据勾股定理求解即可．
解答：（1）证明：如图，连接OD，

∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OD∥AE，
∴△OGD∽△EGA，
∴＝，
∵＝，⊙O的半径为2，
∴＝，
∴AE＝3，
如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即＝，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，
∴∠F＝30°，
∵OD＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB＝×2×2﹣＝2﹣；
（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，

在Rt△AEM中，AM＝AE•cos60°＝3×＝，EM＝AE•sin60°＝，
∴MB＝AB﹣AM＝4﹣＝，
∴BE＝＝＝．
点评：此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
7．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

考点：正方形的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；解直角三角形．
专题：圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径比较，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
解答：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP是直径，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
备注：本题也可以用面积法，连接PQ，PE，设BP＝x，

在Rt△PEQ中，
PE2＝x2+（2﹣4）2，
在Rt△PEC中，
PE2＝（4﹣x）2+22，
则x2+（2﹣4）2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝PB＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

考点：圆的综合题．
专题：三角形；圆的有关概念及性质；应用意识．
分析：（1）当点H，O重合时，由AC＝CD知，OC是直角三角形斜边上的中线，即OC＝AD，又OC＝OA，即OA＝AD，得∠ABC＝30°，即可得sinθ的值；
（2）证△BHF∽△DCF∽△DHA，根据线段比例关系即可证；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，根据弧长公式求出弧AC的长度，即可确定圆锥的底面半径，根据母线和底面半径利用勾股定理即可求高．
解答：（1）当点H，O重合时，如图，连接OC，

∵AC＝CD，
∴OC是直角三角形斜边上的中线，
∴OC＝AD，
又∵OC＝OA，
即OA＝AD，
∴∠D＝30°，
又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝30°，
∴sinθ＝；
（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，
由（1）知∠ABC＝∠D，
∴△BHF∽△DCF∽△DHA，
∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，
∴的长＝π•AB＝2π，
即圆锥的底面周长为2π，
∴圆锥的底面半径r＝＝1，
∵圆锥的母线＝OA＝4，
∴圆锥的高h＝＝＝，
即圆锥的底面半径和高分别为1和．
点评：本题主要考查圆的综合题，设计相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆心角，圆周角，圆的周长及圆锥的高等等知识点，熟练掌握圆和圆锥的基础概念以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

考点：圆的综合题．
专题：综合题；运算能力；推理能力．
分析：（1）连接OD，先判断出∠ODB＝∠ACB，进而得出OD∥AC，进而判断出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）连接OM，先求出MG＝，设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，进而求出OG＝r，最后用勾股定理求解，即可得出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成BC＝﹣1，连接AD，再求出CD＝，再判断出△DEC∽△ADC，得出比例式求解，即可得出结论．
解答：（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，
∴MG＝MN＝，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵，
∴AG＝AB＝r，
∴OG＝OA﹣AG＝r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（r）2+（）2＝r2，
∴r＝1，
即⊙O的半径为1；

（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，
∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），
∴BC＝﹣1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BC＝，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴，
∴，
∴CE＝．



点评：此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造直角三角形或相似三角形是解本题的关键．
10．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

考点：圆的综合题．
专题：几何综合题；推理能力．
分析：（1）证明OP⊥AB，BC⊥AB，可得结论．
（2）设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB，求解即可．
（3）在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2+DE2，构建方程求出x，再证明sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，可得结论．
解答：（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.

（2）∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．

（3）在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAP＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．

点评：本题属于圆综合题，考查了切线长定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．