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2022年中考数学复习：二次函数专题练习（Word版，附答案解析）
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这是一份2022年中考数学复习：二次函数专题练习（Word版，附答案解析），共59页。试卷主要包含了的图象如图所示，有如下结论等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习（选择题）：二次函数（10题）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
2．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
3．（2021•北碚区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②a+b+c＝0；③a+2b＝0；④4b+c＜0；⑤a﹣b≥am2+bm（m为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2021•渠县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x2≠x1，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
5．（2021•梧州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
6．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•鹤峰县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，给出四个结论：①abc＜0，②b＞1，③4a﹣2b+c＜0，④am2+bm≥a+b，⑤当x＝﹣2.5时，y＝y1，当x＝2.5时，y＝y2，则y1＞y2，⑥关于x一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0，一定有两个不等的实根，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
10．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2022年中考数学复习（填空题）：二次函数（10题）
二．填空题（共10小题）
1．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 （填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
2．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
3．（2021•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 ．
4．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x（x﹣5）（0≤x≤5）的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．
5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
6．（2021•黄石模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 （填正确结论的序号）．
7．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
8．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x（元），该网络平台的日销售量为y（件）．则下列结论正确的是 （填写所有正确结论序号）．
①y与x的关系式是y＝﹣x+240；
②y与x的关系式是y＝x﹣160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W＝﹣+320x﹣24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
9．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ．
10．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ cm．
2022年中考数学复习（解答题）：二次函数（10题）
三．解答题（共10小题）
1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）
2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021•甘肃模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
5．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．（2021•五峰县模拟）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1与y轴交于点A．
（1）若抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1经过坐标原点时，求该抛物线的解析式．
（2）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（3）无论a为何值时，抛物线都经过定点P，求出P点的坐标．
（4）若线段AP与双曲线仅有一个交点时：
①求a的取值范围．
②求抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．
7．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
8．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
9．（2021•思明区校级二模）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0）．x1≠x2．
（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；
（2）若x1＝2x2，比较c与b﹣3的大小，并说明理由；
（3）若AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），且﹣2≤c≤﹣，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．
10．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年中考数学复习（选择题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
考点：二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
解答：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
点评：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
2．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
考点：抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．
解答：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2021•北碚区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②a+b+c＝0；③a+2b＝0；④4b+c＜0；⑤a﹣b≥am2+bm（m为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：由抛物线开口向下，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；由对称轴得出b＝2a，即可得出a+2b＝5a＜0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＝0，进一步即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，得出对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，即可判断⑤．
解答：∵开口向下，则a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，则c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知，抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1时，
∴点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点（1，0）在抛物线上，
∴a+b+c＝0，故②正确；
∵b＝2a，
∴a+2b＝5a＜0，故③错误；
∵当x＝1时，a+b+c＝0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＝0，
∴c＝﹣b，
∴4b+c＝4b﹣b＝b＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴a﹣b≥am2+bm，故⑤正确．
故选：C．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
4．（2021•渠县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x2≠x1，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax12+bx1＝ax22+bx2得到ax12+bx1+cax22+bx2+c，则可判断x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，则x2﹣1＝1﹣x1，于是可对⑤进行判断．
解答：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm（m≠1），所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
当ax12+bx1＝ax22+bx2，则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，
∴x2﹣1＝1﹣x1，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确；
故选：D．
点评：本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（2021•梧州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
专题：二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
分析：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），据此可得出所求的结论．
解答：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），
∴y＝a（x+2）2﹣1，
把（0，﹣9）代入得，﹣9＝4a﹣1，
∴a＝﹣2，
∴旋转后得到的函数解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1，
故选：C．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，求得二次函数的顶点坐标和与y轴的交点是解题的关键．
6．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观．
分析：①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，③利用当x为1，﹣1时，y对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与n关系式．
解答：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜0，故，正确
②∵顶点坐标（1，n），对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣2a＜0，a＝﹣，
∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜＜﹣2，
∴﹣2＜b＜，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，
∵a＝﹣，c＝b，
∴n＝2b，
∴2c﹣a＝，
∵b＜0，
∴＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．
故选：B．
点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
7．（2021•鹤峰县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，给出四个结论：①abc＜0，②b＞1，③4a﹣2b+c＜0，④am2+bm≥a+b，⑤当x＝﹣2.5时，y＝y1，当x＝2.5时，y＝y2，则y1＞y2，⑥关于x一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0，一定有两个不等的实根，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线对称轴和抛物线经过（﹣1，0）可得抛物线经过（3，0），从而可得b，c与a的关系，进而判断②，由x＝﹣2时y＜0可判断③，由x＝1时y取最大值可判断④，由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可判断⑤，将ax2+bx+c﹣5＝0化为只含系数a的方程，根据根与判别式的关系可判断⑥．
解答：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣5b+2b+2c＝﹣3b+2c＝0，
∴b＝c，
∵抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，
∴2＜c＜3，
∴＜b＜2，②正确．
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，③正确．
∵x＝1时，y取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，④错误．
∵抛物线开口向下，2.5﹣1＜1﹣（﹣2.5）
∴y1＜y2，⑤错误．
∵b＝c＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，a＝﹣c，
∴﹣1＜a＜﹣，
由ax2+bx+c﹣5＝0可得ax2﹣2ax﹣3a﹣5＝0，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a﹣5）＝16a2+20a＝4a（a+5）＜0，
∴方程ax2+bx+c﹣5＝0无实数根，⑥错误．
故选：B．
点评：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
分析：将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答：本题．
解答：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
点评：本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答：本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答：．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
解答：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
点评：本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解
10．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点：根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
解答：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确．
②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，
由图象知，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，
∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，
故②正确．
③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
点评：本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c与函数图象的关系．
2022年中考数学复习（填空题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
二．填空题（共10小题）
1．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ①③④ （填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观．
分析：将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题．
解答：将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式得，
得，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax．
①b＝﹣4a，b+4a＝0，正确，
②5a+3b+2c＝5a﹣12a＝﹣7a，a＞0，﹣7a＜0，错误．
③当有交点时，ax2﹣4ax＝﹣3，即一元二次方程ax2﹣4ax+3＝0有实数根，
Δ＝16a2﹣12a＝a（16a﹣12）≥0，
∵a＞0，
∴16a﹣12≥0，解得a，正确．
④一元二次方程可化为ax2﹣4ax﹣t＝0，即抛物线y＝ax2﹣4ax与直线y＝t（t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，横坐标可以为0，1，2，3，4，有3个t满足，如图，
故答案为①③④．
点评：本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键．
2．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ②④⑤ ．（填写正确的序号）
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
解答：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
3．（2021•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 16 ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：利用中心对称的性质得到A（2，0），则把A（2，0）代入y＝﹣x2+mx求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+x，计算当x＝﹣2时的函数值得到C（﹣2，﹣4），接着求出抛物线的对称轴为直线x＝1，从而得到D点坐标，然后根据梯形的面积公式计算四边形OCDA的面积．
解答：∵点A与点B关于点C对称，
而点C的横坐标为﹣2，
∴A（2，0），
把A（2，0）代入y＝﹣x2+mx得﹣2+2m＝0，解得m＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x，
当x＝﹣2时，y＝﹣x2+x＝﹣2﹣2＝﹣4，则C（﹣2，﹣4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴D（4，﹣4），
∴CD＝4﹣（﹣2）＝6，
∴四边形OCDA的面积＝×（2+6）×4＝16．
故答案为16．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质．
4．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x（x﹣5）（0≤x≤5）的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 （30，0） ；yn的顶点坐标为 （5n﹣，（﹣10）n•） （n为正整数，用含n的代数式表示）．
考点：规律型：点的坐标；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
分析：图象进行一次旋转，横坐标向右移动5个单位长度，顶点纵坐标当n为奇数时为负，当n为偶数时为正，绝对值不变，顶点横坐标加5．
解答：令y＝0，代入抛物线得：0＝x（x﹣5），
解得x＝0或x＝5，
∴x1坐标（5，0），
∴x2坐标（10，0），
故xn坐标（5n，0），
当n＝6时，x6坐标为（30，0），
抛物线y＝x（x﹣5）＝x2+5x＝（x+）2﹣，
∴顶点y1坐标（﹣，），
∴顶点y2坐标（，）
故顶点yn坐标（5n﹣，（﹣1）n•）．
故答案为（30，0），（5n﹣，（﹣1）n•）．
点评：本题主要考查二次函数与x轴的交点坐标和二次函数图象的顶点坐标，解题关键是抓住图象在旋转过程中，点的变换规律进行求解．
5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ACD ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
考点：根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：利用待定系数法将各点坐标两两组合代入y＝ax2+bx﹣2，求得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，再根据对称轴直线x＝﹣求解即可得到A选项是正确的；
由抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（2，0），从而判断出B选项不正确；
令关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2﹣t＝0的根的判别式当Δ＞0，解得t＞﹣，从而得到C选项正确；
根据抛物线图象的性质由n＜0，推出3＜m+4＜6，从而推出h＞0，得到D选项正确．
解答：当抛物线图象经过点A和点B时，
将A（1，﹣2）和B（2，﹣2）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，
将B（2，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，此时无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，
将A（1，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，
综上，抛物线经过点A和点C，其解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故A选项正确；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（2，0），
故B选项不正确；
由ax2+bx﹣2＝t得ax2+bx﹣2﹣t＝0，
方程根的判别式Δ＝b2﹣4a（﹣2﹣t），
当a＝1，b＝﹣1时，Δ＝9+4t，
当Δ＞0时，即9+4t＞0，解得t＞﹣，
此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且其图象开口向上，
若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上y＝x2﹣x﹣2的点且n＜0，
∵n＜0，
∴﹣1＜m＜2，
∴3＜m+4＜6，
∴yx＝m+4＞yx＝2，
即h＞0，
故D选项正确．
故答案为：ACD．
点评：本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
6．（2021•黄石模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 ①②③ （填正确结论的序号）．
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，可判断①，由x＝﹣4时y＜0及抛物线的对称性可得x＝0时y＜0，可判断②，由x＝﹣3时y＞0可得x＝﹣1时y＞0，可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得4a﹣2b+c≥at2+bt+c，可判断④，由抛物线开口向下及（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）与对称轴的距离可判断⑤．
解答：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，①正确．
∵x＝﹣4时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∴x＝0时y＜0，
∴c＜0，②正确．
∵x＝﹣3时y＞0，
∴x＝﹣1时y＞0，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，③正确．
∵x＝﹣2时y取最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
∴4a﹣2b≥at2+bt，④错误．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上距离对称轴越近的点的y值越大，
∵﹣2.5﹣（﹣2）＞﹣2﹣（﹣3.5）＞0.5﹣（﹣2），
∴y2＞y1＞y3，⑤错误．
故答案为：①②③．
点评：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 y＝（x﹣）2 ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．
专题：函数的综合应用；平移、旋转与对称；应用意识．
分析：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（﹣2，13），可得直线BE解析式为y＝﹣x+，从而C'（﹣，9），CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，故将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．
解答：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝4的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝9得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
点评：本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C'的坐标．
8．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x（元），该网络平台的日销售量为y（件）．则下列结论正确的是 ①③④ （填写所有正确结论序号）．
①y与x的关系式是y＝﹣x+240；
②y与x的关系式是y＝x﹣160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W＝﹣+320x﹣24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：根据y＝40+可对①②进行判断；
根据每天的利润＝每件服装的利润×销售量可对③进行判断；
根据二次函数的最值可对④作出判断．
解答：∵y＝40+＝﹣x+240，
∴①正确，②错误；
∵w＝（x﹣100）（﹣x+240）＝﹣+320x﹣24000；
∴③正确；
∵w＝（x﹣100）（﹣x+240）＝﹣+320x﹣24000＝﹣（x﹣200）2+8000，
a＝﹣＜0，每件售价不得低于210元，
所以当x＝210时，每天利润最大是7920元，
∴④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ：1 ．
考点：二次函数的应用；解直角三角形．
专题：二次函数的应用；推理能力．
分析：利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．
解答：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案为：：1．
点评：本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．
10．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ （209﹣30） cm．
考点：二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，根据题意写出抛物线解析式y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y＝0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．
解答：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，
∴AB＝274，
∵GH是AB正中间，
∴AH＝AB＝137，
∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65，
设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），
过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD′＝∠APQ＝90°，
∵旋转45°，
∴CD′＝CD＝5，
CQ＝D′Q＝CD′cos∠D′CD＝5，
∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17，
∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5﹣65）2+21＝17，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣65）2+21，
令y＝0，则﹣（x﹣65）2+21＝0，
解得：x1＝65+30，x2＝65﹣30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30）＝（209﹣30）（cm），
故答案为：（209﹣30）．
点评：本题考查二次函数的实际应用，关键是建坐标系通过题意画出二次函数的图象．
2022年中考数学复习（解答题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
三．解答题（共10小题）
1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0） ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）
考点：一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观．
分析：（1）利用待定系数法，将A，C两点的坐标代入抛物线解析式中求出系数b，c，从而求出顶点D的坐标；
（2）由过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，由直线DE和直线DF求出满足条件Q点的坐标．
解答：（1）把点A（﹣3，0）和点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，则：
S△DAE：S△DEC＝1：2，S△DAF：S△DFC＝2：1，
∵点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴E（﹣2，1），F（﹣1，2），
∴DF⊥x轴于点Q2，
∴Q2（﹣1，0），
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点D（﹣1，4），E（﹣2，1）代入，得：，
解得：，
∴直线DE的表达式为：y＝3x+7，
当y＝0时，x＝﹣，
∴Q1（﹣，0）．
故答案为：Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0）．
点评：本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及三角形三等分线和三角形面积之间的关系，解题的关键是求出直线DE和DF，然后直线与x轴的交点即为点Q．
2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
考点：二次函数的性质；二次函数的最值．
专题：分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
分析：（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．
解答：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：方程思想；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；应用意识．
分析：（1）由y＝x﹣可求出A（3，0），B（0，﹣），代入二次函数y＝x2+bx+c即得二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB＝PC，即得此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）．
解答：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
点评：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定及中点坐标、两点间距离公式等知识，解题的关键是分类画出图形，利用对角线互相平分列方程解决问题．
4．（2021•甘肃模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴及顶点坐标；
（2）先将x0＝﹣2代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，可得y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，根据二次函数的最值可得y0的最小值，确定此时抛物线的解析式，根据增减性和图象可得y1与y2的大小；
（3）令y＝2解出两个解，这两个解符合AB横坐标范围，可解答：．
解答：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0），
∴y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，
∴当m＝﹣2时，y0取得最小值，此时y0＝﹣2，如图1，
∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）如图2，y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
当y＝2时，（x﹣m）2﹣2＝2，
∴x﹣m＝±2，
∴x＝m±2，
∵抛物线与线段AB有公共点，且点A（0，2），B（2，2），
∴0≤m﹣2≤2或0≤m+2≤2，
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4；
∴m的范围为﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题与对称轴的关系，增减性及抛物线与线段的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是关键，并运用了数形结合的思想，此类题目，利用对称轴的变化求解更简便．
5．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
考点：二次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
分析：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
解答：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
点评：本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键．
6．（2021•五峰县模拟）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1与y轴交于点A．
（1）若抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1经过坐标原点时，求该抛物线的解析式．
（2）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（3）无论a为何值时，抛物线都经过定点P，求出P点的坐标．
（4）若线段AP与双曲线仅有一个交点时：
①求a的取值范围．
②求抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．
考点：二次函数综合题．
专题：函数的综合应用；推理能力．
分析：（1）（0，0）代入抛物线关系式即可求解；
（2）表示出Δ＝（a﹣3）2﹣4（﹣2a+1）＝a2+2a+5，配方后说明其大于0即可证明；
（3）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1＝x2﹣3x+1+（x﹣2）a，当x＝2时，无论a为何值时，y的值＝22﹣6+1＝﹣1，即可求解；
（4）①设直线AP的解析式为y＝kx+b，将A（0，﹣2a+1），P（2，﹣1），代入，即可得直线AP函数关系式为：y＝（a﹣1）x﹣2a+1，联立方程组：，当直线AP与双曲线仅有一个交点时，消元后得Δ＝（2a﹣1）2+4（a﹣1）（a+2）＝8a2﹣7＝0，解得：a＝±，结合线段端点横坐标的取值范围进行讨论，即可求解；
②利用公式得顶点D（，），得，当a≤﹣1时，yD随x的增大而增大，当﹣4≤a＜﹣2时，，当a＝时，yD＝，得|yD|的最大值是．
解答：（1）当x＝0时，y＝0，
∴﹣2a+1＝0，
∴a＝，
∴抛物线的解析式：；
（2）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4（﹣2a+1）
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点；
（3）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1＝x2﹣3x+1+（x﹣2）a，
当x＝2时，无论a为何值时，y的值＝22﹣6+1＝﹣1，
∴抛物线都经过定点P，P点的坐标为（2，﹣1）；
（4）①设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，﹣2a+1），P（2，﹣1），
∴，
解得：，
∴直线AP函数关系式为：y＝（a﹣1）x﹣2a+1，
联立方程组：，
当直线AP与双曲线仅有一个交点时，
∴（a﹣1）x2﹣（2a﹣1）x﹣（a+2）＝0只有一解，
即Δ＝（2a﹣1）2+4（a﹣1）（a+2）＝8a2﹣7＝0，
解得：a＝±，
∴时，直线AP与双曲线仅有一个交点；
当a+2＞0，即a＞﹣2时，﹣2＜a＜时，线段AP与双曲线有两个交点
a＝时，线段AP与双曲线仅有一个交点，
a＞时，线段AP与双曲线没有交点
当a+2＜0，即a＜﹣2，
x＝2时，y＝，
∴a≥﹣4，
∴﹣4≤a＜﹣2时，线段AP与双曲线仅有一个交点，
a＜﹣4时，线段AP与双曲线没有交点，
综上所述：﹣4≤a＜﹣2或a＝时，线段AP与双曲线仅有一个交点；
②利用公式得顶点D（，），
∴，
当a≤﹣1时，yD随x的增大而增大，
∴当﹣4≤a＜﹣2时，，
当a＝时，yD＝，
∴|yD|的最大值是，
若线段AP与双曲线仅有一个交点时，抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．
点评：本题考查了二次函数，一次函数待定系数法求解析式，二次函数的增减性，顶点坐标公式，二次函数与x轴的交点，解题关键是二次函数与代数，几何结合的综合解题能力．
7．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题；压轴题；推理能力；应用意识．
分析：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；
（2）先求直线AB的解析式为y＝x﹣2，则Q（1，﹣），C（1，﹣2），可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝；
（3）设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．
解答：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
8．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
考点：二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2﹣y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1﹣y2，然后进行比较判断即可．
解答：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
点评：本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
9．（2021•思明区校级二模）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0）．x1≠x2．
（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；
（2）若x1＝2x2，比较c与b﹣3的大小，并说明理由；
（3）若AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），且﹣2≤c≤﹣，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．
考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；应用意识．
分析：（1）把（2，0）代入y＝x2+bx+c得4+2b+c＝0，加上c+b＝1，则可求出b、c，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质求解；
（2）利用x1、x2为方程x2+bx+c的两根得到x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，则b＝﹣3x2，c＝2x22，所以b﹣3＝（﹣3x2）﹣3＝﹣4x2﹣3，利用求差法比较两代数式的大小；
（3）由A，B坐标和抛物线顶点（﹣，）可得b与c的等量关系，由c的取值范围可得的取值范围，用含c代数式表示，通过取值范围求解．
解答：（1）把（2，0）代入y＝x2+bx+c得4+2b+c＝0，
解方程组，
解得，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
（2）c＞b﹣3．理由如下：
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点（x1，0），（x2，0）．
∴x1、x2为方程x2+bx+c的两根，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，
而x1＝2x2，
∴b＝﹣3x2，c＝2x22，
∴b﹣3＝（﹣3x2）﹣3＝﹣4x2﹣3，
∵c﹣（b﹣3）＝2x22﹣（﹣4x2﹣3）＝2x22+4x2+3＝2（x2+2）2+1＞0，
∴c＞b﹣3；
（3）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P为（﹣，），
抛物线x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），
∴﹣＝﹣c2﹣c﹣，
∴b＝2c2+2c+1＝2（c+）2+＞0，
∵﹣2≤c≤﹣，
∴﹣3≤≤﹣，
设直线PD的解析式为y＝kx+m，
把x＝0代入y＝x2+bx+c可得点D坐标为（0，c），
由点P（﹣，），D（0，c）在直线上可得直线PD解析式为y＝x+c，
∴S＝OE•OD＝||•|﹣c|＝＝，
∴＝＝（+1）2+1，
∴抛物线＝（+1）2+1的对称轴为直线＝﹣1，开口向上，
当﹣3≤≤﹣时，＝﹣1时，取最小值为1，
当＝﹣3时，取最大值为5，
∴1≤≤5，
∴≤S≤1．
点评：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数最值．
10．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：函数的综合应用；图形的相似；几何直观；应用意识．
分析：（1用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，令y＝0即可得B（﹣1，0）；
（2）延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，故P（﹣3，2），P'（﹣3，﹣2），即得PP'＝4，P'E＝2，由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，解得F（﹣2，﹣3），故AP'＝2，P'F＝，同理可得BP'＝2，P'D＝，即有＝＝＝2，故四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
解答：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：
由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣3，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，
解得或，
∴F（﹣2，﹣3），
∴AP'＝＝2，P'F＝＝，
由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣3），
∴BP'＝＝2，P'D＝＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
点评：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法及位似四边形，解题的关键是掌握位似图形的定义，作出图形．
2022年中考数学复习（选择题）：二次函数（10题）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
2．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
3．（2021•北碚区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②a+b+c＝0；③a+2b＝0；④4b+c＜0；⑤a﹣b≥am2+bm（m为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2021•渠县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x2≠x1，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
5．（2021•梧州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
6．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•鹤峰县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，给出四个结论：①abc＜0，②b＞1，③4a﹣2b+c＜0，④am2+bm≥a+b，⑤当x＝﹣2.5时，y＝y1，当x＝2.5时，y＝y2，则y1＞y2，⑥关于x一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0，一定有两个不等的实根，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
10．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2022年中考数学复习（填空题）：二次函数（10题）
二．填空题（共10小题）
1．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 （填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
2．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
3．（2021•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 ．
4．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x（x﹣5）（0≤x≤5）的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．
5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
6．（2021•黄石模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 （填正确结论的序号）．
7．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
8．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x（元），该网络平台的日销售量为y（件）．则下列结论正确的是 （填写所有正确结论序号）．
①y与x的关系式是y＝﹣x+240；
②y与x的关系式是y＝x﹣160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W＝﹣+320x﹣24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
9．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ．
10．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ cm．
2022年中考数学复习（解答题）：二次函数（10题）
三．解答题（共10小题）
1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）
2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021•甘肃模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
5．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．（2021•五峰县模拟）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1与y轴交于点A．
（1）若抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1经过坐标原点时，求该抛物线的解析式．
（2）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（3）无论a为何值时，抛物线都经过定点P，求出P点的坐标．
（4）若线段AP与双曲线仅有一个交点时：
①求a的取值范围．
②求抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．
7．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
8．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
9．（2021•思明区校级二模）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0）．x1≠x2．
（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；
（2）若x1＝2x2，比较c与b﹣3的大小，并说明理由；
（3）若AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），且﹣2≤c≤﹣，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．
10．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年中考数学复习（选择题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
考点：二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
解答：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
点评：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
2．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
考点：抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．
解答：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2021•北碚区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②a+b+c＝0；③a+2b＝0；④4b+c＜0；⑤a﹣b≥am2+bm（m为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：由抛物线开口向下，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；由对称轴得出b＝2a，即可得出a+2b＝5a＜0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＝0，进一步即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，得出对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，即可判断⑤．
解答：∵开口向下，则a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，则c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知，抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1时，
∴点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点（1，0）在抛物线上，
∴a+b+c＝0，故②正确；
∵b＝2a，
∴a+2b＝5a＜0，故③错误；
∵当x＝1时，a+b+c＝0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＝0，
∴c＝﹣b，
∴4b+c＝4b﹣b＝b＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴a﹣b≥am2+bm，故⑤正确．
故选：C．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
4．（2021•渠县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x2≠x1，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax12+bx1＝ax22+bx2得到ax12+bx1+cax22+bx2+c，则可判断x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，则x2﹣1＝1﹣x1，于是可对⑤进行判断．
解答：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm（m≠1），所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
当ax12+bx1＝ax22+bx2，则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，
∴x2﹣1＝1﹣x1，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确；
故选：D．
点评：本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（2021•梧州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
专题：二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
分析：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），据此可得出所求的结论．
解答：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），
∴y＝a（x+2）2﹣1，
把（0，﹣9）代入得，﹣9＝4a﹣1，
∴a＝﹣2，
∴旋转后得到的函数解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1，
故选：C．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，求得二次函数的顶点坐标和与y轴的交点是解题的关键．
6．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观．
分析：①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，③利用当x为1，﹣1时，y对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与n关系式．
解答：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜0，故，正确
②∵顶点坐标（1，n），对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣2a＜0，a＝﹣，
∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜＜﹣2，
∴﹣2＜b＜，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，
∵a＝﹣，c＝b，
∴n＝2b，
∴2c﹣a＝，
∵b＜0，
∴＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．
故选：B．
点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
7．（2021•鹤峰县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，给出四个结论：①abc＜0，②b＞1，③4a﹣2b+c＜0，④am2+bm≥a+b，⑤当x＝﹣2.5时，y＝y1，当x＝2.5时，y＝y2，则y1＞y2，⑥关于x一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0，一定有两个不等的实根，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线对称轴和抛物线经过（﹣1，0）可得抛物线经过（3，0），从而可得b，c与a的关系，进而判断②，由x＝﹣2时y＜0可判断③，由x＝1时y取最大值可判断④，由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可判断⑤，将ax2+bx+c﹣5＝0化为只含系数a的方程，根据根与判别式的关系可判断⑥．
解答：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣5b+2b+2c＝﹣3b+2c＝0，
∴b＝c，
∵抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，
∴2＜c＜3，
∴＜b＜2，②正确．
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，③正确．
∵x＝1时，y取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，④错误．
∵抛物线开口向下，2.5﹣1＜1﹣（﹣2.5）
∴y1＜y2，⑤错误．
∵b＝c＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，a＝﹣c，
∴﹣1＜a＜﹣，
由ax2+bx+c﹣5＝0可得ax2﹣2ax﹣3a﹣5＝0，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a﹣5）＝16a2+20a＝4a（a+5）＜0，
∴方程ax2+bx+c﹣5＝0无实数根，⑥错误．
故选：B．
点评：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
分析：将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答：本题．
解答：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
点评：本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答：本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答：．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
解答：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
点评：本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解
10．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点：根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
解答：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确．
②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，
由图象知，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，
∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，
故②正确．
③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
点评：本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c与函数图象的关系．
2022年中考数学复习（填空题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
二．填空题（共10小题）
1．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ①③④ （填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观．
分析：将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题．
解答：将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式得，
得，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax．
①b＝﹣4a，b+4a＝0，正确，
②5a+3b+2c＝5a﹣12a＝﹣7a，a＞0，﹣7a＜0，错误．
③当有交点时，ax2﹣4ax＝﹣3，即一元二次方程ax2﹣4ax+3＝0有实数根，
Δ＝16a2﹣12a＝a（16a﹣12）≥0，
∵a＞0，
∴16a﹣12≥0，解得a，正确．
④一元二次方程可化为ax2﹣4ax﹣t＝0，即抛物线y＝ax2﹣4ax与直线y＝t（t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，横坐标可以为0，1，2，3，4，有3个t满足，如图，
故答案为①③④．
点评：本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键．
2．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ②④⑤ ．（填写正确的序号）
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
解答：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
3．（2021•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 16 ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：利用中心对称的性质得到A（2，0），则把A（2，0）代入y＝﹣x2+mx求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+x，计算当x＝﹣2时的函数值得到C（﹣2，﹣4），接着求出抛物线的对称轴为直线x＝1，从而得到D点坐标，然后根据梯形的面积公式计算四边形OCDA的面积．
解答：∵点A与点B关于点C对称，
而点C的横坐标为﹣2，
∴A（2，0），
把A（2，0）代入y＝﹣x2+mx得﹣2+2m＝0，解得m＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x，
当x＝﹣2时，y＝﹣x2+x＝﹣2﹣2＝﹣4，则C（﹣2，﹣4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴D（4，﹣4），
∴CD＝4﹣（﹣2）＝6，
∴四边形OCDA的面积＝×（2+6）×4＝16．
故答案为16．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质．
4．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x（x﹣5）（0≤x≤5）的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 （30，0） ；yn的顶点坐标为 （5n﹣，（﹣10）n•） （n为正整数，用含n的代数式表示）．
考点：规律型：点的坐标；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
分析：图象进行一次旋转，横坐标向右移动5个单位长度，顶点纵坐标当n为奇数时为负，当n为偶数时为正，绝对值不变，顶点横坐标加5．
解答：令y＝0，代入抛物线得：0＝x（x﹣5），
解得x＝0或x＝5，
∴x1坐标（5，0），
∴x2坐标（10，0），
故xn坐标（5n，0），
当n＝6时，x6坐标为（30，0），
抛物线y＝x（x﹣5）＝x2+5x＝（x+）2﹣，
∴顶点y1坐标（﹣，），
∴顶点y2坐标（，）
故顶点yn坐标（5n﹣，（﹣1）n•）．
故答案为（30，0），（5n﹣，（﹣1）n•）．
点评：本题主要考查二次函数与x轴的交点坐标和二次函数图象的顶点坐标，解题关键是抓住图象在旋转过程中，点的变换规律进行求解．
5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ACD ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
考点：根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：利用待定系数法将各点坐标两两组合代入y＝ax2+bx﹣2，求得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，再根据对称轴直线x＝﹣求解即可得到A选项是正确的；
由抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（2，0），从而判断出B选项不正确；
令关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2﹣t＝0的根的判别式当Δ＞0，解得t＞﹣，从而得到C选项正确；
根据抛物线图象的性质由n＜0，推出3＜m+4＜6，从而推出h＞0，得到D选项正确．
解答：当抛物线图象经过点A和点B时，
将A（1，﹣2）和B（2，﹣2）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，
将B（2，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，此时无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，
将A（1，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，
综上，抛物线经过点A和点C，其解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故A选项正确；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（2，0），
故B选项不正确；
由ax2+bx﹣2＝t得ax2+bx﹣2﹣t＝0，
方程根的判别式Δ＝b2﹣4a（﹣2﹣t），
当a＝1，b＝﹣1时，Δ＝9+4t，
当Δ＞0时，即9+4t＞0，解得t＞﹣，
此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且其图象开口向上，
若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上y＝x2﹣x﹣2的点且n＜0，
∵n＜0，
∴﹣1＜m＜2，
∴3＜m+4＜6，
∴yx＝m+4＞yx＝2，
即h＞0，
故D选项正确．
故答案为：ACD．
点评：本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
6．（2021•黄石模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 ①②③ （填正确结论的序号）．
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；推理能力．
分析：由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，可判断①，由x＝﹣4时y＜0及抛物线的对称性可得x＝0时y＜0，可判断②，由x＝﹣3时y＞0可得x＝﹣1时y＞0，可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得4a﹣2b+c≥at2+bt+c，可判断④，由抛物线开口向下及（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）与对称轴的距离可判断⑤．
解答：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，①正确．
∵x＝﹣4时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∴x＝0时y＜0，
∴c＜0，②正确．
∵x＝﹣3时y＞0，
∴x＝﹣1时y＞0，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，③正确．
∵x＝﹣2时y取最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
∴4a﹣2b≥at2+bt，④错误．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上距离对称轴越近的点的y值越大，
∵﹣2.5﹣（﹣2）＞﹣2﹣（﹣3.5）＞0.5﹣（﹣2），
∴y2＞y1＞y3，⑤错误．
故答案为：①②③．
点评：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 y＝（x﹣）2 ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．
专题：函数的综合应用；平移、旋转与对称；应用意识．
分析：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（﹣2，13），可得直线BE解析式为y＝﹣x+，从而C'（﹣，9），CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，故将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．
解答：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝4的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝9得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
点评：本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C'的坐标．
8．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x（元），该网络平台的日销售量为y（件）．则下列结论正确的是 ①③④ （填写所有正确结论序号）．
①y与x的关系式是y＝﹣x+240；
②y与x的关系式是y＝x﹣160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W＝﹣+320x﹣24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：根据y＝40+可对①②进行判断；
根据每天的利润＝每件服装的利润×销售量可对③进行判断；
根据二次函数的最值可对④作出判断．
解答：∵y＝40+＝﹣x+240，
∴①正确，②错误；
∵w＝（x﹣100）（﹣x+240）＝﹣+320x﹣24000；
∴③正确；
∵w＝（x﹣100）（﹣x+240）＝﹣+320x﹣24000＝﹣（x﹣200）2+8000，
a＝﹣＜0，每件售价不得低于210元，
所以当x＝210时，每天利润最大是7920元，
∴④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ：1 ．
考点：二次函数的应用；解直角三角形．
专题：二次函数的应用；推理能力．
分析：利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．
解答：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案为：：1．
点评：本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．
10．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ （209﹣30） cm．
考点：二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，根据题意写出抛物线解析式y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y＝0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．
解答：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，
∴AB＝274，
∵GH是AB正中间，
∴AH＝AB＝137，
∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65，
设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），
过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD′＝∠APQ＝90°，
∵旋转45°，
∴CD′＝CD＝5，
CQ＝D′Q＝CD′cos∠D′CD＝5，
∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17，
∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5﹣65）2+21＝17，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣65）2+21，
令y＝0，则﹣（x﹣65）2+21＝0，
解得：x1＝65+30，x2＝65﹣30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30）＝（209﹣30）（cm），
故答案为：（209﹣30）．
点评：本题考查二次函数的实际应用，关键是建坐标系通过题意画出二次函数的图象．
2022年中考数学复习（解答题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
三．解答题（共10小题）
1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0） ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）
考点：一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观．
分析：（1）利用待定系数法，将A，C两点的坐标代入抛物线解析式中求出系数b，c，从而求出顶点D的坐标；
（2）由过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，由直线DE和直线DF求出满足条件Q点的坐标．
解答：（1）把点A（﹣3，0）和点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，则：
S△DAE：S△DEC＝1：2，S△DAF：S△DFC＝2：1，
∵点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴E（﹣2，1），F（﹣1，2），
∴DF⊥x轴于点Q2，
∴Q2（﹣1，0），
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点D（﹣1，4），E（﹣2，1）代入，得：，
解得：，
∴直线DE的表达式为：y＝3x+7，
当y＝0时，x＝﹣，
∴Q1（﹣，0）．
故答案为：Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0）．
点评：本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及三角形三等分线和三角形面积之间的关系，解题的关键是求出直线DE和DF，然后直线与x轴的交点即为点Q．
2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
考点：二次函数的性质；二次函数的最值．
专题：分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
分析：（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．
解答：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：方程思想；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；应用意识．
分析：（1）由y＝x﹣可求出A（3，0），B（0，﹣），代入二次函数y＝x2+bx+c即得二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB＝PC，即得此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）．
解答：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
点评：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定及中点坐标、两点间距离公式等知识，解题的关键是分类画出图形，利用对角线互相平分列方程解决问题．
4．（2021•甘肃模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
专题：二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴及顶点坐标；
（2）先将x0＝﹣2代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，可得y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，根据二次函数的最值可得y0的最小值，确定此时抛物线的解析式，根据增减性和图象可得y1与y2的大小；
（3）令y＝2解出两个解，这两个解符合AB横坐标范围，可解答：．
解答：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0），
∴y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，
∴当m＝﹣2时，y0取得最小值，此时y0＝﹣2，如图1，
∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）如图2，y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
当y＝2时，（x﹣m）2﹣2＝2，
∴x﹣m＝±2，
∴x＝m±2，
∵抛物线与线段AB有公共点，且点A（0，2），B（2，2），
∴0≤m﹣2≤2或0≤m+2≤2，
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4；
∴m的范围为﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题与对称轴的关系，增减性及抛物线与线段的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是关键，并运用了数形结合的思想，此类题目，利用对称轴的变化求解更简便．
5．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
考点：二次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
分析：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
解答：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
点评：本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键．
6．（2021•五峰县模拟）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1与y轴交于点A．
（1）若抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1经过坐标原点时，求该抛物线的解析式．
（2）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（3）无论a为何值时，抛物线都经过定点P，求出P点的坐标．
（4）若线段AP与双曲线仅有一个交点时：
①求a的取值范围．
②求抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．
考点：二次函数综合题．
专题：函数的综合应用；推理能力．
分析：（1）（0，0）代入抛物线关系式即可求解；
（2）表示出Δ＝（a﹣3）2﹣4（﹣2a+1）＝a2+2a+5，配方后说明其大于0即可证明；
（3）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1＝x2﹣3x+1+（x﹣2）a，当x＝2时，无论a为何值时，y的值＝22﹣6+1＝﹣1，即可求解；
（4）①设直线AP的解析式为y＝kx+b，将A（0，﹣2a+1），P（2，﹣1），代入，即可得直线AP函数关系式为：y＝（a﹣1）x﹣2a+1，联立方程组：，当直线AP与双曲线仅有一个交点时，消元后得Δ＝（2a﹣1）2+4（a﹣1）（a+2）＝8a2﹣7＝0，解得：a＝±，结合线段端点横坐标的取值范围进行讨论，即可求解；
②利用公式得顶点D（，），得，当a≤﹣1时，yD随x的增大而增大，当﹣4≤a＜﹣2时，，当a＝时，yD＝，得|yD|的最大值是．
解答：（1）当x＝0时，y＝0，
∴﹣2a+1＝0，
∴a＝，
∴抛物线的解析式：；
（2）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4（﹣2a+1）
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点；
（3）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1＝x2﹣3x+1+（x﹣2）a，
当x＝2时，无论a为何值时，y的值＝22﹣6+1＝﹣1，
∴抛物线都经过定点P，P点的坐标为（2，﹣1）；
（4）①设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，﹣2a+1），P（2，﹣1），
∴，
解得：，
∴直线AP函数关系式为：y＝（a﹣1）x﹣2a+1，
联立方程组：，
当直线AP与双曲线仅有一个交点时，
∴（a﹣1）x2﹣（2a﹣1）x﹣（a+2）＝0只有一解，
即Δ＝（2a﹣1）2+4（a﹣1）（a+2）＝8a2﹣7＝0，
解得：a＝±，
∴时，直线AP与双曲线仅有一个交点；
当a+2＞0，即a＞﹣2时，﹣2＜a＜时，线段AP与双曲线有两个交点
a＝时，线段AP与双曲线仅有一个交点，
a＞时，线段AP与双曲线没有交点
当a+2＜0，即a＜﹣2，
x＝2时，y＝，
∴a≥﹣4，
∴﹣4≤a＜﹣2时，线段AP与双曲线仅有一个交点，
a＜﹣4时，线段AP与双曲线没有交点，
综上所述：﹣4≤a＜﹣2或a＝时，线段AP与双曲线仅有一个交点；
②利用公式得顶点D（，），
∴，
当a≤﹣1时，yD随x的增大而增大，
∴当﹣4≤a＜﹣2时，，
当a＝时，yD＝，
∴|yD|的最大值是，
若线段AP与双曲线仅有一个交点时，抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．
点评：本题考查了二次函数，一次函数待定系数法求解析式，二次函数的增减性，顶点坐标公式，二次函数与x轴的交点，解题关键是二次函数与代数，几何结合的综合解题能力．
7．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题；压轴题；推理能力；应用意识．
分析：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；
（2）先求直线AB的解析式为y＝x﹣2，则Q（1，﹣），C（1，﹣2），可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝；
（3）设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．
解答：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
8．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
考点：二次函数的应用．
专题：二次函数的应用；应用意识．
分析：（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2﹣y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1﹣y2，然后进行比较判断即可．
解答：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
点评：本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
9．（2021•思明区校级二模）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0）．x1≠x2．
（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；
（2）若x1＝2x2，比较c与b﹣3的大小，并说明理由；
（3）若AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），且﹣2≤c≤﹣，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．
考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
专题：二次函数图象及其性质；应用意识．
分析：（1）把（2，0）代入y＝x2+bx+c得4+2b+c＝0，加上c+b＝1，则可求出b、c，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质求解；
（2）利用x1、x2为方程x2+bx+c的两根得到x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，则b＝﹣3x2，c＝2x22，所以b﹣3＝（﹣3x2）﹣3＝﹣4x2﹣3，利用求差法比较两代数式的大小；
（3）由A，B坐标和抛物线顶点（﹣，）可得b与c的等量关系，由c的取值范围可得的取值范围，用含c代数式表示，通过取值范围求解．
解答：（1）把（2，0）代入y＝x2+bx+c得4+2b+c＝0，
解方程组，
解得，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
（2）c＞b﹣3．理由如下：
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点（x1，0），（x2，0）．
∴x1、x2为方程x2+bx+c的两根，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，
而x1＝2x2，
∴b＝﹣3x2，c＝2x22，
∴b﹣3＝（﹣3x2）﹣3＝﹣4x2﹣3，
∵c﹣（b﹣3）＝2x22﹣（﹣4x2﹣3）＝2x22+4x2+3＝2（x2+2）2+1＞0，
∴c＞b﹣3；
（3）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P为（﹣，），
抛物线x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），
∴﹣＝﹣c2﹣c﹣，
∴b＝2c2+2c+1＝2（c+）2+＞0，
∵﹣2≤c≤﹣，
∴﹣3≤≤﹣，
设直线PD的解析式为y＝kx+m，
把x＝0代入y＝x2+bx+c可得点D坐标为（0，c），
由点P（﹣，），D（0，c）在直线上可得直线PD解析式为y＝x+c，
∴S＝OE•OD＝||•|﹣c|＝＝，
∴＝＝（+1）2+1，
∴抛物线＝（+1）2+1的对称轴为直线＝﹣1，开口向上，
当﹣3≤≤﹣时，＝﹣1时，取最小值为1，
当＝﹣3时，取最大值为5，
∴1≤≤5，
∴≤S≤1．
点评：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数最值．
10．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：函数的综合应用；图形的相似；几何直观；应用意识．
分析：（1用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，令y＝0即可得B（﹣1，0）；
（2）延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，故P（﹣3，2），P'（﹣3，﹣2），即得PP'＝4，P'E＝2，由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，解得F（﹣2，﹣3），故AP'＝2，P'F＝，同理可得BP'＝2，P'D＝，即有＝＝＝2，故四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
解答：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：
由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣3，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，
解得或，
∴F（﹣2，﹣3），
∴AP'＝＝2，P'F＝＝，
由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣3），
∴BP'＝＝2，P'D＝＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
点评：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法及位似四边形，解题的关键是掌握位似图形的定义，作出图形．
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