空间几何体的截面问题

空间几何体的截面问题

副标题

1. 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点靠近点，过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是          ．
   
    

2. 如图，在正方体中，，的中点为，则过、、三点的截面面积为          ．
   
    

3. 在长方体中，，，，分别为，，的中点，则平面截长方体的外接球所得的截面圆的面积为           ．
4. 已知正三棱锥的外接球是球，，，点为中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是          ．
5. 正三棱锥中，截面与、都平行，则截面的周长是     

A.  B.
C.  D. 周长与截面的位置有关

6. 圆锥的高为，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该正方体所得截面的面积为   

A.
B.
C.
D.

8. 已知棱长为的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为

A.  B.  C.  D.

9. 已知正四面体的棱长为，点在棱上，且，过作四面体外接球的截面，则所作截面面积的最小值为          ．
10. 在棱长为的正方体中，点，分别为，的中点，则过，，三点的平面被正方体所截得的多边形的面积为   

A.  B.  C.  D.

11. 如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的动点，设，若平面与正方体的截面是五边形，则的取值范围是          ．
     

12. 正方体的棱长为，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面面积为          ，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则          ． 
     

13. 直三棱柱的棱长均为，为的中点，过点的平面截三棱柱的外接球，则所得的截面面积的取值范围为          ．
14. 正三棱锥中，，点在棱上，且正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为          ．
15. 如图，已知球是直三棱柱的外接球，，，分别为，的中点，过点，，作三棱柱的截面，若交于，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是          ．

16. 已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为   ．

A.  B.  C.  D.

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正方体的截面问题，属于较难题．
取的中点，取上靠近点的三等分点，先判断出五边形为所求截面，再求周长即可．

【解答】

解：如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，
连接，，，，，易证，，
则五边形为所求截面．
因为，所以，，，，
，则，，，，，
故该截面的周长是．


故答案为：．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了面面平行的性质，属于基础题．
根据题意，画出图形，根据面面平行的性质，得出过，，三点的截面为梯形，然后计算其面积．

【解答】

解：如图所示，

设截面与平面的交线交于，
平面平面，截面平面，截面平面，
，
明显，
四边形是梯形，即有，，
梯形的高为，
则梯形的面积．
故答案为．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查多面体的外接球，考查球截面面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，求出球心到截面的距离，再求出长方体外接球的半径，利用勾股定理求得截面圆的半径，则答案可求．

【解答】

解：如图，

连接，由长方体结构特征可知，平面平面，
则正方形的中心到的距离等于球心到平面的距离，
可知该距离等于到距离的一半，
在中，由等面积法可得到的距离为，
则球心到平面的距离为．
长方体外接球的半径，
设截面圆的半径为，则．
截面面积为．
故答案为：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查与球有关的截面问题，属于难题．
设的中心为，球的半径为，连接，，，，可得 ，，，过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．

【解答】

解：如图，

设的中心为，球的半径为，连接，，，，
则，，
在中，，解得，
所以，，
所以，
过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为，
则截面面积为，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．
故答案为

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的判断，由线面平行的判断和性质，可知四边形是平行四边形，属于中档题．
由平面几何知识可知，然后进行后面的求解即可得．

【解答】

解：如图所示，

因为平面，平面平面，平面，
所以，同理可得，，，
所以，，
则四边形是平行四边形，
又，
所以，又
所以，
故截面 的周长是．
故选B．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

求出圆锥的底面圆半径为，母线长，求出圆锥轴截面的顶角，判断过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大时为等腰直角三角形，求出直角三角形的面积即可．
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力

【解答】

解：设圆锥的底面圆半径为，因为圆锥的高为，体积为，
所以，解得；
所以圆锥的母线长为，如图所示：

所以，，
所以圆锥轴截面的顶角为，
所以过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大时为等腰直角三角形，
最大值为．
故选：．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面．

首先取的中点，连接，，，易证平面，从而得到平面为所求截面，再计算其面积即可．

【解答】

解：取的中点，连接，，，如图所示：

因为，所以四边形为平行四边形，所以．

又平面，平面，

所以平面，即平面为所求截面．

所以，由正方体性质可知，
则．

故选：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正方体内切球截面的面积，考查空间想象能力，属于中档题．
借助正方体的性质求出平面截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面截此球所得的截面的面积．

【解答】

解：由题意，球心与的距离为，
到平面的距离为，球的半径为，
球心到平面的距离为，
平面截此球所得的截面的圆的半径为，
平面截此球所得的截面的面积为．
故选D．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了球的截面性质，属于中档题．
将四面体放置于正方体中，正四面体的外接球即正方体的外接球，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积达最小值，进而计算出结果．

【解答】

解：如图，正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，正四面体的外接球即正方体的外接球，

其直径为，，，
，，，
则截面圆的半径，
截面面积的最小值为．
故答案为．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查本题考查几何体的截面问题，空间中的平行关系与平面的基本性质及应用，是基础题．
由已知可得过，，三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形是边长为的菱形，进而得到答案．

【解答】

解：如图所示，根据面面平行的性质定理可知，过，，三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形是边长为的菱形，
其两条对角线的长分别为，，
菱形的面积为．
故选A．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识、考查空间想象能力，是基础题．
由题意，若，则棱与平面交于点，若，，则棱与平面交于线段，即可得出结论．

【解答】

解：由题意，若，
则棱与平面交于点，此时取最大值；
若，，
则棱与平面交于线段，此时取最小值．
的取值范围是．
故答案为：．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面的性质运用，正方体的结构特征，三棱台体积的求法，考查了空间想象能力，根据题意作出截面，根据几何关系求出相应线段的长度，得出较小部分几何体的体积为三棱台，利用体积公式，即可求出结果．

【解答】

解：因为正方体的棱长为，当为棱的中点，易知截面是等腰梯形，
所以，
所以，
所以，
所以等腰梯形的高为，
所以截面的面积为；

易知截面是等腰梯形，延长两腰相较于点，

设，可得，，，
三棱台的体积，
，解得．
，
．
故答案为；．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查球的截面面积的求法，属于中档题．
根据题意可知，三棱柱的外接球球心为上下底面的外接圆的圆心的连线的中点，分别找到最大截面和最小截面圆，即可得解．

【解答】

解：由题意，直三棱柱的外接球球心为上下底面的外接圆的圆心的连线的中点，如图所示：

当过点的平面过球心时，截得的截面圆最大，
此时圆的半径即为球的半径，
设上底面的外接圆半径为，则，所以，
设三棱柱的外接球的半径为，则，即，
所以截面圆最大面积为，
当过点的平面垂直时，截得的截面圆最小，
因为，
所以圆的半径为，
所以截面圆最小面积为，
综上，所得的截面面积的取值范围为．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了球与三棱锥的综合应用，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．
设为正三棱锥底面 的中心，球的半径为  ，设球心为 ，连接 ， ， ，平面截球的截面面积最小时，应有平面，从而可计算截面圆的半径从而得到其面积的大小．

【解答】

解：设为正三棱锥底面的中心，球的半径为，

则，
三角形为直角三角形，
，
设球心为，连接， ， ，
则在直角三角形 中， ， ，
由 得： ，
解得： ．
取 中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
又因为， 为 的四等分点，
所以，，
所以 ， ，
当 垂直于过 的截面时，此截面面积最小，设此时截面圆的半径为 ，
则 ，故此时截面圆的面积为．
故答案为：．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体的应用，主要考查了三棱柱的外接球、三棱柱的截面，属于难题．
做出截面和外接球，当垂直截面圆所在平面时，过的截面圆面积最小．

【解答】

解：作截面：在平面中，延长与的延长线相交于，
且在三棱柱上底所在平面内，连接，与的交于点，
根据线段比例关系，可以求得各线段长，如图所示，

外接球：上下底面为直角三角形，所以上下底面的外心就是斜边上的中点，

则有外接球半径
，
当垂直截面圆所在平面时，过的截面圆面积最小，
设截面圆的半径为，在中，由余弦定理可得

所以
所以
所以截面圆最小面积为．
故答案为：．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征以及几何体中的截面问题，涉及球的表面积和体积、空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、线面垂直的判定，线面垂直的性质，利用空间向量求点、线、面之间的距离以及利用基本不等式求最值，属于难题 
由题意，得到直四棱柱的外接球球心的位置，及半径，根据直线与直线的位置关系，线面垂直的判定以及线面垂直的性质，先证得四边形为正方形；根据题设条件得到，利用向量法得到点截面平面的距离，应用基本不等式求得点到平面距离的最大值，进而可求直四棱柱外接球被平面所截图形面积最小值．

【解答】

解：设直四棱柱的外接球球半径为，
则其体积为，即得，
由题意，平面，平面，
所以，
又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，即得四边形是菱形，
由于非正方形的菱形没有外接圆，而直四棱柱存在外接球，
于是菱形有外接圆，故四边形为正方形，作出图形如下所示：
由上分析易知该四棱柱的外接球球心位于对角线的中点，
设，，正方形的中心为，则，，
且，
即得，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
于是，，，
设平面的一个法向量，
由，得
令，得，
所以点到平面的距离为

，
由得，
所以

，
当且仅当，即时，等号成立，
所以点到平面的距离最大值为，
此时直四棱柱外接球被平面截得图形面积取得最小值，
易知所截图形为圆，该圆的半径为，
所以直四棱柱外接球被平面所截图形面积最小值为．
故选A．