空间中的动点问题

这是一份空间中的动点问题，共27页。
 空间中的动点问题副标题得分   如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是A. 对任意点，平面
B. 三棱锥的体积为
C. 线段长度的最小值为
D. 存在点，使得与平面所成角的大小为
 在长方体中，，，为线段上的动点，则  A. 当为的中点时，的周长最小
B. 三棱锥的体积为定值
C. 在线段上存在点，使得
D. 在线段上有且仅有一个点，使得已知正方体的棱长为，，分别为上的点，且，，，分别为上的动点，则折线长度的最小值为    A.
B.
C.
D. 如图正方体中，点是的中点，点为正方形 内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于  A.
B.
C.
D. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为A.
B.
C.
D. 在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点不包括两个端点，为线段的中点，则    A. 与是异面直线
B.
C. 平面平面
D. 过，，三点的正方体的截面一定是等腰梯形
 在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列个命题中，所有正确命题的序号是    ．存在，的某一位置，使              的面积为定值当时，直线与直线一定异面       无论，运动到何位置，均有A.  B.  C.  D. 如图所示，在长方体中，，，，是中点，点在侧面含边界上运动，则A. 直线与所成角余弦值为
B. 存在点异于点，使得、、、四点共面．
C. 存在点使得
D. 若点到平面距离与到点的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分
 在三棱柱中，已知，，点在底面的射影恰好是线段的中点．
证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
求三棱柱的侧面积．







 已知正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是    A. 直线与是异面直线
B. 点到平面的距离是一个常数
C. 过点作平面的垂线，与平面交于点，若，则
D. 若面内有一点，它到距离与到的距离相等，则轨迹为一条直线如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是   A. 四棱锥的体积为
B. 存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
C. 当点为的中点时，在直线上存在点，使得
D. 存在唯一一点，使得平面，且
 如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，，设，，给出以下四个结论：

平面平面；
当且仅当时，四边形的面积最小；
四边形的周长，是单调函数；
四棱锥的体积在上先减后增．
其中正确命题的序号是          ．已知在棱长为的正方体中，为正方形内的一个动点含边界，且，则  A. 点的轨迹是一扇形区域
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为          ；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为          ．
如图所示的五面体中，四边形是正方形，四边形是等腰梯形，，且平面平面，为的中点，，．
 求证：平面平面；为线段的中点，在线段上，记，是线段上的动点．当为何值时，三棱锥的体积为定值？证明此时二面角为定值，并求出其余弦值．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间几何体的结构特征，考查面面平行的判定，三棱锥的体积公式及线面角的求法，属中档题．
依题意，根据空间几何体的结构特征，面面平行，三棱锥的体积公式及线面角的求法逐个判断即可．【解答】解：如图，

因为，平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又、为平面内两条相交直线，
所以面，
对任意点，，
所以对任意点，平面，故A正确；
对任意点，点到面的距离总为，底面积，
所以三棱锥的体积为，故B错误；
作，垂足为，线段长度的最小值为，
在三角形中，，得，
即线段长度的最小值为，故C正确；

作，垂足在上，
则为与平面所成角，
，
所以，

故不存在点，使得与平面所成角的大小为，故D错误，
故选AC．  2.【答案】
 【解析】【分析】本题考查长方体中点线面的关系以及锥体体积的计算，属于较难题．
立足题设对照选项应用相关知识逐一判断即可。【解答】解：
选项A

如图， 的边 为定值，只要求最小即可。将与展到一个平面后，得到一个如图得菱形：


当共线时，最小，此时恰为中点，从而A正确；
选项B

如图，，其中面为定平面，而再上，其中与平行，平面，平面，所以平面，从而到面距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于选项C：

如图建立空间直角坐标系，其中，，，
从而，
而，从而不成立，故C错误；
对于选项D：
同一样建立空间直角坐标系，其中，，，其中
从而，，从而
化简得
令
从而
解得：或都不在 上，从而不存在点，故D不正确．
故选AB．  3.【答案】
 【解析】【分析】本题考查正方体的结构，考查折线长度的最小值问题，属于中档题．
将折线所在平面展开成平面图形，利用长度关系，进而可得结果．【解答】解：将折线所在平面展成平面图形，如图所示：因为正方体的棱长为，且，，所以，均为对角线上的三等分点，作，分别与正方形的边平行，所以，，所以，所以折线长度的最小值为．故选：．  4.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间向量的应用，利用它解决线面的平行和求异面直线所成的角．
建立空间直角坐标系，设，，求出平面的一个法向量为，找到，再求出，分析当时最大，最小即可解答．
【解答】
解：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，，，
则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
取得，因为平面
所以，即，
异面直线与所成角为，，
则，
当最大时取最小值，
而，
所以当时最大为，
此时最小值为，
故选A．
   5.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，属于较难题．
连接，得出点、、在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点的坐标即可．【解答】解：连接，则，点、、在平面中，
且，，，
如图所示；
在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示；
则，，；
设点关于直线的对称点为，
的方程为，
，
直线的方程为，
由组成方程组，解得，
直线与的交点；
所以对称点，
，当，，三点共线且 轴时，取最小值．
的最小值为．
故选：．  6.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查了异面直线的判定，余弦定理，直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，截面问题，属于较难题．
由，共面，可判断由余弦定理求得，，作差可判断由直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理可判断取中点，易知，，共面，可判断．【解答】解：，，共线，即，交于点共面，因此，共面，A错误
记，则，
，
又，，，即，B正确
由于正方体中，，平面，则，
又，，平面，
可得平面，平面，从而可得平面平面，C正确
取中点，连接，，，
如图：

易知，
又正方体中，，，，共面，就是过，，三点的正方体的截面，
它是等腰梯形，D正确．
故选：．
   7.【答案】
 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是较难题．
在中，当，分别是线段和的中点时，；在中，假设正方体边长为，在点，但是在处时，的面积为，在处时，的面积为；在中，假设直线与是共面直线，则与共面，矛盾；在中，由平面得无论，运动到任何位置，均有．【解答】解：在中，当，分别是线段和的中点时，，故正确；
在中，假设正方体边长为，在处时，在处时，的面积为，在处时，在处时，的面积为，故面积不是定值，故错误；
在中，当时，假设直线与是共面直线，
则与共面，矛盾，所以直线与是异面直线，故正确；
在中，垂直于在平面内的射影，如图，

又因为，，，平面、平面，
所以平面，
又平面，
所以无论，运动到任何位置，均有，故正确．
故选D．  8.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了命题真假的判断，主要考查了立体几何的综合应用，涉及了空间角的求解、空间中线线关系的判定、动点轨迹方程的求解，综合性强，考查的知识点多，对学生掌握知识的广度和深度都有一定的要求，属于难题．
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用向量的夹角公式求解即可判断选项A，取的中点，用向量的方法证明，即可判断选项B，设，假设，根据数量积为列出方程求解，即可判断选项C，利用点到平面距离与到点的距离相等，求出点的轨迹方程，即可判断选项D．【解答】解：以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，，是中点，点在侧面含边界上运动，
则，，，，，，，，
对于选项A，因为，
则，
所以直线与所成角余弦值为，故选项A正确；
对于选项B，取的中点，则，则，
又，所以，所以，
因此当点在线段上除点外，都能使得，
即，，，四点共面，故选项B正确；
对于选项C，由题意设，
则，又，
若，则，解得不在范围内，
所以不存在点使得，故选项C错误；
对于选项D，同选项C，设，
则点到平面的距离为，点到点的距离为，
因为点到平面距离与到点的距离相等，
所以，整理可得，其中，，
所以点的轨迹方程为，是抛物线的一部分，故选项D正确．
故选：．  9.【答案】证明：如图所示，连接，在中，作于点，
   

因为，得，
因为平面，平面，所以，
因为，为的中点，得，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又，，由，得：．
解：由可知平面，所以，
因为，所以，所以为矩形，故；
连接，，
在中，，，所以．
因为．
所以．
 【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间距离的求法，考查转化思想以及计算能力．
连接，在中，作于点，证明，，推出平面，然后证明平面，即可求解．
求出为矩形的面积，连接，求出然后求解即可求解侧面积．
 10.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间几何体的直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属于拔高题．
利用异面直线的定义判断选项A；证明平面，即可说明点到平面的距离是一个常数，所以B正确；建立空间直角坐标系，利用向量法判断选项C；判断出为点到的距离，根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线的一部分，故可判断选项D．【解答】解：对于选项，如图，

平面，平面，故直线与不平行，且，故直线与不相交，
所以直线与是异面直线，
故选项正确；对于选项B，在正方体中，，
因为平面，平面，所以平面，又，
故点到平面的距离是一个常数，
故选项B正确；对于选项，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
 则，，，，所以，因为，则，
所以，设存在，设，
则，故，因为平面，所以，
即
解得，则，满足条件，
故选项正确；对于选项D，因为平面，
又平面，所以，
即为点到的距离，根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线的一部分，
故选项D错误．故选：．  11.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间几何体的体积，截面问题，空间面面平行的性质，空间线面垂直的坐标表示等知识点，综合性较强，【解答】解：长方体中，，，，对于，，易知平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，为，同理到平面的距离等于到平面的距离，为，所以，故A正确；对于，易知平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，即四边形为平行四边形，将长方体侧面和沿棱展开到同一平面内，则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，，所以四边形的周长的最小值为，故B正确；对于，当为的中点时，易知为的中点，在平面中，延长，交的延长线于，连接，易知≌，得，所以为的中点，所以在中，，故C正确；对于，以点为坐标原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴建立空间直角坐标系，设点，，，，则，，，所以，即，要使平面，则需，即，所以，得，即，故D错误．故选ABC．  12.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间中的面面垂直关系、椎体的体积公式，以及函数单调性的应用，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，属于难题．
连接，，，则平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面，即可判断是否正确；
四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可；
，当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，则函数，不单调，即可判断是否正确；
连接，，，则四棱锥分割为两个小三棱锥，四棱锥的体积为常值函数，即可判断是否正确．【解答】解：对于：连接，，，则正方体的性质可知，平面，所以平面平面，所以正确；

对于：连接，因为平面，所以，因为四边形的对角线是固定的，且，
所以当且仅当时，四边形的面积最小，故正确；
对于：因为，所以四边形是菱形，当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，
所以函数，不单调，故错误；
对于：四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以为底，以，分别为顶点的两个小棱锥，，
因为三角形的面积是个常数，，到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常值函数，故错误．
故答案为：．  13.【答案】
 【解析】【分析】本题考查立体几何中的点的运动轨迹，两点间距离与向量模的问题．
根据题意分析错误选项．【解答】解：连接，在中，，，，
是以为圆心，以为半径的圆位于正方形内，故A项不正确
的最小值为，故B项正确
以为原点，为轴，为轴，建立坐标系，则，，，设的坐标为，
则，则，仅当，时，的最大值为，故C项正确
同理，
令点，，故D项不正确．  14.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了新定义轨迹方程问题，空间距离的求法，考查了三棱锥的体积运算，考查了转化思想，计算能力，属于拔高题．
若点在平面内运动时，如图以为原点建立平面直角坐标系，可得，，设，由可得即，即可得半径的值；
若点在长方体内部运动，由可得点在半径为，球心为的球面上以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得到面的距离为，求得到面的距离的最小值为，又点到面的距离的最小值为，利用体积公式即可求．【解答】解：若点在平面内运动时，
如图以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，可得，．
设，由可得．
即，．
则点所形成的阿氏圆的半径为，圆心为，



若点在长方体内部运动，由可得点在半径为，球心为的球面上．以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

可得，，，
则，，
设面的法向量为，
，可得．
到面的距离为．
则到面的距离的最小值为，
为的中点，到面的距离的最小值为．
则三棱锥的体积的最小值为
．
故答案为：．  15.【答案】解：证明：由，得，
为中点且，则，故由余弦定理得
，
在中，，
所以，则，
可知，从而，所以，
又平面平面，平面平面，且平面，，
所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
当时，是的中位线，，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离固定，此时，是定值，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，
设，，
，，
设平面的法向量为，
则有即
令，得，，所以，
因为，，且、为平面内两条相交直线，则是平面的一个法向量，所以，
根据图形可知，二面角为钝角，
所以二面角为定值，且其余弦值为．
 【解析】本题考查了面面垂直的判定，三棱锥体积，二面角求法，考查了分析和运算能力，属于较难题．
先根据几何关系证明，然后结合平面平面，证明平面，即可得到，然后结合线面垂直的判定证明平面，再结合面面垂直的判定证明平面平面即可；
先确定当时，三棱锥的体积为定值，然后运用向量法求得二面角为定值，并求出余弦值即可．