专题01 实数及其运算-2022年冲刺中考之重考点（全国通用）

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题

第14节  平行四边形的存在性

方法点拨

平行四边形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，则O的坐标为（）或者（）

解题方法：

（1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；

（2）利用中点坐标公式列方程计算

       例题演练

1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的二次函数解析式：

（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．

2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．

（1）求b、c的值；

（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；

②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；

（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．

（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；

（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝﹣1，已知经过A、C两点直线解析式为y＝﹣3x+3．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接BC，点P在抛物线上且在直线BC的上方，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作AC的平行线交BC于点K，求出使△PQK的周长最大的值及此时点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线向左平移一定距离使平移后的抛物线经过点P，在直线PK上有一动点M，点N在平移后的抛物线上，以B、Q、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛物线于点D，交x轴于点G．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M（不与H重合），连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；

（3）如图3，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝﹣x2+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

9．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，将射线PB绕P逆时针方向旋转45°后与函数图象交于点Q．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+4的表达式；

（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；

（3）求线段PQ的最大值；

（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

10．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；

（3）在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．