高考数学(理数)一轮复习检测卷：1.6《二次函数与幂函数》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：1.6《二次函数与幂函数》 (教师版)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)A.eq \r(3)　　　　　　　 B．±eq \r(3)C．±9 D．9解析：选D.由f(4)＝4α＝2可得α＝eq \f(1,2)，即f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，f(m)＝meq \s\up6(\f(1,2))＝3，则m＝9.2．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值是(　　)A．－1 B．0C．－2 D．eq \f(3,2)解析：选B.由题设3a＝eq \f(1,3)⇒a＝－1，故g(x)＝(2x－1)x－1＝2－eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递增，则当x＝eq \f(1,2)时取最小值geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－2＝0.3．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是(　　)A．[0，4] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析：选D.二次函数y＝x2－3x－4的图象的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq \f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，结合图象易得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).4．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则(　　)A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析：选A.函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,8)，＋∞))，由已知可得eq \f(m,8)≤－2，得m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.5．函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(　　)A．ba＞0 B．a＋b＞0C．ab＞1 D．loga2＞b解析：选D.由图象可知a＞1，b＜0，故loga2＞0，所以loga2＞b.6．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)解析：选D.A项，因为a＜0，－eq \f(b,2a)＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，由图象知f(0)＝c＜0，故A项不可能；B项，因为a＜0，－eq \f(b,2a)＞0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B项不可能；C项，因为a＞0，－eq \f(b,2a)＜0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C项不可能；D项，因为a＞0，－eq \f(b,2a)＞0，所以b＜0，又因为abc＞0，所以c＜0，由图象知f(0)＝c＜0.故选D.7．设二次函数f(x)＝ax2－4ax＋c在区间[0，2]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，0] B．(－∞，0]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞) D．[0，4]解析：选D.二次函数f(x)＝ax2－4ax＋c在区间[0，2]上单调递减，又因为它的对称轴是直线x＝2，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(4)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤4.8．已知α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．解析：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.答案：－19．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．解析：x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)，x∈[0，1]，所以当x＝0或1时，x2＋y2取最大值1；当x＝eq \f(1,2)时，x2＋y2取最小值eq \f(1,2).因此x2＋y2的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))10．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．当x＝0时，－3＜0，符合题意；当x≠0时，a＜eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,6)，因为eq \f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，右边取最小值eq \f(1,2)，所以a＜eq \f(1,2).综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B级　能力提升练11．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关解析：选B.设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝xeq \o\al(2,1)＋ax1＋b，M＝xeq \o\al(2,2)＋ax2＋b.∴M－m＝xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1)＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.12．已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任意实数x，f(x)与g(x)中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)∪(0，2]　　　 B．(－2，2]C．(－∞，－2) D．(0，＋∞)解析：选A.对于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.当t＝0时，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有负，不符合题意，故排除B；当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合题意，故排除C；当t＞2时，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，当x趋近于－∞时，f(x)与g(x)都为负值，不符合题意，故排除D，选A.13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则(　　)A．∀m∈A，都有f(m＋3)＞0B．∀m∈A，都有f(m＋3)＜0C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＜0解析：选A.由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，当x＞1时，f(x)＞0.由a＞b，得1＞eq \f(b,a)，设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，则x1＋1＝－eq \f(b,a)＞－1，即x1＞－2，由f(m)＜0可得－2＜m＜1，所以1＜m＋3＜4，由抛物线图象可知，f(m＋3)＞0，选A.14．已知幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③xeq \o\al(2,2)f(x1)＞xeq \o\al(2,1)f(x2)；④xeq \o\al(2,2)f(x1)＜xeq \o\al(2,1)f(x2)．其中正确结论的序号是(　　)A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：选C.设函数f(x)＝xα，依题意有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(α)＝2，所以α＝－eq \f(1,2)，因此f(x)＝x－eq \f(1,2).令g(x)＝xf(x)＝x·x－eq \f(1,2)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而0＜x1＜x2，所以g(x1)＜g(x2)，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故①错误，②正确；令h(x)＝eq \f(f（x）,x2)＝eq \f(x－\f(1,2),x2)＝x－eq \f(5,2)，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而0＜x1＜x2，所以h(x1)＞h(x2)，即eq \f(f（x1）,xeq \o\al(2,1))＞eq \f(f（x2）,xeq \o\al(2,2))，于是xeq \o\al(2,2)f(x1)＞xeq \o\al(2,1)f(x2)，故③正确，④错误，故选C.15．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t的值为________．解析：函数f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴是x＝t，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5.若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数，故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，解得t＝eq \f(9,5)；若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，此时f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8，解得t＝－eq \f(3,4)，与t≥5矛盾．综上所述，t＝eq \f(9,5).答案：eq \f(9,5)16．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．解析：当x0∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，又对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以当x1∈[－1，2]时，g(x1)∈[－1，3]．当a＞0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋2≥－1，,2a＋2≤3，))解得a≤eq \f(1,2).综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C级　素养加强练17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x>0，,－f（x），x<0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq \f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x>0，,－（x＋1）2，x<0.))∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤eq \f(1,x)－x且b≥－eq \f(1,x)－x在(0，1]上恒成立．又eq \f(1,x)－x的最小值为0，－eq \f(1,x)－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．