高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测49《圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题》(学生版)

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课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题[一般难度题——全员必做] 1．已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：eq \f(x2,4)＋y2＝1上的非坐标轴上的点，且4kOA·kOB＋1＝0(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)．(1)证明：xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)，yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)均为定值；(2)判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝eq \f(5,3)上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足eq \o(PM,\s\up7(―→))＝eq \o(NQ,\s\up7(―→))？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．[中档难度题——学优生做]1.如图已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得eq \o(MP,\s\up7(―→))·eq \o(MQ,\s\up7(―→))＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的右焦点为F(c,0)，且a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为eq \f(\r(3),2)，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|eq \o(GF,\s\up7(―→))|＋|eq \o(CF,\s\up7(―→))|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得eq \o(OP,\s\up7(―→))2＝4eq \o(PA,\s\up7(―→))·eq \o(PB,\s\up7(―→))成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[较高难度题——学霸做]1．如图，已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．(1)若点G的横坐标为－eq \f(1,4)，求直线AB的斜率；(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明理由．2．已知椭圆D：x2＋eq \f(y2,b2)＝1的左焦点为F，其左，右顶点为A，C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，△FBC的外接圆的圆心P(m，n)在直线x＋y＝0上．(1)求椭圆D的方程；(2)已知直线l：x＝－eq \r(2)，N是椭圆D上的动点，MN⊥l，垂足为M，问：是否存在点N，使得△FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．