高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系第1课时学案及答案

第1课时两条直线的相交、平行与重合

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一两条直线的相交、平行与重合

若直线，，则：

与相交；

与平行且① ；

与 ② 重合且 .

要点二用直线的法向量表示两条直线的位置关系

因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，不难看出：

（1）与相交（即只有一个交点）的充要条件是与 ③ 不共线，即；

（2）与平行或重合的充要条件是与 ④ 共线，即 .

自主思考

1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？

答案：提示不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等.

2.设直线，的方向向量分别是， .

（1）直线，相交的充要条件是什么？

（2）若，则直线一定成立吗？

答案：提示（1） .

（2）不一定，直线与可能平行，也可能重合.

名师点睛

在直线的一般式方程条件下，两直线相交、平行与重合的充要条件

设直线，直线，则：

（1）或．

（2）与重合的充要条件是，且 .

（3）与相交的充要条件是 .

互动探究·关键能力

探究点一两条直线位置关系的判定

精讲精练

例判断下列各组中两条直线的位置关系.

（1），；

（2），；

（3），；

（4），

答案：（1）把化为，则，，；

易知，， .因为，所以与相交.

（2）易知，，；把化为，所以，， .

因为，所以与重合.

（3）把化为，把化为，

则，，；，， .

因为，所以与平行.

（4）把化为，把化为，

则，，；，，，

因为，而，所以与平行.

解题感悟

两条直线相交、平行或重合的四种判定方法：

（1）把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断；

（2）把直线方程都化为一般式，利用方程中，的系数之间的关系判断；

（3）解由直线的方程组成的方程组，利用方程组的解的个数判断；

（4）求两条直线的法向量，利用两个法向量的关系进行判断.

迁移应用

1.（多选）下列各直线中，与直线相交的是(      )

A.  B.

C.  D.

答案： ;

解析：直线的斜率为2，与直线相交的直线的斜率不能等于2，，中直线的斜率均为2；，中直线的斜率为-2，故选CD.

2.若直线，的法向量分别为，，则直线，的位置关系为(      )

A.相交B.平行C.重合D.平行或重合

答案：

解析：由题意得，所以，故直线与平行或重合.

探究点二两直线平行的应用

精讲精练

例（1）已知直线，，若，则的值为(      )

A.-7B.-1

C.-7或-1D.-2或4

（2）与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是(      )

A. B.

C. D.

答案：（1）（2）

解析：（1）由题意得解得 .

（2）设直线交轴于点，令，则， .

设所求直线为，

把代入得，

，所求直线的方程为 .

变式在本例（2）中，把条件“与直线平行”改为“一个法向量为 ”，其余条件不变，求直线的方程.

答案：设直线交轴于点，令，则，，

所求直线的一个法向量为，可设其方程为，

把代入到方程中得，，

则所求直线的方程为 .

解题感悟

（1）求与直线平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可设方程为，然后通过待定系数法求参数的值.

（2）求与直线平行的直线的方程时，可设方程为，代入已知条件求出的值即可.

（3）对于斜率为0或不存在的直线要单独讨论.

迁移应用

1.过直线，的交点且与平行的直线的方程为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：由解得

即两直线，的交点为(-4,-1).设与平行的直线的方程为，

则，解得，故所求直线的方程为 .

2.已知两条直线，，，则直线的一个法向量是(      )

A. B.(-1,1)

C.(-1,-1)D.

答案：

解析：时，不平行于， .

，，

解得，直线为，

直线的斜率为1.

故直线的一个法向量为(-1,1).

探究点三两直线的交点问题

精讲精练

例（1）两直线和的交点在轴上，则的值是(      )

A.-24B.6C. D.24

（2）直线与的交点在第四象限，则的取值范围为(      )

A.(-6,-2)B.

C. D.

答案：（1）（2）

解析：（1）因为两条直线和的交点在轴上，

所以设交点为，所以消去，可得 .

（2）直线与的交点在第四象限，

，联立方程得解得由题意知

解得，即k的取值范围为 .

解题感悟

求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．

（1）若一条直线的方程是斜截式，常应用代入消元法解方程组.

（2）若直线的方程都是一般式，常应用加减消元法解方程组.

迁移应用

1.直线与直线的交点在(      )

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：

解析：由题意联立方程得解得

即两直线的交点坐标为(-1,1)，在第二象限，故选B.

2.若三条直线，和相交于一点，则 (      )

A.-2B. C.2D.12

答案：

解析：联立得解得即直线与直线交于点，将点的坐标代入中，得，解得 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.直线与直线重合的条件是(     )

A.， B.，

C.， D.，

答案：

2.已知过点和的直线与直线平行，则的值为(      )

A.-8B.0C.2D.10

答案：

3.直线与直线的交点坐标是 .

答案：

4.直线过点，且与过点，的直线平行，则直线的方程为．

答案：

素养演练

数学运算——直线系方程的应用

1.求过两直线和的交点且与直线平行的直线的方程.

答案：设所求直线的方程为，即 .（*）

因为所求直线与直线平行，所以

解得 .

代入（*）式，得，即 .所以所求直线的方程为 .

素养探究：求过两条直线交点的直线方程，可设过两条直线与的交点的直线系方程为（不包括的方程），再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.体现了数学运算的核心素养.