人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式第2课时学案

第2课时　诱导公式(二)

[课程目标] 1.掌握诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．

2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．

[填一填]

[答一答]

1．角α与－α以及角α与＋α间三角函数关系是如何推导的？

提示：(1)如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，角－α的终边与单位圆的交点P2与P1关于直线y＝x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是有：

cosα＝x，sinα＝y；

cos＝y，

sin＝x，

从而有sin＝cosα，cos＝sinα.

(2)∵＋α＝－(－α)，

∴sin＝sin＝cos(－α)＝cosα，

cos＝cos＝sin(－α)＝－sinα.

即sin＝cosα，cos＝－sinα.

2．如何快速记忆所学的诱导公式？

提示：(1)±α、±α的三角函数等于α的余函数，前边放上把α看作锐角时，该角所在象限的原函数值的符号．即“函数变余函，符号看象限”．

(2)诱导公式可并在一起记忆如下：

2kπ±α(k∈Z)，π±α，－α，±α，±α，(2k＋1)π±α(k∈Z)的三角函数，可以统记作±α(k∈Z)．

±α的三角函数，当k为偶数时，等于角α的同名函数，前边放上把α看作锐角时，该角所在象限的原函数值的符号；当k为奇数时，等于角α的余函数，前边放上把角α看作锐角时，该角所在象限的原函数值的符号，即“奇变偶不变，符号看象限”.

类型一　　给角求值

[例1]　求下列各三角函数值．

(1)sin(－1 920°)；(2)cos(－1 560°)；(3)tan.

[分析]　应用诱导公式来化简求值．

[解]　(1)原式＝－sin1 920°＝－sin(360°×5＋120°)

＝－sin(90°＋30°)＝－cos30°＝－；

(2)原式＝cos1 560°＝cos(360°×4＋120°)

＝cos120°＝cos(90°＋30°)＝－sin30°＝－；

(3)原式＝tan＝tan＝1.

[变式训练1]　求下列各三角函数值：

(1)sin；(2)cosπ；(3)sinπ.

解：(1)sin＝－sin＝－sin

＝－sin＝－sin＝sin＝.

(2)cosπ＝cos＝cos＝cos

＝－cos＝－.

(3)sin＝sin＝sin＝sin

＝cos＝.

类型二　　给值求值

[例2]　已知sin＝，求cos的值．

[分析]　尝试对角进行整体分析的方法，建立互余或互补角关系的思想，然后套用诱导公式解决．

[解]　∵sin＝，

且＋＝，

∴cos＝cos

＝sin＝.

[变式训练2]　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；

(2)已知cos＝，求cos·sin的值．

解：(1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，

∴cosα＝，又α为第一象限角．

则cos＝－sinα＝－

＝－＝－.

(2)cos·sin

＝cos·sin

＝－cos·sin

＝－sin

＝－cos＝－.

类型三　　三角函数式的化简

[例3]　化简：，其中k∈Z.

[解]　k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则

原式＝

＝.

＝＝1.

k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)．

仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.

用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.

[变式训练3]　化简：.

解：原式＝

＝

＝

＝＝1.

类型四　　三角函数式的证明

[例4]　已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.

[分析]　由sin(α＋β)＝1得到角α、β间的关系，用β表示α，代入等式左边，化简可得等式右边．

[证明]　∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋，k∈Z，

∴α＝2kπ＋－β，k∈Z，

∴tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ

＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ

＝－tanβ＋tanβ＝0.

∴等式成立．

[变式训练4]　证明：＝.

证明：左边＝

＝

＝＝，

右边＝，所以等式成立．

1．已知cosα＝，则sin等于(　A　)

A.　　　　B．－  C.　　　D．－

解析：sin＝cosα＝.

2．若cos(π＋α)＝－，那么sin等于(　A　)

A．－   B.

C.   D．－

解析：cosα＝，sin＝－cosα＝－.故选A.

3．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　D　)

A.　　　　B.  C．－　　　 D．－

解析：∵cos(75°＋α)＝，∴sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－.故选D.

4．已知f(x)＝sin，且f(2 019)＝1，则f(2 020)＝0.

解析：由sin＝1，得sin＝sin＝－sin＝－cosα＝1，∴cosα＝－1，∴f(2 020)＝sin(1 010π＋α)＝sinα＝0.