初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形综合与测试综合训练题

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冀教版七年级数学下册第九章 三角形达标测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，，，则的度数是（       ）A．55° B．35° C．45° D．25°2、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（       ）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根3、如图，在中，，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（       ） A．30° B．45° C．60° D．75°4、如图，直线l1、l2分别与△ABC的两边AB、BC相交，且l1∥l2，若∠B＝35°，∠1＝105°，则∠2的度数为（　　）A．45° B．50° C．40° D．60°5、将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（       ）A．  B．C． D．6、如图，是的中线，，则的长为（       ）A． B． C． D．7、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，78、如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是(　　)A．6 B．5 C．4 D．39、下列各组数中，不能作为一个三角形三边长的是（       ）A．4，4，4 B．2，7，9 C．3，4，5 D．5，7，910、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（       ）A．105° B．120° C．135° D．150°第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，给出下列结论：①是的余角；②图中互余的角共有3对；③的补角只有；④与互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）．2、如图，已知AE∥BD，∠1＝88°，∠2＝28°．则∠C＝_____．3、如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是 _____．4、在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为__________．5、如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法和结论）（1）分别连接AB、AD，作射线AC，作直线BD与射线AC相交于点O；（2）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 　   　，理由是 　   　．2、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=45°． （1）如图1，若∠BOD=65°，则∠AOC=______ ；∠AOC=120°，则∠BOD=____ ； （2）如图2，若∠AOC=150°，则∠BOD=_____ ； （3）猜想∠BOD与∠AOC的数量关系，并结合图1说明理由；（4）如图3三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针以1秒钟15°的速度旋转，当时间t（其中0＜t≤6，单位：秒）为何值时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出t的值．3、已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC于N．(1)如图①，当点M与A重合时，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度数；(2)如图②，当点M在线段AE上（不与A，E重合），用等式表示∠EMN与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A做MC的垂线，交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．①依题意补全图形；②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，则∠AMC＝          °．（用含α，β，γ的式子表示）4、已知是的三边长．（1）若满足，，试判断的形状；（2）化简：5、如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可．【详解】解：设AD与BC相交于O，则∠COD=∠AOB，∵∠C+∠COD+∠D=180°，∠A+∠AOB=∠B=180°，∠C=∠A=90°，∴∠D=∠B=25°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．2、B【解析】【分析】根据三角形的稳定性即可得．【详解】解：要使这个木架不变形，王师傅至少还要再钉上1根木条，将这个四边形木架分成两个三角形，如图所示：或故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．3、C【解析】【分析】设交于点，是射线上的一点，设，根据三角形的外角的性质可得，进而根据平角的定义即可求得，即可求得．【详解】如图，设交于点，是射线上的一点，折叠，设即故选C【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据三角形内角和定理球场∠3的度数，利用平行线的性质求出答案．【详解】解：∵∠B＝35°，∠1＝105°，∴∠3=180-∠1-∠B=，∵l1∥l2，∴∠2=∠3=，故选：C．．【点睛】此题考查三角形内角和定理，两直线平行内错角相等的性质，熟记三角形内角和等于180度及平行线的性质并熟练解决问题是解题的关键．5、A【解析】【分析】根据平角的定义可判断A，D，根据同角的余角相等可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，从而可得答案.【详解】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°， ∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；选项B：如图， 故B不符合题意；选项C：如图， 故C不符合题意；选项D： 故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角度的计算”是解本题的关键.6、B【解析】【分析】直接根据三角形中线定义解答即可．【详解】解：∵是的中线，，∴BM= ，故选：B．【点睛】本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．7、C【解析】【分析】根据组成三角形的三边关系依次判断即可．【详解】A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．8、D【解析】【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF=DE=2，根据S△ADB+S△ADC=7和三角形面积公式求出即可．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，∴DE=DF=2，∵S△ABC=7，∴S△ADB+S△ADC=7，∴×AB×DE+×AC×DF=7，∴×4×2+×AC×2=7，解得：AC=3．故选D .【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．9、B【解析】【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．【详解】解：选项A：4，4，4可以构成等边三角形，故选项A正确；选项B：2+7=9，两边之和等于第三边，不能构成三角形，故选项B错误；选项C：3+4>5，这三边可以构成三角形，故选项C正确；选项D：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以构成三角形，故选项D正确；故选：B．【点睛】本题考查了构成三角形的三边的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．10、B【解析】【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：，∴；故选B．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．二、填空题1、①④##④①【解析】【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，结合三角形的内角和，然后再根据余角定义和补角定义逐一进行分析即可．【详解】解： ， 是的余角；故①符合题意； ， 互为余角，互为余角， ，互为余角，所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意； 与互补；∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠1+∠DAE=180°， ∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意； ， 所以与互补的角有 共3个，故④符合题意；所以正确的结论有：①④故答案为：①④【点睛】本题考查的是垂直的定义，互余，互补的含义，三角形的内角和定理，掌握“互为余角的两个角之和为 互为补角是两个角之和为”是解本题的关键.2、60°【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠3＝88°，根据三角形的外角性质即可求得∠C【详解】解：∵∴∠1＝∠3＝88°，∵∠3＝∠2+∠C，∴∠C＝∠3﹣∠2＝88°﹣28°＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角的性质，求得∠3＝88°是解题的关键．3、在三角形中，两边之和大于第三边【解析】【分析】根据三角形两边之和大于第三边进行求解即可．【详解】解：∵点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，∴A、B、C可以构成三角形，∴由三角形三边的关系：在三角形中，两边之和大于第三边可以得到：CA+CB＞AB，故答案为：在三角形中，两边之和大于第三边．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边是解题的关键．4、6【解析】【分析】如图，先标注字母，证明可得从而可得结论.【详解】解：如图，先标注字母， AD⊥BC于点D，BD＝CD，   BC＝6，AD＝4， 故答案为：6【点睛】本题考查的是三角形的高，中线与面积的关系，掌握“三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分”是解本题的关键.5、19.2【解析】【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度．【详解】解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，由图可得：，当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长，∴，，∵等腰面积为48，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）AB+AD＞BD，在三角形中，两边之和大于第三边．【解析】【分析】（1）根据直线，射线，线段的作图方法作图即可；（2）根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是：AB+AD＞BD，理由是：在三角形中，两边之和大于第三边，故答案为：AB+AD＞BD，在三角形中，两边之和大于第三边．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，作直线，射线和线段，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、（1）115°，60°；（2）30°；（3）∠AOC+∠DOB=180°，理由见解析；（4）时间t为2秒或3秒或5秒或6秒时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．【解析】【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【详解】解：（1）若∠BOD=65°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-65°=115°，若∠AOC=120°，则∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=90°+90°-120°=60°；故答案为：115°；60°；（2）如图2，若∠AOC=150°，则∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD=360°-150°-90°-90°=30°；故答案为：30°；（3）∠AOC与∠BOD互补．理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∴∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补；（4）分四种情况讨论：当OD⊥AB时，∠AOD=90°-∠A=30°，t=30°15°=2(秒)；当CD⊥OB时，∠AOD=∠D=45°，t=45°15°=3(秒)；当CD⊥AB时，∠AOD=180°-60°-45°=75°，t=75°15°=5(秒)；当OD⊥OA时，∠AOD=90°，t=90°15°=6(秒)；综上，时间t为2秒或3秒或5秒或6秒时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．3、（1）；（2），见解析；（3）①见解析；②【解析】【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN＝10°即可；(2)∠EMN＝(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．根据，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．证法2:根据 AE平分∠BAC，得出∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)即可；(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；                                   ②∠AMC＝．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD=∠CNM=90°，可证∠NMC=∠D，根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B即可【详解】解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝30°，∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，∴∠CMN＝10°，∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；(2)∠EMN＝(∠C－∠B)．                                     …证法1:如图，作AD⊥BC于D．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．∵，∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．∵AD⊥BC，MN⊥BC，∴AD//MN，∴∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．            证法2:∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)，∴∠EMN＝90°－∠AEC＝(∠C－∠B)．(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；                                   ②∠AMC＝．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，∴MN∥AG，∴∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），∵MC⊥AD，∴∠CFD=∠CNM=90°，∵∠FCD=∠NCM，∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B，∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，∴∠AMC=γ°-β°+α°．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．4、（1）是等边三角形；（2）【解析】【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形．（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．【详解】（1）∵∴且∴ ∴是等边三角形．（2）∵是的三边长∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式===【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．5、．【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：在中，，，，平分，，为边上的高，，．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．