初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精练

八年级数学下册第二十二章四边形必考点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M．AF⊥BC，垂足为F．BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，连接AC、NE.若AE=BN，AN=CE，则下列结论中正确的有（       ）个．

①；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④；⑤．

A．1 B．3 C．4 D．5

2、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（       ）

A．12° B．24° C．39° D．45°

3、如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为（       ）

A．2 B． C．3 D．

4、已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（       ）

A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD

5、如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（　　）

A．4m B．8m C．16m D．20m

6、下列命题是真命题的有（　　）个．

①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．

A．1 B．2 C．3 D．4

7、下列说法不正确的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．菱形的对角线互相垂直

8、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．12

9、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（     ）

A．80° B．90° C．100° D．110°

10、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ）

A．四个角相等 B．对角线互相垂直

C．对角互补 D．对角线相等

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、三角形的中位线______于三角形的第三边，并且等于第三边的______．

数学表达式：如图，

∵AD＝BD，AE＝EC，

∴DE∥BC，且DE＝BC．

2、如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成_______个三角形．

3、如图，正方形ABCD的边长为，作正方形A1B1C1D1，使A，B，C，D是正方形A1B1C1D1，各边的中点；做正方形A2B2C2D2，使A1，B1，C1，D1是正方形A2B2C2D2各边的中点…以此类推，则正方形A2021B2021C2021D2021的边长为 _____．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝16，则点C的坐标为______．

5、定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为6，中心为O，在正方形外有一点P，，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的最大值为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．

(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；

(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．

2、已知：线段m．

求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

3、如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)直接写出点的坐标____________________；

(2)求、两点的坐标．

4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；

(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

5、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

证出∠NBF=∠EAF=∠MEC，再证明△NBF≌△EAF（AAS），得出BF=AF，NF=EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE=∠ABN，推出∠ABF=∠FAC=45°；再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论．

【详解】

解：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，

∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，

∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，

在△NBF和△EAF中，，

∴△NBF≌△EAF（AAS）；

∴BF=AF，NF=EF，

∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，

∴△NFE是等腰直角三角形，故③正确；

∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，

∴∠ANB=∠CEA，

在△ANB和△CEA中，，

∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；

∵AN=CE，NF=EF，

∴BF=AF=FC，

又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；

在▱ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，

∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，

∴∠ANE=∠BCD=135°，

在△ANE和△ECM中，，

∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；

∴CM=NE，

又∵NF=NE=MC，

∴AF=MC+EC，

∴AD=BC=2AF=MC+2EC，故⑤错误．

综上，①②③④正确，共4个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．

【详解】

解：折叠，

是矩形

故选：C．

【点睛】

本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

3、D

【解析】

略

4、D

【解析】

略

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理即可求出．

【详解】

解：中，、分别是、的中点，

为三角形的中位线，

，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．

6、B

【解析】

【分析】

根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．

【详解】

解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；

②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；

③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；

④四条边都相等的四边形是菱形，正确；

⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．

故选：B．

【点睛】

此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．

7、C

【解析】

【分析】

利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．

【详解】

解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；

对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；

菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．

【详解】

解：四边形为菱形，

，，，

，

,

∴,

∴,

∴

故选：．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．

9、B

【解析】

【分析】

根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．

【详解】

解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，

又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，

∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．

故选B．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．

10、B

【解析】

略

二、填空题

1、     平行     一半

【解析】

略

2、4

【解析】

【分析】

从边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，依此作答．

【详解】

解：过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．

故答案为4．

【点睛】

本题主要考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为．

3、

【解析】

【分析】

根据勾股定理求得正方形对角线的长度，然后结合三角形中位线定理求得正方形的边长，从而探索数字变化的规律，进而求解．

【详解】

由题意得，正方形ABCD中

CD=AD=

在Rt△ACD中，

AC==2

∵A，B，C，D是正方形各边的中点，

∴正方形的边长为2=

在Rt△中

==2

∵是正方形各边中点

∴正方形的边长为2=      

以此类推

则正方形的边长为

故答案为：

【点睛】

本题考查勾股定理，正方形性质，探索数字变化的规律是解题关键．

4、（－2，－8）

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得出，即，，再根据勾股定理可求出OB的长度．设，则，列等式，求出，则答案可解．

【详解】

，

四边形ABCD为菱形，

，，

即，，

，

．

设 则，

，即，

，

解得（舍去）

．

在轴上,，即轴，则轴，

．

【点睛】

本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出、、的长是解题的关键．

5、3

【解析】

【分析】

由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，求出d的值即可得出答案

【详解】

解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE最大，

∵正方形ABCD边长为6，O为正方形中心，

∴AE=3，∠OAE=45°，OE⊥AB，

∴OE=3，

∵OP=6，

∴d=PE=6-3=3；

故答案为：3

【点睛】

本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大时点P的位置是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求，理由：可先证明△AEF≌△ADF，可得∠AEF=∠D=90°，从而得到∠DAE+∠DFE=180°，进而得到∠EFC=∠DAE，再由AD∥BC，即可求解；

（2）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，从而得到BE＝3，进而得到EC＝2，然后在 中，由勾股定理，即可求解．

(1)

解：如图，作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求．

∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，

∴△AEF≌△ADF，

∴∠AEF=∠D=90°，

∴∠DAE+∠DFE=180°，

∵∠EFC+∠DFE=180°，

∴∠EFC=∠DAE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE，

∴∠EFC＝∠BEA；

(2)

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，

∵AE＝AD＝5，

∴BE＝＝＝3，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，

由（1）得：△AEF≌△ADF，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．

2、见详解

【解析】

【分析】

先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．

【详解】

解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，

以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，

过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，

则四边形ABCD为所求作矩形；

∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AB=，AC=m，

∴矩形的宽与对角线满足条件，

∴四边形ABCD为所求作矩形．

【点睛】

本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．

3、 (1)(10，8)

(2)D(0，5)，E(4，8)

【解析】

【分析】

（1）根据，，可得点的坐标；

（2）根据折叠的性质，可得AE=AO，OD=ED，根据勾股定理，可得EB的长，根据线段的和差，可得CE的长，可得E点坐标；再根据勾股定理，可得OD的长，可得D点坐标；

(1)

解：∵，，

∴点的坐标(10，8)，

故答案为：(10，8)；

(2)

解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=OC=8，

由勾股定理，得BE= =6，

CE=BC-BE=10-6=4，E(4，8)．

在Rt△DCE中，由勾股定理，得DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD，CD=8-OD，

(8-OD)2+42=OD2，

解得OD=5，D(0，5)．

所以D(0，5)，E(4，8)；

【点睛】

本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

4、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t

(2)见解析

(3)3，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；

（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．

(1)

解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，

则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝t；

(2)

解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，

∴，

∵AE＝t，DF＝t，

∴AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

(3)

解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，

∴AB＝AC＝6cm，

∵，

∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，

解得，t＝3，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形EBFD是矩形，

∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．

【点睛】

此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．

5、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．