冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试课后练习题

八年级数学下册第二十二章四边形同步练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（       ）

A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD

2、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．

3、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（       ）

A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD

4、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（　　　）

A．3 B． C． D．6

5、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（       ）

A．8 B．10 C．16 D．20

6、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（　　）

A．360° B．900° C．1440° D．1800°

7、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

8、下列关于的叙述，正确的是（       ）

A．若，则是矩形 B．若，则是正方形

C．若，则是菱形 D．若，则是正方形

9、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48

10、如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（       ）

A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．

2、平行四边形的对角线________．

几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝________，BO＝________（平行四边形的对角线互相平分）．

3、如图，已知AD为的高，，以AB为底边作等腰，，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的是___．

4、如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______．

5、如图，矩形中，，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则的度数为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、若直线分别交轴、轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴，B为垂足，且S△ABC= 6

(1)求点B和P的坐标；

(2)点D是直线AP上一点，△ABD是直角三角形，求点D坐标；

(3)请问坐标平面是否存在点Q，使得以Q、C、P、B为顶点四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为　   　．

3、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．

(1)尺规作图：作，使，点F是的边与线段AB的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．

4、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点

(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；

(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．

5、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．

(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；

(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

略

2、C

【解析】

【分析】

证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．

【详解】

解：四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

3、B

【解析】

略

4、C

【解析】

【分析】

画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．

【详解】

解：如下图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=2，

∴AC=2OA=4，

∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，

∴BC=．

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的判定和性质，可得AE=CE，又由CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，继而可得ABCD的周长．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，

∵OE⊥AC，

∴OE是线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∵△CDE的周长为8，

∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，

∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

6、C

【解析】

【分析】

设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．

【详解】

解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，

由题意得，4x+x＝180°，

解得：x＝36°，

多边形的外角和为360°，

360°÷36°＝10，

所以这个多边形的边数为10，

则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.

【详解】

解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，

∵菱形OABC，

∴OC=OA=4

∵，

∴∠OCE=30°

∵OC=4

∴OE=2

∴CE=

∴点C的坐标为.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.

8、A

【解析】

【分析】

由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．

【详解】

解：中，，

四边形是矩形，选项符合题意；

中，，

四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；

中，，

四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；

中，，

四边形是菱形，选项不符合题意；

故选：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

利用菱形的面积公式即可求解．

【详解】

解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，

故选：C．

【点睛】

本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．

10、B

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，

∴AC＝8cm，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴OE＝AC＝4cm，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

二、填空题

1、11

【解析】

【分析】

作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．

【详解】

如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB

由对称的性质得：PC=PG，GD=CD

∵GP+PM+BM≥BG

∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM

则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM

∵四边形ABCD是矩形

∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°  

∴CG=2CD=12

∵M为线段EF的中点，且EF=4

∴

在Rt△BCG中，由勾股定理得：

∴GM=BG－BM=13－2=11

即CP+PM的最小值为11．

【点睛】

本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．

2、     互相平分     CO     DO

【解析】

略

3、①③

【解析】

【分析】

只要证明，，是的中位线即可一一判断；

【详解】

解：如图延长交于，交于．设交于．

，，

，

，，

，故①正确，

，，

，

，

，

不垂直，故②错误，

，

，

，，

，

，

是等腰直角三角形，平分，

，

，

，

，

，故③正确，

，

，

，

，

，故④正确．

故答案是：①③．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

4、##

【解析】

【分析】

证明，根据全等三角形的性质得到，，根据翻折变换的性质用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】

解：四边形是矩形，

，，，

由折叠的性质可知，

，，，

在和中，

，

，

，，

，

设，则，，

，，

根据勾股定理得：，

即，

解得：，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．

5、90

【解析】

【分析】

根据旋转的性质和矩形的性质可得CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，由勾股定理可求AC=AC'的长，延长C'B'交BC于点E，连接CC'，由勾股定理求出CC'的长，最后由勾股定理逆定理判断是直角三角形即可．

【详解】

解：∵将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到矩形AB′C′D′，

∴CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，

∴

延长C'B'交BC于点E，连接CC'，如图，

则四边形是矩形

∴

∴

∴

而

∴

∴是直角三角形

∴

故答案为：90

【点睛】

本题考查勾肥定理、旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，

三、解答题

1、 (1)B（2，0），P（2，3）

(2)（2，3）或（，）

(3)（0，5）或（0，-1）或（4，1）

【解析】

【分析】

（1）设B（x，0），则P（x，x+2），由S△ABC=6列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标；

（2）当点D与点P重合时，△ABD是直角三角形；当点D与点P不重合时，过点C作CE⊥AP，先求出直线CE的解析式，再由直线BD∥CE求出直线BD的解析式且与y=x+2联立方程组，求出点D的坐标；

（3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标．

(1)

解：如图1，设B（x，0），则P（x，x+2），

对于y=x+2，当y=0时，由x+2=0，得，x=-4；当x=0时，y=2，

∴A（-4，0），C（0，2），

∵点P在第一象限，且S△ABC=6，

∴×2（x+4）=6，

解得x=2，

∴B（2，0），P（2，3）．

(2)

如图1，点D与点P重合，此时∠ABD=∠ABP=90°，

∴△ABD是直角三角形，

此时D（2，3）；

如图2，点D在线段AP上，∠ADB=90°，

此时△ABD是直角三角形，作CE⊥AP，交x轴于点E，

则∠ACE=∠ADB=90°，

∴BD∥CE，AC=，

设E（m，0），

由AE•OC=AC•CE=S△ACE，得AE•OC=AC•CE，

∴2（m+4）=CE，

∴CE=（m+4），

∵∠COE=90°，

∴OE2+OC2=CE2，

∴m2+22=(m+4)]2，

整理得，m2-2m+1=0，

解得，m1=m2=1，

∴E（1，0）；

设直线CE的解析式为y=kx+2，则k+2=0，

解得，k=-2，

∴y=-2x+2；

设直线BD的解析式为y=-2x+n，则-2×2+n=0，

解得，n=4，

∴y=-2x+4，

由，得：，

∴D（，）；

由图象可知，当点D在PA的延长线上，或点D在AP的延长线上，则△ABD不能是直角三角形，

综上所述，点D的坐标是（2，3）或（，）；

(3)

存在．如图，

当四边形CQBP是平行四边形时，

此时，CQ=PB=3，

∴Q（0，-1）；

当四边形CQ1PB是平行四边形时，

此时，CQ1=PB=3，

∴Q1（0，5）；

当四边形CPQ2B是平行四边形时，

此时，CP∥BQ2且CB∥PQ2，

∴Q2（4，1）；

综上所述，点Q的坐标为（0，5）或（0，-1）或（4，1）．

【点睛】

此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．

2、 (1)见解析

(2)画图见解析，

【解析】

【分析】

（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；

（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．

(1)

解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；

(2)

解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．

故答案为：．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

3、 (1)见解析；

(2)，，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出即可；

（2）证明即可得结论．

(1)

如图，即为所求．

(2)

，．

∵四边形ABCD是正方形，

∴，．

在和中，

∴（AAS），

∴．

∵，．

∴，即．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

4、 (1)证明见解析

(2)10

【解析】

【分析】

（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；

（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．

(1)

证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)

解：连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∵四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG，

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，

∴，

∴EG＝BD＝10．

【点睛】

本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．

5、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求，理由：可先证明△AEF≌△ADF，可得∠AEF=∠D=90°，从而得到∠DAE+∠DFE=180°，进而得到∠EFC=∠DAE，再由AD∥BC，即可求解；

（2）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，从而得到BE＝3，进而得到EC＝2，然后在 中，由勾股定理，即可求解．

(1)

解：如图，作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求．

∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，

∴△AEF≌△ADF，

∴∠AEF=∠D=90°，

∴∠DAE+∠DFE=180°，

∵∠EFC+∠DFE=180°，

∴∠EFC=∠DAE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE，

∴∠EFC＝∠BEA；

(2)

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，

∵AE＝AD＝5，

∴BE＝＝＝3，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，

由（1）得：△AEF≌△ADF，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．