考点10函数概念与平面直角坐标系（解析版）练习题

这是一份考点10函数概念与平面直角坐标系（解析版）练习题，共19页。试卷主要包含了平面直角坐标系，点的坐标的概念，函数的三种表示法及其优缺点，由函数解析式画其图像的一般步骤，关于x轴，点到坐标轴及原点的距离等内容，欢迎下载使用。

考点10函数概念与平面直角坐标系
考点总结
考点1 平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点2 函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点3 平面直角坐标系方法归纳
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于

真题演练

一、单选题
1．（2020·浙江台州·中考真题）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间的增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案．
【详解】
由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v与运动时间t之间的函数关系是（为前半程时间，为后半程时间），
∴前半程路程函数表达式为：，后半程路程为，
∵，即前半段图像开口向上，后半段开口向下
∴C项图像满足此关系式，
故答案为：C．
2．（2021·浙江舟山·一模）如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（ ）

A．（1，1） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）
【答案】B
【分析】
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】
解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1），建立如下平面直角坐标系：

∴棋子“炮”的坐标为（2，1），
故答案为：B．
3．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，这是一张从某大桥正侧面拍摄的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为80米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）

A．在桥拱正下方部分的桥面EF的实际长度约为50米．
B．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为18米．
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为11米．
D．桥面上BF段的实际长度约20米．
【答案】B
【分析】
结合函数图像进行逐一分析判断即可得到答案．
【详解】
解：A、函数图像中PC与PD函数图像的交点即为桥拱与桥面的交点E、F，对应的横坐标分别为1、6，根据横坐标最大为8，AB=80米，
∴横坐标一个单位长度对应的长度是10米，
∴EF=10×（6-1）=50米，故A不符合题意；
B、如图当D在最高点，作DH⊥AB于H，若DH=18m，则斜边CD的长大于18m，即，即在函数图像上，而由函数图像可知，PC与PD的差值最大没有达到1.8，因此桥拱的最高点与桥面AB的实际距离小于18米，故B符合题意；
C、PC的纵坐标最低时，此时PC⊥AB，由函数图像可知，此时正好在1.1处，即高度为11米，故C不符合题意；
D、由函数图像可知F的横坐标为6，B的横坐标为8，即F、B之间的距离为20，故D不符合题意；
故选B．

4．（2021·浙江庆元·一模）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p．根据下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70ml时，压力表读出的压强值最接近（ ）

体积V
压强
100
60
90
67
80
75
70

60
100
A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100kPa
【答案】B
【分析】
根据表格信息可知，随着体积V的减小，压强P会增大，而且根据数值可以发现，体积越小，压强增大的幅度越大．
【详解】
根据表格信息可知，压强随着体积的减小在增大，且体积值越小，增加的压强越多，
体积从90降到80时，压强增加了8kpa；体积从80降到60时，压强增加了25kPa，则体积从80降到70时，压强应该增加值在8到12.5之间；所以a的值接近于85kpa，
故选：B．
5．（2021·浙江义乌·一模）已知某手机当前电量为20%，正常使用时耗电量为每小时10%，经测试，用快速充电器和普充电器对其充电时，其电量关于充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段．现在用快速充电器将其充满电后，正常使用a小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电—耗电—充电”的时间恰好是6小时，则a的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数图象信息可先分别求出快充和普充的充电速度，然后根据题意分别求出三个过程的用时，最后根据总时间为6小时，列方程求解即可．
【详解】
由函数图象可知，从20%电量至充满，快充需要2h，普充需要6h，
∴普充的速度为：（每小时），
则该手机从20%电量先用快充至充满，用时为2h，
然后正常使用a小时，则耗电量为：，
再使用普充至充满，用时为：小时，
根据题意，，
解得：，
故选：A．
6．（2021·浙江温州·一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝2x B． C．y＝5000x D．
【答案】D
【分析】
行驶千米数=汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：∵汽车行驶每100千米耗油x升，
∴1升汽油可走米，
∴y=50×．
故选：D．
7．（2021·浙江婺城·三模）如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止，在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点D为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是10，则a＝（　　）

A．7 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】
根据图象可知AB=AC=a，点D表示点K在BC中点，由△ABC的面积是10求BC，再利用勾股定理求AC即可．
【详解】
解：由图象可知，点D所在的曲线关于点D对称的，即点D左右对应图象呈现对称性，则AB=AC，点K位于BC边的中点时，AK为△ABC底边BC上的高，AK的最小值是5
∵△ABC的面积是10
∴
解得：BC=4
由勾股定理AB=
∴a=AB=AC=7
8．（2021·浙江临安·一模）如图，等腰直角三角形以的速度沿直线向右移动，直到与重合时停止．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为，则下列各图中，能大致表示出与之间的函数关系的是（ ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可．
【详解】
解：如图，当时，重叠部分为三角形，面积，
如图，当时，重叠部分为梯形，面积，
所以，图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有选项符合．
故选A.
9．（2021·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，点，则点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.
【详解】
A. 若点在第一象限，则有：
，
解之得
m>1，
∴点P可能在第一象限；
B. 若点在第二象限，则有：
，
解之得
不等式组无解，
∴点P不可能在第二象限；
C. 若点在第三象限 ，则有：
，
解之得
m<1，
∴点P可能在第三象限；
D. 若点在第四象限，则有：
，
解之得
0 ∴点P可能在第四象限；
故选B.
10．（2021·浙江杭州·二模）已知点E（x0，yo），点F（x2．y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2020的坐标是（　　）
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
【答案】B
【分析】
根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．
【详解】
解：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），
点P（0，2）关于点A的对称点P1，
∴，，
解得x＝2，y＝﹣4，
所以点P1（2，﹣4）；
同理：
P1关于点B的对称点P2，
所以P2（﹣4，2）
P2关于点C的对称点P3，
所以P3（4，0），
P4（﹣2，﹣2），
P5（0，0），
P6（0，2），
…，
发现规律：
每6个点一组为一个循环，
∴2020÷6＝336…4，
所以点P2020的坐标是（﹣2，﹣2）．
故选：B．

二、填空题
11．（2021·浙江宁波·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．

【答案】或
【分析】
根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．
【详解】
解：根据题意，
∵点称为点的“倒数点”，
∴，，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数的图像上，
设点A为，则点B为，
∵点C为，
∴，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
故答案为：或．
12．（2020·浙江金华·中考真题）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【答案】－1（答案不唯一，负数即可）
【分析】
根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
【详解】
∵点P(m，2)在第二象限内，
∴，
m取负数即可，如m=-1，
故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．
13．（2021·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为_____．

【答案】12
【分析】
设E点的坐标是（a，b），根据已知得出ab＝4，AE＝a，BE＝2a，求出OA＝b，AB＝3a，再根据矩形的面积公式求出即可．
【详解】
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
设E点的坐标是（a，b），
∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，
∴OA＝b，AB＝3a，
∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，
故答案为：12．
14．（2021·浙江宁波·二模）若点在第二象限，则a的取值范围是___________．
【答案】-2＜a＜0
【详解】
解：因为点（a，a+2）在第二象限，
所以，解
得﹣2＜a＜0，
故答案为﹣2＜a＜0.
15．（2021·浙江温岭·一模）函数中自变量x的取值范围是__．
【答案】x≠3
【详解】
根据题意得x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为x≠3．

三、解答题
16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…

…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…

…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当时，＝ ．
（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．


【答案】（1）3；（2）当x约等于2时，y1=y2；当02时，y1>y2；（3）见解析
【分析】
（1）根据圆的直径为6，半径为3可求；
（2）按自变量由小到大的顺序描点并用平滑曲线连接即可得到所画图象，两图象有交点，过此交点作x轴的垂线，垂足表示的数即为自变量x的值，找到此值，即可比较两函数值的大小；
（3）在（2）的基础上，取AC=2，借助于勾股定理、相似三角形等知识，分别计算EC和EB，即可得出结论的正确性．
【详解】
解（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3．
故答案为：3
（2）函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数．
∴从图象可以看出：
当时，；
当0 当x>2时，．

（3）如图3，连结OD，过点E作于点H．

由（2）的初步判断，当时，，即EC=EB．
不妨取AC=x=2，此时，，．
，
∴在中，
．
设，则，．
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ECO．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
两边平方并整理得，．
解得，（不合题意，舍去）．
∴OH=m=1．
∴HC=OH+OC=1+1=2，．
∴．
又∵HB=OB-OH=3-1=2，
∴．
∴EC=EB．
∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立．
17．（2021·浙江温州·一模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（5，2），请在所给网格区域（不含边界）上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使AO＝CO．
（2）在图2中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点C的横坐标与纵坐标的和等于点A的纵坐标的3倍．

【答案】（1）见详解（2）见详解．
【分析】
（1）由题意C（2，1），根据要求作出图形即可．
（2）由题意C（3，3）或（5，1），根据题意作出图形即可．
【详解】
（1）如图，四边形ACBD或四边形ABD′C即为所求作．

（2）如图，四边形ACBD或四边形ABC′D′即为所求作．

18．（2021·浙江庆元·一模）甲，乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车，乙骑摩托车，甲比乙先出发．已知A，B两地相距120km，如图表示的是两人之间相距的路程与甲行驶的时间之间函数关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）写出点C纵坐标的实际意义．
（2）求甲，乙的速度．
（3）请将图象补充完整，并直接写出关键点的坐标．

【答案】（1）乙出发时，甲乙两人相距；（2）甲，乙的速度分别为，；（3）见解析，点F的坐标为．
【分析】
（1）根据函数图象的实际意义即可解答；
（2）根据 “速度=路程÷时间”进行计算即可；
（3）先根据题意画出图象，然后再进行解答即可．
【详解】
解：（1）由图可知：点C纵坐标的实际意义是：乙出发时，甲乙两人相距；
（2）由图象可知：，所以甲行驶的速度为
设乙的行驶速度为，由图象可知，
解得．
∴甲，乙的速度分别为，；
（3）图象如图所示．

点E横坐标的意义是乙到B地时t的值，纵坐标的意义是此时甲离B地的路程．
∴，
，
∴点E的坐标为．
∴甲到达B地还需要，
∴点F的坐标为．