考点14二次函数的应用（解析版）练习题

这是一份考点14二次函数的应用（解析版）练习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点14二次函数的应用
考点总结
１． 利用二次函数解决实际问题,关键是构建函数模型,运用函数的图象与性质加以解决．
２． 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围,然后通过配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值．
３． 应用二次函数解决实际问题可按下面的步骤进行:一找:找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系;二列:列函数表达式表示它们之间的函数关系;三解:应用二次函数的图象及性质解题;四检:检验结果的合理性,特别是检验是否符合实际意义．

真题演练

一、单选题
1．（2021·浙江·中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．
【详解】
解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴该抛物线对称轴为，
当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，
故①和②都不正确；
当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴，
∴，故③正确；
当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，
可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，
所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；
故选：A．
2．（2020·浙江台州·中考真题）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间的增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案．
【详解】
由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v与运动时间t之间的函数关系是（为前半程时间，为后半程时间），
∴前半程路程函数表达式为：，后半程路程为，
∵，即前半段图像开口向上，后半段开口向下
∴C项图像满足此关系式，
故答案为：C．
3．（2021·浙江·温州绣山中学二模）已知两点均在抛物线上，若，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意假设点A、B是抛物线上的两个对称点，则此时该抛物线的对称轴为直线，然后由，开口向上离对称轴越近y的值越小，进而问题可求解．
【详解】
解：∵点均在抛物线上，
∴假设点A、B是抛物线上的两个对称点，
∴此时该抛物线的对称轴为直线，
∵，开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，则y的值越小，
∴该抛物线的顶点横坐标，
所以选项中符合题意的只有D选项；
故选D．
4．（2021·浙江嵊州·模拟预测）将二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象向上平移5个单位，若平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣3 B．k≤﹣3 C．k＞﹣3 D．k≥﹣3
【答案】C
【分析】
根据题意可得平移后的二次函数解析式为，进而由题意可得一元二次方程，然后根据题意可进行求解．
【详解】
解：由题意得：平移后的二次函数解析式为，
∵平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，
∴一元二次方程无解，即无解，
∴，解得：；
故选C．
5．（2021·浙江越城·一模）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】
分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5
【详解】
解：∵抛物线L：y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点.
∴①如图1，抛物线与直线相切，

联立解析式
得x2-2x+2-c=0
△=（-2）2-4（2-c）=0
解得：c=1，
当c=1时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点

此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上
∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到
∴2＜c≤5
又∵c为整数
∴c=3，4，5
综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，
故选D．

二、填空题
6．（2021·浙江台州·中考真题）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．

【答案】
【分析】
根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解．
【详解】
解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），，
图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2， 或（舍去），，
∵h1＝2h2，
∴=2，即：=或=-（舍去），
∴t1：t2=：=，
故答案是：．
7．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．
【答案】2或
【分析】
分，和 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．
【详解】
解：由题意得：O（0,0），A（3，4）
∵为直角三角形，则有：
①当时，
∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点O）；如图，

②当时，，
∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点A）；
③当时，，
∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，
∴点P为OA的中点，
∴
∴半径r=
∵抛物线的对称轴与x轴垂直
由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，
∴抛物线的对称轴为的两条切线，
而点P到切线，的距离 ，
又
∴直线的解析式为：；直线的解析式为：；
∴或4
∴或-8
故答案为：2或-8
8．（2021·浙江温州·二模）如图，抛物线与函数的图象在第一象限交点的横坐标为4，点在抛物线上，点在正比例函数的图象上，当时，的最大值为_______________．

【答案】
【分析】
根据第一象限的交点求出a的值，再表示出，，列出关于t的二次函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】
把x=4代入得y=2
把x=4，y=2代入得
解得a=
∴
当x=t时，，当x=t+1时，
∴当时，===
∵＜0，
∴当t=2时，的最大值为
故答案为：．
9．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A的坐标是，点C在x轴上，点在边BC上，将沿AD折叠，得到，若抛物线（且a为常数）的顶点落在的内部（不含边界），则a的取值范围是__________．

【答案】且
【分析】
先根据折叠得出AE、ED的长度，再根据两三角形相似得出点E的坐标，再根据直线AD的解析式得出抛物线对称轴与AD的交点，将抛物线写成顶点式，由题意得出a的范围．
【详解】
由折叠可知：BD=ED，AB=AE
∵在矩形OABC中，A(0， 6).D(10， 1)
∴AE=AB=10，BD=ED=5，∠B=∠E=90°
过点E作EF垂直于y轴于G，交BC的延长线于点F

∵∠AEG+∠DEF=90°，∠AEG+∠GAE=90°
∴ ∠GAE=∠DEF，又∠AGE=∠F=90°
∴ △AGE ∽△EFD
∴
设GE=x，则EF=10-x，DF=x
由勾股定理得：DE2=DF2+EF2

x=10(舍去）或x=6
∴E(6，-2)
∵抛物线的对称轴是x= =6
设直线AD的解析式为y=kx+b.
将A(0， 6)、D(10， 1)代入得：
解得
∴直线AD的解析式为：y= x+6
将x=6代入 得：y=3
∴直线x=6与直线AD的交点坐标为（6，3）
由
因为抛物线顶点在△AED中，
所以-2