2021齐齐哈尔市中考数学试卷

这是一份2021齐齐哈尔市中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年齐齐哈尔市初中学业考试
数学试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)
1. 实数2021的相反数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2021 B. －2021 C. D. －
2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是(　　)

3. 下列计算正确的是(　　)
A. ±＝±4 B. (3m2n3)2＝6m4n6 C. 3a2·a4＝3a8 D. 3xy－3x＝y
4. 喜迎建党100周年．某校将带办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8.已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是(　　)
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7

第5题图
5. 一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为(　　)
A. 43° B. 47° C. 133° D. 137°
6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间．出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间函数图象大致是(　　)

7. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为(　　)

第7题图
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
8. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数－1，，，，5.06006000600006……(相邻两个6之间0的个数依次加1)，这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是(　　)
A. B. C. D.
9. 周末，小明的妈妈让他到药店购实口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱(两种物品都买)，小明的购买方案共有(　　)
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
10. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为x＝－1，结合图象给出下列结论：

第10题图
①a＋b＋c＝0；
②a－2b＋c<0；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－3和1；
④若点(－4，y1)，(－2，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y1 ⑤a－b 其中正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(每小题3分，满分21分)
11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007 mm2.将0.0000007用科学记数法表示为________．
12. 如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是________．(只需写出一个条件即可)

第12题图 第16题图
13. 圆锥的底面半径为6 cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为________cm.
14. 若关于x的分式方程＝＋2的解为正数，则m的取值范围是________．
15. 直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为________．
16. 如图，点A是反比例函数y＝(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝(x<0)的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB.若△OAB的面积为6，则k1＋k2＝________．
17. 如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为(1，1)，连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn(n为正整数)的坐标是________．

第17题图
三、解答题(本题共7道大题，共69分)
18. (本题共2个小题，第(1)题6分，第(2)题4分，共10分)
(1)计算：(－)－2＋(π－3.14)0＋4cos45°－|1－|







(2)因式分解：－3xy3＋12xy









19. (本题满分5分)
解方程：x(x－7)＝8(7－x)











20. (本题满分10分)
某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查(被调查的学生只选一类并且没有不选的)，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：

第20题图

(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)请补全条形图；
(3)扇形图中，m＝________，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是________°；
(4)若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？








21. (本题满分8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC.
(1)求证：AC平分∠EAB；
(2)若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．

第21题图





22. (本题满分10分)
在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲，乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲的骑行速度为________米/分，点M的坐标为________；
(2)求甲返回时距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，________分钟时两人距C地的距离相等．

第22题图









23. 综合与实践(本题满分12分)
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图①.
(1)∠EAF＝________°，写出图中两个等腰三角形：________(不需要添加字母)；
转一转：将图①中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图②.
(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为______；
(3)连接正方形对角线BD，若图②中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图③，则＝________；

第23题图
剪一剪：将图③中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图④.

图④
第23题图
(4)求证：BM2＋DN2＝MN2








24. 综合与探究(本题满分14分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是________；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．








2021年齐齐哈尔市初中学业考试数学解析
一、选择题
1. B　【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，∴2021的相反数是－2021.
2. D　【解析】A.既不是轴对称图形也不是中心对称图形；B.是轴对称图形但不是中心对称图形；C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形；D.既是轴对称图形也是中心对称图形．
3. A　【解析】A.±＝±4，正确，故该选项符合题意；B.(3m2n3)2＝9m4n6，错误，故该选项不符合题意；C.3a2·a4＝3a6，错误，故该选项不符合题意；D.3xy与3x不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意．
4. C　【解析】根据题意得5＋5＋6＋x＋7＋7＋8＝7×6，解得x＝4 ，将这七个数据按从小到大的顺序排列为：4，5，5，6，7，7，8，中位数为第四位数，故中位数为6.
5. D　【解析】如解图，∵∠1＝47°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－47°＝43°，∴∠4＝180°－43°＝137°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠4＝137°.

第5题解图
6. C　【解析】∵某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，∴休息前油箱中的油量随时间增加而减少，休息时油量不发生变化．∵再次出发油量继续减小，到乙地后发现油箱中还剩4升油，且休息前后的图象平行∴只有C符合要求．
7. A　【解析】根据题意得：俯视图中每个位置的小正方体最多的个数如解图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是1＋1＋1＋2＋2＝7(个)．

第7题解图
8. B　【解析】这五张卡片中有理数有：－1，，共三张；无理数有：，5.06006000600006……(相邻两个6之间0的个数依次加1)共两张．则取到的卡片正面的数是无理数的概率是.
9. B　【解析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，依据题意得：3x＋2y＝30，∴x＝10－y.∵x，y均为正整数，∴或或或.∴小明共有4种购买方案．
10. C　【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，故结论①正确；根据函数图象可知，当x＝－1，y<0，即a－b＋c<0，对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，b＝2a.∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝2a＞0，∴a－b＋c－b<0，即a－2b＋c<0，故结论②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－3，0)，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－3和1，故结论③正确；由函数图象可知：y2 二、填空题
11. 7×10－7　【解析】0.0000007＝7×10－7.
12. ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE(只需写出一个条件即可，正确即得分)　【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD.∴∠BAC＝∠EAD.
(1)当∠B＝∠E时，，∴△ABC≅△AED(AAS)．
(2)当∠C＝∠D时，，∴△ABC≅△AED(ASA)．
(3)当AB＝AE时，，∴△ABC≅△AED(SAS)．
13. 9　【解析】∵圆锥的底面半径为6，∴圆锥的底面周长为：2π×6＝12π，∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.设圆锥的母线长为R，∴＝12π，解得R＝9 cm.
14. m<－2且m≠－3　【解析】方程两边同时乘以(x－1)得：3x＝－m＋2(x－1)，解得x＝－m－2，∵x为正数，∴－m－2＞0，解得m<－2，∵x≠1，∴－m－2≠1，即m≠－3，∴m的取值范围是m<－2且m≠－3，
15. 2.4或　【解析】若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为＝5，设直角三角形斜边上的高为h，∵×3×4＝×5h ，∴h＝2.4；若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为＝，设直角三角形斜边上的高为h，∵×3×＝×4h ，∴h＝.
16. －20　【解析】∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝(x＜0)图象交于点B，k1＜0，k2＜0，∴S△AOC＝|k1|＝－k1，S△BOC＝|k2|＝－k2，∵AB＝3BC，∴S△ABO＝3S△OBC＝6，即S△BOC－k2＝2，解得k2＝－4，∵S△AOC－k1＝6＋2，解得k1＝－16，∴k1＋k2＝－16－4＝－20.
17. (0，n2＋n)　【解析】∵点A1的坐标为(1，1)，∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，设A1P1的解析式为y＝－x＋b1，将(1，1)代入得b＝2.∴直线A1P1的解析式为y＝－x＋2，联立得，解得B1(－2，4)，∵B1P2∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x＋b2，∴－2＋b2＝4，∴b2＝6，∴P2(0，6)，联立得，解得A2(3，9)，∵A2P3∥A1B1，设A2P3的解析式为y＝－x＋b3，∴－3＋b3＝9，∴b3＝12，∴P3(0，12)，…，∴Pn(0，n2＋n)．
三、解答题
18. 解：(1)原式＝4＋1＋4×－(－1)
＝4＋1＋2－＋1
＝6＋；
(2)原式＝－3xy(y2－4)
＝－3xy(y＋2)(y－2)．
19. 解：∵x(x－7)＝8(7－x)，
∴x(x－7)＋8(x－7)＝0，
∴(x－7)(x＋8)＝0，
∴x1＝7，x2＝－8.
20. 解：(1)300；【解法提示】由条形统计图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图可得，此部分人数占调查总人数的20%，故本次抽样调查的样本容量是60÷20%＝300(人)．
(2)补全条形统计图如解图；

第20题解图
【解法提示】喜爱C类节目的人数为300－30－60－105－15＝90(人)．
(3)35，18；【解法提示】m%＝×100%＝35%，∴m＝35；节目类型E对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝18°.
(4)该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：
1800×＝180(人)．
21. (1)证明：如解图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，AE⊥CD，
∴∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴∠OCA＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠EAC，
∴AC平分∠EAB；
(2)解：如解图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB＝，∠CAB＝∠EAC，AE＝12，
∴tan∠EAC＝，即＝，
∴CE＝4，
在Rt△ACE中，AC＝＝8，
又∵∠ACB＝90°，tan∠CAB＝，即＝，
∴BC＝8，
∴AB＝＝16，
∴OB＝AB＝8.

第21题解图

22. 解：(1)240，(6，1200)；【解法提示】由题意得，甲的骑行速度为：＝240(米/分)，240×(11－1)÷2＝1200(米)，则点M的坐标为(6，1200)，
(2)设MN的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，
∵y＝kx＋b(k≠0)的图象过点M(6，1200)、N(11，0)，
∴，解得，
∴直线MN的解析式为：y＝－240x＋2640，
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝－240x＋2640；
(3)4或6或8.【解法提示】设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20＝60(米/分)，∵AB＝1200，AC＝1020，∴BC＝1200－1020＝180，分5种情况：①当0＜x≤3时，1020－240x＝180－60x，解得x＝＞3，此种情况不符合题意；②当3＜x＜－1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，∴1020－240x＝60x－180，解得x＝4；③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240(x－1)－1020＝60x－180，x＝6此种情况不符合题意；④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60－180＝180(米)，即x＝6时两人距C地的路程相等，⑤当x＞6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180－[240(x－1)－1200]＝60x－180，x＝6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240(x－1)－1200－180＝60x－180，解得x＝8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时，两人距C地的路程相等．
23. (1)解：45°，△ABC，△ADC；【解法提示】由翻折的性质可知，∠DAF＝∠FAC，∠BAE＝∠EAC.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC，△ADC为等腰三角形．∵∠BAD＝∠DAF＋∠FAC＋∠BAE＋∠EAC，∴∠BAD＝2(∠FAC＋∠EAC)．∵∠EAF＝∠FAC＋∠EAC，∴∠EAF＝∠BAD＝×90°＝45°.
(2)解：PQ＝DQ＋BP；【解法提示】如解图①，将△ADQ顺时针旋转90°得到△ABQ′， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°＝∠ABC＝∠D，∴∠ABQ′＋∠ABC＝180°，∴Q′，B，C三点共线．由旋转的性质可得：AQ＝AQ′，DQ＝BQ′∠DAQ＝∠BAQ′.由(1)中结论可得∠PAQ＝45°.∴∠BAP＋∠DAQ＝45°，∴∠BAQ′＋∠BAP＝45°，∴∠PAQ＝∠PAQ′.∴在△APQ和△APQ′中，，∴△APQ≌△APQ′.∴PQ＝PQ′.∵PQ′＝BQ′＋BP，∴PQ＝DQ＋BP.

第23题解图①
(3)解：；【解法提示】∵BD，AC为正方形ABCD的对角线，∴AC＝AB.∴∠ABM＝∠ACQ＝45°，∠BAC＝45°.∵∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝45°－∠PAC，∠CAQ＝45°－∠PAC.∴∠BAM＝∠CAQ.∴△ABM∽△ACQ.∴＝＝.
(4)证明：如解图②，将△ADN绕点D顺时针旋转90°得到△ABN′，连接MN′，
由(2)中的结论可证△AMN′≌△AMN.
∴MN＝MN′.∵∠D＝45°，∠ABD＝45°.
根据旋转的性质可得：∠D＝∠ABN′＝45°，DN＝BN′.
∴∠MBN′＝∠ABD＋∠ABN′＝90°.
∴在Rt△MBN′中有BM2＋BN′2＝MN′2.
∴BM2＋DN2＝MN2.

第23题解图②

24. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－＝2，
∴a＝－，
∴y＝－x2＋2x＋c，
∵OA＝1，且点A在x轴负半轴上，
∴A(－1，0)，
将点A(－1，0)代入y＝－x2＋2x＋c得，－－2＋c＝0，解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋；
(2)2；【解法提示】y＝－x2＋2x＋化成顶点式为y＝－(x－2)2＋，
则顶点D的坐标为D(2，)，当x＝0时，y＝，即C(0，)，则抛物线上C，D两点之间的距离是＝2.
(3)如解图，过点E作x轴的垂线，交BC于点F，

第24题解图

∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴B(5，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将点B(5，0)，C(0，)代入得：，解得，
则直线BC的解析式为y＝－x＋，
设点E的坐标为E(t，－t2＋2t＋)，则0 ∴EF＝－t2＋2t＋－(－t＋)＝－t2＋t，
∴S△BCE＝S△CEF＋S△BEF＝t(－t2＋t)＋(5－t)(－t2＋t)，
＝－(t－)2＋，
由二次函数的性质得：在0 即△BCE面积的最大值为；
(3)点Q的坐标为(7，4)或(－3，－)或(3，－)或(3，4)．
【解法提示】设点P的坐标为P(2，m)，由题意，分以下三种情况：
①当BC为矩形BCPQ的边时，则CP⊥BC，
设直线CP的解析式为y＝2x＋n，
将点C(0，)代入得，n＝，
则直线CP的解析式为y＝2x＋，
将点P(2，m)代入得，m＝2×2＋＝，即P(2，)，
∴将点C先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P，
∵四边形BCPQ是矩形，
∴点C平移至点P的方式与点B平移至点Q的方式相同，
∵B(5，0)，
∴Q(5＋2，0＋4)，即Q(7，4)；
②当BC为矩形BCQP的边时，则BP⊥BC，
同(4)①的方法可得：点Q的坐标为Q(－3，－)；
③当BC为矩形BPCQ的对角线时，则BP⊥CP，
∴CP2＋BP2＝BC2，
即(2－0)2＋(m－)2＋(2－5)2＋(m－0)2＝(5－0)2＋(0－)2，
解得m＝4或m＝－，
∴P(2，4)或P(2，－)，
当点P的坐标为P(2，4)时，
则将点P先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点C，
∵四边形BPCQ是矩形，
∴点P平移至点C的方式与点B平移至点Q的方式相同，
∴Q(5－2，0－)，即Q(3，－)；
同理可得：当点P的坐标为P(2，－)时，点Q的坐标为Q(3，4)，
综上所述，点Q的坐标为(7，4)或(－3，－)或(3，－)或(3，4)．