2021年湖北省鄂州市中考数学试卷

这是一份2021年湖北省鄂州市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）（2021•鄂州）实数6的相反数等于（ ）
A．﹣6B．6C．±6D．16
2．（3分）（2021•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a＝a3B．5a﹣4a＝1C．a6÷a3＝a2D．（2a）3＝6a3
3．（3分）（2021•鄂州）“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）（2021•鄂州）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）（2021•鄂州）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（3分）（2021•鄂州）已知a1为实数，规定运算：a2＝1-1a1，a3＝1-1a2，a4＝1-1a3，a5＝1-1a4，…，an＝1-1an-1．按上述方法计算：当a1＝3时，a2021的值等于（ ）
A．-23B．13C．-12D．23
7．（3分）（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＜3C．x＞2D．x＞3
8．（3分）（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．（4-7）米C．2米D．（4+7）米
9．（3分）（2021•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）（2021•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是（ ）
A．3B．33C．334D．332
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）（2021•鄂州）计算：9= ．
12．（3分）（2021•鄂州）“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2．这组数据的中位数是 ．
13．（3分）（2021•鄂州）已知实数a、b满足a-2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2= ．
14．（3分）（2021•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 ．
15．（3分）（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y=12x（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 ．
16．（3分）（2021•鄂州）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝42，则线段AB的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23题每题10分，24题12分，共计72分）
17．（8分）（2021•鄂州）先化简，再求值：x2-9x-1÷x2+3xx-1+4x，其中x＝2．
18．（8分）（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：
根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 ，请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．
19．（8分）（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若AGOG=23，AE＝4，求BC的长．
20．（8分）（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行42km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
21．（8分）（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
22．（10分）（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC=12，DE＝2，求线段EC的长．
23．（10分）（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝25×5=10；13+13=213×13=23；0.4+0.4＝20.4×0.4=0.8；15+5＞215×5=2；0.2+3.2＞20.2×3.2=1.6；12+18＞212×18=12．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（a-b）2≥0，
∴①当且仅当a-b=0，即a＝b时，a﹣2ab+b＝0，∴a+b＝2ab；
②当a-b≠0，即a≠b时，a﹣2ab+b＞0，∴a+b＞2ab．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2ab成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+1x（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y=1x-3+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
24．（12分）（2021•鄂州）如图，直线y=-32x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）（2021•鄂州）实数6的相反数等于（ ）
A．﹣6B．6C．±6D．16
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：实数6的相反数是：﹣6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）（2021•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a＝a3B．5a﹣4a＝1C．a6÷a3＝a2D．（2a）3＝6a3
【分析】直接利用合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a＝a3，故此选项符合题意；
B、5a﹣4a＝a，故此选项不合题意；
C、a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
D、（2a）3＝8a3，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）（2021•鄂州）“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4．（3分）（2021•鄂州）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的定义即可直接选出答案．
【解答】解：正方体的主视图是正方形，
故A选项不合题意，
圆柱的主视图是长方形，
故B选项不合题意，
圆锥的主视图是三角形，
故C选项符合题意，
球的主视图是圆，
故D选项不合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查三视图的概念，要牢记常见的几种几何体的三视图，尤其是圆锥和圆柱的三视图．
5．（3分）（2021•鄂州）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】由作法得OD＝OC，DO＝DE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD＝∠ODC＝70°，∠DEO＝∠DOE＝40°，然后利用三角形外角性质计算∠CDE的度数．
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=12（180°﹣∠COD）=12×（180°﹣40°）＝70°，
∵DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，
∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．（3分）（2021•鄂州）已知a1为实数，规定运算：a2＝1-1a1，a3＝1-1a2，a4＝1-1a3，a5＝1-1a4，…，an＝1-1an-1．按上述方法计算：当a1＝3时，a2021的值等于（ ）
A．-23B．13C．-12D．23
【分析】化简前几个数，得到an以三个数为一组，不断循环，因为2021÷3＝，所以a2021＝a2，再代数求值即可．
【解答】解：a1＝a1，
a2＝1-1a1，
a3＝1-11-1a1=1-a1a1-1=-1a1-1=11-a1，
a4＝1﹣（1﹣a1）＝a1，
∴an以三个数为一组，不断循环，
∵2021÷3＝，
∴a2021＝1-1a1=1-13=23，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减法，探索规律，通过计算找到规律是解题的关键．
7．（3分）（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＜3C．x＞2D．x＞3
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
8．（3分）（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．（4-7）米C．2米D．（4+7）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD=12AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD=12AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD=OA2-AD2=42-32=7（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4-7）米，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
9．（3分）（2021•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由已知条件得出：a＜0，-b2a=1，c＞0，a﹣b+c＝0，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
①∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵b＝﹣2a，
∴4a+2b+c＝4a+2×（﹣2a）+c＝4a﹣4a+c＝c＞0．
故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．
∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．
故③正确；
④∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n），
∴当y＝n时，x＝﹣3或5．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征．利用图象求出a，b，c的范围，以及将特殊值的代入得到特殊的式子是解题的关键．
10．（3分）（2021•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是（ ）
A．3B．33C．334D．332
【分析】取AC中点O，连接OP，BO，由勾股定理的逆定理可求∠APC＝90°，可得点P在以AC为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BP≥BO﹣OP，当点P在线段BO上时，BP有最小值，由锐角三角函数可求∠BOC＝60°，即可求解．
【解答】解：取AC中点O，连接OP，BO，
∵PA2+PC2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的圆上运动，
在△BPO中，BP≥BO﹣OP，
∴当点P在线段BO上时，BP有最小值，
∵点O是AC的中点，∠APC＝90°，
∴PO＝AO＝CO=3，
∵tan∠BOC=COBC=33，
∴∠BOC＝60°，
∴△COP是等边三角形，
∴S△COP=34OC2=34×3=334，
∵OA＝OC，
∴△ACP的面积＝2S△COP=332，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，找到BP最小值时，点P的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）（2021•鄂州）计算：9= 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义求出9即可．
【解答】解：9=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，是基础题型，比较简单．
12．（3分）（2021•鄂州）“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2．这组数据的中位数是 2 ．
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为：1，2，2，2，3，3，
所以这组数据的中位数为2+22=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）（2021•鄂州）已知实数a、b满足a-2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2= 23 ．
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将1x1+1x2变形为x1+x2x1x2，整体代入即可求得．
【解答】解：∵实数a、b满足a-2+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=-23，
故答案为：-23．
【点评】本题考查了非负数的性质，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
14．（3分）（2021•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 （2，2） ．
【分析】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．
∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△AEC和△CFB中，
∠AEC=∠CFB∠ACE=∠BAC=CB，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），
∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2，
∴B（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（3分）（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y=12x（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 8 ．
【分析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC＝6，S△BOC=12k，又S△AOB＝S△APB＝2，所以S△AOC﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值．
【解答】
解：连接OA、OB，
∵AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴S△AOB＝S△APB，
∵S△APB＝2，
∴S△AOB＝2，
由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△AOC＝6，S△BOC=12k，
∴6-12k=2，
解得：k＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用平行线转化△PAB的面积为△OAB的面积是解决问题的关键．
16．（3分）（2021•鄂州）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝42，则线段AB的长为 226 ．
【分析】过点C作CE⊥CD交AD于E，判断出∠ACE＝∠BCD，进而利用SAS判断出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，进而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，
∴∠ECD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
BC与AD的交点记作点F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFC+∠CAE＝90°，
∵∠AFC＝∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DFB+∠CBD＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD，CE＝CD，
在Rt△DCE中，CE＝CD＝42，
∴DE=2CD=2×42=8，
∵BD＝2，
∴AE＝2，
∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB=AD2+BD2=102+22=226，
故答案为226．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23题每题10分，24题12分，共计72分）
17．（8分）（2021•鄂州）先化简，再求值：x2-9x-1÷x2+3xx-1+4x，其中x＝2．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式=(x-3)(x+3)x-1×x-1x(x+3)+4x=x+1x，
当x＝2时，原式=32．
【点评】本题考查分式的化简求值，关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：
根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 40 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 36° ，请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．
【分析】（1）由“良好”的学生人数除以所占百分比求出胡老师共抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲学生被选到的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）胡老师共抽取的学生人数为：20÷50%＝40（名），
则扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为：360°×440=36°，
“合格”的学生人数为：40﹣4﹣20﹣4＝12（名），
故答案为：40，36°，
补全条形统计图如下：
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲学生被选到的结果有6种，
∴甲学生被选到的概率为612=12．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及条形统计图和扇形统计图，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若AGOG=23，AE＝4，求BC的长．
【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四边形的性质，求证BE∥DF，AD∥BC即可判断四边形BEDF的形状；
（2）设AG＝2a，通过已知条件即可推出AGGC的值，再通过求证△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的长．
【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵AGOG=23，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴AEBC=AGGC=14，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，根据题干条件熟练应用平行四边形的判定定理以及利用相似三角形的相似比去求线段的长是解题的关键．
20．（8分）（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行42km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
【分析】（1）根据题意得到∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，求得AD＝BD＝4，得到∠PBD＝60°，由BD＝4，求得PD=43，于是得到结论；
（2）过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，求得∠PBE＝60°，得到BE＝4，PE=43，根据BC＝12，于是得到结论．
【解答】解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，
∵∠DAB＝45°，AB=42，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴PD=43，
∴PA＝（4+43）（km）；
（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，PE=43，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝47（km）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
21．（8分）（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
【分析】（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240，根据二次函数的性质求出利润的最大值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
依题意得：840=160k+b960=190k+b，
解得：k=4b=200，
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+200；
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，
依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x2+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，
∵﹣4＜0，
∴当x＜260时，W随x的增大而增大，
由题意知：x≤240，
∴当x＝240时，W最大，最大值为﹣4（240﹣260）2+270400＝268800（元），
答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【点评】本题考查二次函数在实际生活中的应用以及用待定系数法求一次函数的解析式，关键是根据题意列出二次函数的解析式．
22．（10分）（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC=12，DE＝2，求线段EC的长．
【分析】（1）根据题意先得出AB切⊙O于点D，⊙O与AC边相切于点D，根据切线长定理即可得出AB＝AD；
（2）根据题意作出辅助线BD，根据角之间的互余关系推出∠EBD＝∠EDC，再根据正切函数的定义以及相似三角形的性质推出各边之间的关系，列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB，
又∵AB经过半径⊙O的外端点B，
∴AB切⊙O于点D，
又∵⊙O与AC边相切于点D，
∴AB＝AD．
（2）解：如图，
连接BD，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE+∠ADB＝90°，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
又∵tan∠EDC=12，
∴tan∠EBD=12，
即DEBD=12，
∵DE＝2，
∴BD＝4，BE=25，
又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴CEDC=DCBC=DEBD=12，
设CE＝x，则DC＝2x，
∴(2x)2=x(x+25)，
∴x1＝0（舍去），x2=253，
即线段EC的长为253．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，解此类型题目应充分数形结合，通常利用相关的辅助线构造相似三角形求解问题．
23．（10分）（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝25×5=10；13+13=213×13=23；0.4+0.4＝20.4×0.4=0.8；15+5＞215×5=2；0.2+3.2＞20.2×3.2=1.6；12+18＞212×18=12．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（a-b）2≥0，
∴①当且仅当a-b=0，即a＝b时，a﹣2ab+b＝0，∴a+b＝2ab；
②当a-b≠0，即a≠b时，a﹣2ab+b＞0，∴a+b＞2ab．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2ab成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+1x（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y=1x-3+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
【分析】猜想运用：将x和1x分别看成猜想发现中的a和b，即可求出答案；
变式探究：将函数y=1x-3+x变形为：y=1x-3+(x-3)+3，然后结合猜想运用的结论解题；
拓展应用：设隔离房间的长和宽分别为x、y，结合周长为63列出一个方程，结合面积和“若a＞0，b＞0，则a+b≥2ab成立（当且仅当a＝b时等号成立）”求出最大面积S和对应的x、y．
【解答】解：
猜想运用：∵x＞0，
∴x+1x≥2x⋅1x，
∴y≥2，
∴当x=1x时，ymin＝2，
此时x2＝1，
只取x＝1，
即x＝1时，函数y的最小值为2．
变式探究：
∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
∴y=1x-3+x=1x-3+(x-3)+3≥21x-3⋅(x-3)+3≥5，
∴当1x-3=x-3时，ymin＝5，
此时（x﹣3）2＝1，
∴x1＝4，x2＝2（舍去）
即x＝4时，函数y的最小值为5．
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9x+12y＝63，
即：3x+4y＝21，
∵3x＞0，4y＞0
∴3x+4y≥23x⋅4y，
即：21≥212xy，
整理得：xy≤14716，
即：S≤14716，
∴当3x＝4y时Smax=14716
此时x=72，y=218，y=218
即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S的最大值为14716．
【点评】本题主要考查学生对数字的分析和计算能力，同时第（2）问中还考查了学生的整体思想的运用．在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a＝b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件．
24．（12分）（2021•鄂州）如图，直线y=-32x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由中点坐标公式可求点P坐标；
（2）过点P作PF⊥OA于F，由折叠的性质可得∠OQP=12∠OQC=45°，可得QF＝PF＝2，即可求解；
（3）①先求出顶点C的坐标为（a，a+1），可得点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，即可求解；
②作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，利用待定系数法求出QC的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）∵直线y=-32x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴点A（0，6），点B（4，0），
∵点P是线段AB中点，
∴点P（2，3）；
（2）过点P作PF⊥OA于F，
∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°，
∴∠OQP=12∠OQC=45°，OQ＝QE，
∴QF＝PF，
∵点P（2，3），
∴QF＝PF＝2，OF＝3，
∴OQ＝5，
∵点A（0，6），
∴AO＝6，
∴AQ＝6﹣5＝1，
即AQ的长为1；
（3）①y＝a（x2﹣2ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）2+a+1，
∴顶点C的坐标为（a，a+1），
∴点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，
∵∠OQE＝90°，OQ＝5，
∴当y＝5时，x＝4，
又∵点P（2，3）在直线y＝x+1上，
∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜4；
②存在点C使|CQ﹣CE|最大，
理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°，
∴点E（5，5），
如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，
设直线QC的解析式为y＝kx+5，
∴6＝4k+5，
∴k=14，
∴直线QC的解析式为y=14x+5，
联立方程组可得y=x+1y=14x+5，
解得：x=163y=193，
∴点C坐标为(163，193)．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法可求解析式，轴对称的性质等知识，求出点C所在直线解析式是解题的关键．