2021年云南省大理州中考数学一模测试卷3

2021年云南省大理州中考数学一模测试卷3

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1. 截至北京时间年月日时分，全球新冠肺炎确诊病例已超万例，达例．将数字““用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为

A.
B.
C.
D.

3. 的值为

A.  B.  C.  D.

4. 我们知道：，，，，观察下面的一列数，，，，，，，将这些书拍成如图的形式，根据其规律猜想：第行第个数是

A.  B.  C.  D.

5. 荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图尚不完整根据图中信息，下列结论错误的是

A. 本次抽样调查的样本容量是
B. 扇形图中的为
C. 样本中选择公共交通出行的有人
D. 若“五一”期间到荆州观光的游客有万人，则选择自驾方式出行的有万人

6. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术是中国古代的数学专著，下面这道题是九章算术中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出钱，则多了钱；如果每人出钱，则少了钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，物品价格为钱，可列方程组为

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 计算 ______ ．
10. 函数中，自变量的取值范围是__________．
11. 如图，中，，，是的平分线，于点，交于，则的度数为______
    
    
     

12. 如图，是六边形的一个内角．若，则的度数为_________．
     

13. 已知的方程 有两个不相等的实数根，那么的取值范围为______ ．
14. 如图，点为原点，的半径为，点的坐标为，动点在上，以为边作等边顺时针，则线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）

15. 计算
    ；

．


 

16. 已知，如图，在三角形中，是中线，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    延长到点，使，连接，当三角形满足条件______ 时，四边形是菱形？请证明．
    
     

17. 年伊始，伴随着气温的降低和新型冠状病毒的变异，疫情防控的压力越来越大某中学针对此情况，决定加强学生们对新型冠状病毒的认识，组织八、九年级全体学生参加了一次防疫知识测试现从八年级和九年级中各随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行整理、分析，过程如下：
    【收集数据】
    八年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    九年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    【整理数据】整理以上数据，得到测试成绩的频数分布表．

【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．

填空： ______ ， ______ ， ______ ．
结合如表中的统计量，你认为哪个年级的学生防疫知识掌握得较好？请说明理由．
该校八、九年级共有名学生，请你估计八、九年级防疫知识测试成绩不低于分的学生人数．
 

18. 为顺利通过“国家文明城市”验收，市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的倍，若甲、乙两工程队合作只需天完成．
    甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
    市政府决定由甲、乙共同完成此项工程．若甲工程队每天的工程费用是万元，乙工程队每天的工程费用是万元，若工程费用不超过万元，则甲工程队最多工作多少天？
    
    
     

19. 箱子里有瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这瓶牛奶中不放回地任意抽取瓶．
    请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
    求抽出的瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，已知抛物线交轴于、两点点在点的左侧交轴于点．
    
    若求的长度；
    若，，是对称轴右侧抛物线上的点．当时，求点坐标；
    如图当时．点在轴负半轴上点在点下方，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，作轴于若试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．
    
    
    
    
     
22. 某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：”如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠””乙旅行社说：”包括校长在内全部按全票价的折优惠即按全票价的收费”，若全票价为元，
    设学生数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费建立表达式；
    你认为选择哪家旅行社比较划算？为什么？
    
    
    
    
    
    
     

23. 阅读理解：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：
    垂美四边形的两组对边的平方和相等．
    已知：如图，四边形是垂美四边形，对角线、相交于点．
    求证：
    证明：四边形是垂美四边形
    ，
    ，
    由勾股定理得，，
    ，
    ．
    拓展探究：
    如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
    如图，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，试猜想四边形的形状，并说明理由；
    问题解决：
    如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，求长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由左视图可得长方体的高为，
由俯视图可得长方体的长为，
主视图表现长方体的长和高，
主视图的面积为．
故选B．
左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长高即为主视图的面积．
考查主视图的面积的求法，根据俯视图和左视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
先利用积的乘方得到原式，然后根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【解答】
解：

．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：行个数，
行个数，
行个数，
行个数，

行应有个数
到第行一共有
．
第行第个数的绝对值是．
又是偶数，
故第行第个数是；
故选：．
先求出行有多少个数，再加就等于第行第三个数是多少．然后根据奇偶性来决定负正．
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．结合条形统计图与扇形统计图，求出样本人数，进而进行解答．
【解答】
解：、本次抽样调查的样本容量是，正确；
B、扇形图中的为，正确；
C、样本中选择公共交通出行的有人，正确；
D、若“五一”期间到荆州观光的游客有万人，则选择自驾方式出行的有万人，错误；
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得．
故选：．
利用圆锥的底面半径为，母线长为，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设点，，
轴，
点纵坐标为，且点在反比例函数图象上，
点坐标，
．
故选：．
设点，，可得点坐标，即可求的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设点，，利用字母表示的长度和线段上的高是本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
 

10.【答案】．
 

【解析】根据二次根式的意义，有，
解可，
故自变量的取值范围是．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
直接利用三角形的内角和定理得出度数，再结合角平分线的定义、平行线的性质分析得出的度数即可得出答案．
此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质、角平分线的定义，正确得出的度数是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了多边形内角和公式的应用，首先根据多边形的内角和公式求出六边形的内角和，然后再减去的度数即可．

【解答】

解：六边形的内角和为，

．

故答案为．

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图：连接，以为边作等边，

，都是等边三角形，
，，，
，且，，
≌
，
在中，，
当点在线段时，的最小值为，
的最小值为，
故答案为：
连接，以为边作等边，根据等边三角形的性质可得，，，可得，根据“”可证≌，可得，根据三角形的三边关系可得的最小值．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

15.【答案】解：原式
；

原式
．
 

【解析】分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于以及负整数指数幂的定义计算即可；
分别根据幂的乘方与积的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则化简即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，零指数幂，负整数指数幂以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】证明：在三角形中，是中线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；

 

【解析】证明：在三角形中，是中线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：满足时，四边形是菱形；理由如下：
，，
，
平行四边形时是菱形．
故答案为：．
由平行线的性质得出，由证明≌，得出对应边相等，即可得出四边形是平行四边形；
由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

17.【答案】，，
九年级学生掌握防疫知识较好，理由：
九年级的分以上人数所占百分比大于八年级，故九年级学生掌握疫情防疫知识较好；
名．
故八、九年级防疫知识测试成绩不低于分的学生人数大约有名．
 

【解析】解：八年级名学生的测试成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，
九年级名学生的测试成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
．
故答案为：，，；

根据题目中的数据，可以得到、、的值；
根据统计表中的数据，可以得到该校八、九年级中哪个年级学生掌握疫情防疫知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出八、九年级防疫知识测试成绩不低于分的学生人数．
本题考查统计图表、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需天，则乙工程队单独完成此工程需天．
由题意，得
解得：．
经检验，是原方程的根．
．
答：甲、乙两个工程队单独完成此项工程分别需天和天．
法一、设甲工程队最多工作天，乙工程队工作天．
则由题意，得
由，得，
把代入，得，
解得
因为甲工程队天能独立完成，
此时需要的工程费用为：万元万元
所以甲工程队最多可以天．
答：甲工程队最多工作天．
法二、设甲工程队最多工作天，乙工程队工作天．
则由题意，得
由，得，
把代入，得，
解得，
所以
因为，
，随的增大而减小，
当时，此时需要的工程费用为：万元万元
答：甲工程队最多工作天．
 

【解析】等量关系为：甲工效乙工效，甲乙的工效甲乙的工作时间甲乙的工作量；
设甲工程队最多工作天，乙工程队工作天．
甲天的工作量乙天的工作量；还需算出甲乙队的工程款．等量关系为：甲天的工程费用乙天的工程费用．
本题考查了工程问题，题目相对复杂．分析题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量工作效率工作时间．解决问题亦可通过函数的观点．
 

19.【答案】解：设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为，
画树状图如图所示，

由图可知，共有种等可能结果；
由树状图知，所抽取的种等可能结果中，抽出的瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有种结果，
所以抽出的瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为．
 

【解析】本题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为，画树状图可得所有等可能结果；
从所有等可能结果中找到抽出的瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
 

20.【答案】解：将代入得：，令得：，
，
，解得：或，
，．
．

将，代入得．
将代入得，
．
令得：，由可知：，．
．
．
，
．
如图所示：过点作，使，作射线交抛物线与点，过点作轴，垂足为．

，且，
，即．
，，
．
在和中
≌．
，．
点的坐标为．
设的解析式为，将点和点的坐标代入得：，解得，，
直线的解析式为．
将与联立，解得，．
点的坐标为．

，
，．
如图所示：过点作，垂足为．

，
∽．
．
，
．
点的坐标为．
将代入代入抛物线的解析式得：，
点的坐标为，则
设直线的解析式为，将点和点的坐标代入得：
解得，．
直线的解析式为．
，
直线的解析式为．
将与联立，解得点的横坐标，．
点的横坐标为．
，
∽．
，即．
，
．
 

【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了因式分解法解方程，等腰直角三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，构造等腰直角三角形，并求得点的坐标是解答问题的关键；求得点的横坐标是解答问题的关键．
将代入得：，令得：，用因式分解法求得方程的解，然后可得到点和点的坐标，故此可得到的长；
将，代入得，然后再求得点和点的坐标，从而可知，故此，过点作，取，作射线交抛物线与点，过点作轴，垂足为接下来证明≌，于是可得到点的坐标为，然后再求得的解析式，最后将与联立可求得点的坐标；
先求得点和点的坐标用含的式子表示，过点作，垂足为，然后证明∽，依据相似三角形的性质可得到点的坐标为，然后再求得点和点的坐标用含、的式子表示，接下来，再利用待定系数法求得直线的解析式，将的解析式与抛物线的解析式联立可求得点的横坐标，再证明∽，最后依据求解即可．
 

21.【答案】解：作出三角形的角平分线，，交于点，
就是所画的圆的圆心．
过做于点，以为圆心，长为半径作圆．
即为所求的圆．
 

【解析】面积最大的圆与三角形的三边都相切，圆心到三角形的三边的距离相等，那么应是三角形三条角平分线的交点，半径为到三边的距离．
 

22.【答案】解：根据题意得：
，
；

当时，即，解得：；
当时，即，解得：；
当时，即，解得：．
故当学生数为个时，甲乙旅行社收费一样；当学生数小于个时，乙旅行社便宜；当学生数大于个时，甲旅行社便宜．
 

【解析】首先理解题意，根据题意即可求得，与的关系式，注意化简；
分别从当时，当时，当时去分析，通过解一元一次方程与不等式，即可求得答案．
此题考查了一元一次方程的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意找到等量关系求得一次函数，然后根据一次函数的性质求解．
 

23.【答案】解：拓展探究：四边形是垂美四边形，
理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形．

四边形是矩形，
理由：如图，连接，
中，点为斜边的中点，
，
又等腰三角形和等腰三角形，
、，
由可得，，，
又，
，
四边形是矩形；

问题解决：
连接、，

，
，即，
在和中，，，，
≌，
，
又，
，即，
四边形是垂美四边形，
，
，，
，，，
，
．
 

【解析】拓展探究：由，即可知直线是线段的垂直平分线，据此可得；
由为斜边的中点知，结合题意得、，从而得出、，根据即可得出答案；
问题解决：连接、，证≌得，结合知，由定义得四边形是垂美四边形，根据将相关长度代入可得答案．
本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的判定等知识点．