安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测（期末）数学（理）含答案

合肥市2022年高三第一次教学质量检测

数学试题（理科）

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

第I卷（满分60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M∩N=

A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}

2.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若向量a,b为单位向量，|a-2b|=,则向量a与向量b的夹角为

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.函数y=在[－π,π]的图象大致为

5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来

一位同学。若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是

A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大

C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大

6.若sinα=,α=,则sin(α-)的值为

A.-B.-C.D.

7.若直线l:x-2y-15=0经过双曲线M:＝1的一个焦点，且与双曲线M有且仅有一

个公共点，则双曲线M的方程为

A.=1B.=1C.=1D.1

8.命题p:x∈R,ex>2x(e为自然对数的底数）；命题q:x>1,1nx+≤2,则下列命

题中，真命题是

A. (pq)B.pqC.p (q)D.(p)^q

9.若数列{an}的前n项积bn=1-n,则a,的最大值与最小值之和为

A-B.C.2D.

10.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2,∠BAD=60°,点A1在平面ABCD内的射影是AC与BD的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为

A.90°B.60°C.45°D.30°

11.椭圆E:＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆E上，ΔPF1F2的重心为

G.若ΔPF1F2的内切圆H的直径等于,且GH//F1F2,则椭圆E的离心率为

A.B.C.D.

12.若不等式ex-aln(ax-1)+1≥0对x∈恒成立（e为自然对数的底数），则实数a的最大值为

A.e+1B.eC.e2+1D.e2

第II卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．

把答案填在答题卡上的相应位置。

13.若x,y满足约束条件则x-3y的最小值为.

14.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S3=13,则a3=.

15.某学校组织建党100周年党史知识竞赛，仅有三位同学进入最后决赛．若这三位同学从A,

B,C三类试题中随机选择一类试题作答，且各自选择相互独立，则这三类试题都有同学选择的概率为.

16.某半球形容器如图①所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图②所示。

（1)小球的半径等于.

（2)若球M与这四个小球、半球面都相切，则球M的半径等于.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分）

某地积极响应“大众创业，万众创新”的号召，规划建设创新小镇，吸引人才投资兴业。下

表是自创新小镇建设以来，各年新增企业数量的有关数据：

（1)为了解这些企业在2021年被认定的企业类型，随机调查了10家企业，其中被认定为

小微企业的有8家，试估计这些企业在2021年被认定为小微企业的数量；

（2)利用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年这个创新小镇新增企业

的数量。

参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为

18.(本小题满分12分）

将函数y=6sinxcosx的图象向左平移个单位得到函数y=f(x)的图象。

（1)求f(x)的解析式，写出其单调递增区间；

（2)AMBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,B=2A,a=3,求c.

19.(本小题满分12分）

四棱锥A-BCDE中，AB=AE,CD//BE,∠BCD=90°,AD⊥CD.

（1)证明：CD=BE:

（2)若平面ABE⊥平面BCDE,AB=,BE=BC=2,M是棱AC的中点，求平面MDE与平面ABE所成角的正弦值。

20.(本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，M(xo,yo)是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点．若点M到点

的距离、点M到y轴的距离的等差中项是x0+.

（1)求抛物线E的方程；

（2)过点A(t,0)(t<0)作直线l,交以线段AO为直径的圆于点AB,交抛物线E于点C,D（点B,C在线段AD上）。问是否存在t,使点B,C恰为线段AD的两个三等分点？若存在，求出t的值及直线l的斜率；若不存在，请说明理由。

21.(本小题满分12分）

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)的导函数为f'(x).

（1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方程；

（2)若不等式af'(x)+xf(x)≤x2恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做

的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．

22.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）。以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-8psinθ+12=0.

（1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2)点P是曲线C1上的动点，过点P作直线1与曲线C2有唯一公共点Q,求|PQ|的最大值．

23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知f(x)=|x-1|+|x+a|.

（1)当a=2时，求y=f(x)与y=6所围成封闭图形的面积；

（2)若对于任意的x∈R,都存在y∈(1,+∞),使（y-1)f(x)≥y2+3成立，求a的取值范围．