11平方根（提高）知识讲解练习题

平方根（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

2.平方根的定义

　  如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

        （3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．

【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．

【答案与解析】

解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；

故a=5，b=2；

又∵2＜＜3，

∴c=2，

∴a+b+c=5+2+2=9，

∴9的平方根为±3．

【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．

举一反三：

【变式】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.

【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2互为相反数.

解：当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，

所以＝

2、为何值时，下列各式有意义？

(1)；  (2)；  (3)；  (4)．

【答案与解析】

解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．

(2)由题意可知：，所以时，有意义．

(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．

(4)由题意可知：，解得且．

所以当且时，有意义．

【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知，求的算术平方根．

【答案】

解：根据题意，得则，所以＝2，∴，

∴的算术平方根为．

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)；(2)．

【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：(1)；

(2)．

【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的.

（1）              （2）；

（3）

【答案与解析】

解：（1）∵

        ∴

        ∴

（2）∵

    ∴

    ∴＋1＝±17

   ＝16或＝－18.

 （3）∵

     ∴

     ∴

     ∴

【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】求下列等式中的：

（1）若，则＝______；    （2），则＝______；

（3）若则＝______；     （4）若，则＝______．

【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.

类型四、平方根的综合应用

5、已知、是实数，且，解关于的方程．

【答案与解析】

解：∵、是实数，，，，

∴，．

∴－3，．

把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．

【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．

举一反三：

【变式】若，求的值．

【答案】

解：由，得，，即，．

①当＝1，＝－1时，．

②当＝－1，＝－1时，．

6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【答案与解析】

解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得

      .     

       .

       .

∵ ＞0，

    ∴ .        

    ∴ 长方形纸片的长为.

    ∵ 50＞49,

∴.

    ∴ , 即长方形纸片的长大于20.

      由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,

    ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.

举一反三：

【变式】（2015春•台安县月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？

【答案】

解：设篮球场的宽为xm，那么长为m，

由题意知，

所以x2=225，

因为x为正数，

所以x==15，

又因为=900＜1000，

所以按规定在这块空地上建一个篮球场．