高考数学(文数)一轮复习练习题：2.8《函数与方程》（教师版）

www.ks5u.com第8节　函数与方程

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　D　)

(A),0    (B)-2,0    (C)   (D)0

解析:当x≤1时,则f(x)=2x-1=0,解得x=0.

当x>1时,由f(x)=1+log2 x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.

综上函数f(x)的零点只有0.

2.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间为(　B　)

(A)(0,1) (B)(1,2)   (C)(2,3) (D)(3,4)

解析:易知f(x)=ln x-在定义域(0,+∞)上是增函数,

又f(1)=-2<0,f(2)=ln 2->0,则f(1)·f(2)<0,

故f(x)的零点在区间(1,2)内.

3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　C　)

(A)(1,3) (B)(1,2) (C)(0,3) (D)(0,2)

解析:因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,

又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,

所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.

4.已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零点依次为a,b,c,则(　A　)

(A)a<b<c (B)a<c<b     (C)b<c<a (D)b<a<c

解析:令函数f(x)=2x+x+1=0,可知x<0,即a<0;

令g(x)=log2x+x+1=0,则0<x<1,即0<b<1;

令h(x)=log2x-1=0,可知x=2,即c=2.显然a<b<c.

5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(　C　)

(A) (B) (C)- (D)-

解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=f(x-λ),

因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,只有一个实根,

即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.

6.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个不同的零点,则实数k的取值范围是(　C　)

(A)(-2,2) (B)(-2,1)   (C)(0,2)    (D)(1,3)

解析:当x<0时,f(x)=x3-3x,则f′(x)=3x2-3,

令f′(x)=0,所以x=±1(舍去正根),

故f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,

又f(x)=ln(x+1)在x≥0上单调递增,则函数f(x)的图象如图所示.

f(x)极大值=f(-1)=2,且f(0)=0,故当k∈(0,2)时,y=f(x)-k有三个不同零点.

7.已知函数f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,则实数a的取值范围为(　C　)

(A)(-∞,0] (B)[1,+∞)   (C)(-∞,1) (D)(0,+∞)

解析:由题意,x≤0,F(x)=ex-x-1,有一个零点0;x>0,F(x)=x[x+(a-1)],

因为函数F(x)有2个零点,所以1-a>0,所以a<1.

故选C.

8.函数f(x)=-()x的零点个数为　　　　. 

解析:令f(x)=0,得=()x.

在平面直角坐标系中分别画出函数y=与y=()x的图象.如图所示.

由图可知两函数图象有1个交点,故f(x)的零点只有一个.

答案:1

9.已知函数f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)的零点个数是　　　　. 

解析:由y=2f2(x)-3f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=.作出y=f(x)的图象(如图).

由图象知,f(x)=0时,方程有2个实根,f(x)=时,方程有3个实根.

故y=2f2(x)-3f(x)共有5个零点.

答案:5

能力提升(时间:15分钟)

10.函数f(x)=ln x+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(　A　)

(A)(0,) (B)(,1)   (C)(1,e) (D)(e,+∞)

解析:函数f(x)=ln x+ex在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)最多只有一个零点.

f(e-3)=-3+<-3+e<0,又f()=ln +=-1>0,

所以函数f(x)=ln x+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(0,).

11.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a等于(　C　)

(A)-    (B)      (C)    (D)1

解析:因为y=x2-2x在x=1处有最小值-1,y=ex-1+e-x+1在x=1处有最小值2.

又因为f(x)有唯一的零点,所以当x=1时,f(x)有最小值f(1)=-1+2a=0,

所以a=.故选C.

12.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=()|x-1|(-1<x<3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(　B　)

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期为2.

由于f(x)为偶函数,所以f(1-x)=f(x-1)=f(x+1),

故f(x)的图象关于直线x=1对称.

又函数g(x)=()|x-1|的图象关于直线x=1对称,在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(-1,3)上的图象,如图,

由图可知四个交点的横坐标关于x=1对称,其和为2×2=4.

13.若曲线y=log2(2x-m)(x>2)上至少存在一点与直线y=x+1上的一点关于原点对称,则m的取值范围为　　　　. 

解析:因为直线y=x+1关于原点对称的直线为y=x-1.

依题意,方程log2(2x-m)=x-1在x∈(2,+∞)上有解,

则m=2x-1在x∈(2,+∞)上有解,所以m>2.

又2x-m>0在x∈(2,+∞)上恒成立,则m<(2x)min,所以m≤4.

所以实数m的取值范围为(2,4].

答案:(2,4]

14.已知函数f(x)=若方程f(x)=ax有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:在同一坐标系内,作函数y=f(x)与y=ax的图象.

当y=ax是y=ln x的切线时,设切点P(x0,y0),

因为y0=ln x0,a=(ln x)′=,所以y0=ax0=1=ln x0,x0=e,故a=.

故y=ax与y=f(x)的图象有三个交点时,0<a<.

答案:(0,)