课时训练20　直角三角形与勾股定理

课时训练(二十)　直角三角形与勾股定理

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.[2018·永州] 下列命题是真命题的是 (　　)

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.任意多边形的内角和为360°

D.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半

2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　　)

A.,,                           B.1,,

C.6,7,8                               D.2,3,4

3.[2017·陕西] 如图K20-1,两个大小形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为              (　　)

图K20-1

A.3                  B.6                 C.3                 D.

4.[2018·长沙] 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为              (　　)

A.7.5平方千米                          B.15平方千米

C.75平方千米                          D.750平方千米

5.[2017·安顺] 三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于　　　　. 

图K20-2

6.[2018·淮安] 如图K20-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是　　　　. 

7.如图K20-3,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为　　　　米(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73). 

图K20-3

8.[2018·福建A卷] 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图K20-4所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=,则CD=　　　　. 

图K20-4

9.[2017·徐州] 如图K20-5,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.

(1)线段DC=　　　　; 

(2)求线段DB的长度.

图K20-5

|拓展提升|

10.[2017·徐州] 如图K20-6,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,…,如此下去,则线段OAn的长度为　　　　. 

图K20-6

参考答案

1.D　[解析] 对角线相等的平行四边形是矩形,则选项A不正确;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,则选项B不正确;任意多边形的内角和为(n-2)·180°,则选项C不正确;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,则选项D正确.因此,本题选D.

2.B

3.A　[解析] 由题意得∠CAB=∠C'AB'=45°,△ABC≌△AB'C',∴∠CAB'=90°.由勾股定理得AB=AB'=3,∴B'C=3,故选A.

4.A　[解析] 将里换算为千米,则三角形沙田的三边长分别为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=×6×2.5=7.5(平方千米),故选A.

5.2.5　[解析] 根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=×5=2.5.

6.1.6　[解析] 连接AD,

由作法可知AD=BD,

在Rt△ACD中,设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.

由勾股定理得,CD2+AC2=AD2,

即x2+32=(5-x)2,

解得x=1.6,

故答案为1.6.

7.2.9　[解析] 首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米,再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2,代入数可得答案.

∵AM=4米,∠MAD=45°,DM⊥AM,

∴DM=4米,

∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,

∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,

∴MC2+MB2=(2MC)2,

即MC2+122=(2MC)2,∴MC=4 米,

则DC=4-4≈2.9(米).

8.-1　[解析] 过点A作AF⊥BC,垂足为点F,

∵AB=AC,∴CF=BC,

∵AB=AC=,

∴AD=BC==2,∴CF=1,

∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,

∴DF==,

∴CD=DF-CF=-1.

9.解:(1)4

(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,

∴△CAD是等边三角形,

∴CD=AC=4,∠ACD=60°,

过点D作DE⊥BC于E.

∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.

在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,

∴DE=CD=2,CE=2,∴BE=,

在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=.

10.()n　[解析] 在Rt△A1OB中,OA1==,

OA2===()2,…,

∴OAn=()n.