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第2讲 实数及其运算 （讲练）-2022年中考数学一轮复习讲练测·学案
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第2讲 实数及其运算
1、了解：算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念
2、理解：算术平方根、平方根、立方根的性质
3、会：求一个数的算术平方根、平方根、立方根，实数的分类，判断无理数
4、掌握：利用数轴表示无理数，
5、能：比较实数的大小，实数的运算，无理数的估值
1．的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
提示：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
名师点拨：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2．若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （ ）
A．12 B．10 C．8或10 D．6
【答案】B
【提示】
根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
【详解】
由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
【名师点拨】
本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
3．下列说法中错误的是（ ）
A．是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是 D．当时，没有平方根
【答案】C
【详解】
A选项中，因为“”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；
C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
4．一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【提示】
根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】
解：根据题意可得：，
解得，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了平方根的概念，正确理解一个正数的两个平方根的关系，求得a的值是关键．
5．（-）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
【答案】D
【提示】
利用平方根及立方根的定义求出x与y的值，即可确定出x+y的值．
【详解】
∵（-）2=9，9的平方根x=±3，y=4，
∴x+y=7或1．
故答案为7或1．
【名师点拨】
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
6．下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】
提示：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，
所以无理数有2个，
故选C.
名师点拨：本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
7．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A． 与 B．-4与 C．与 D．与
【答案】C
【提示】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
A、-|-2|=-2，=-2，故A错误；
B、-4=，故B错误；
C、=，只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、与不是相反数，故D错误；
故选C．
【名师点拨】
本题考查了相反数，利用了相反数的意义．
8．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数的点P应落在
A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上
【答案】B
【提示】
根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质，可得答案．
【详解】
由被开方数越大算术平方根越大，得2<<3,由不等式的性质得：-1<2-<0.故选B.
【名师点拨】
本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.
9．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【答案】B
【提示】
根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】
∵4.84<5<5.29，
∴2.2<<2.3，
∴1.2<-1<1.3，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．
10．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为
A．180 B．182 C．184 D．186
【答案】C
【详解】
由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，
可得最后一个三个数分别为：11，13，15，
∵3×5﹣1=14，；
5×7﹣3=32；
7×9﹣5=58；
∴m=13×15﹣11=184．
故选C．
一、思维导图
二、知识梳理
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， -a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3-a=-3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考点一：算术平方根的相关计算
【经典例题】（2021·山东东营·中考真题）16的算术平方根是( )
A．4 B．-4 C． D．8
【答案】A
【提示】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，∴，故选：A．
【举一反三】
变式1-1．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【提示】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵，，且
∴，
即，且∴， ∴故选：B．
【名师点拨】
本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
变式1-2．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【提示】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，∴解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
变式1-3．（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【提示】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴；故选B．
【名师点拨】
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键
考点二： 平方根的相关计算
【经典例题】（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
【答案】D
【提示】先化简，再根据平方根的地红衣求解．
【详解】解：∵=9，∴的平方根是，故选D．
【名师点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
【举一反三】
变式2-1．（2021·河北石家庄·模拟预测）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【提示】依据平方根的性质列方出求解即可．
【详解】∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，∴2a-1-a+2=0．解得：a=-1．
∴2a-1=-3．∴这个正数是9．故选：D．
【名师点拨】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的性质列出关于a的方程是解题的关键．
变式2-2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行提示，即可得出答案．
【详解】A、，正确，故该选项符合题意；
B、,错误，故该选项不合题意；
C、，错误，故该选项不合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；
故选：A．
【名师点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．
变式2-3．（2020·湖北荆门·中考真题）的平方是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【提示】先计算，然后再计算平方．
【详解】∵∴故选：D．
【名师点拨】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可．
考点三： 立方根的相关计算
【经典例题】（2020·江苏常州·中考真题）8的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．±2 D．2
【答案】D
【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D．
【举一反三】
变式3-1．（2021·四川绵阳·中考真题）下列数中，在与之间的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【提示】根据，，，，，即可得出结果．
【详解】，，，
又，，，，
故选：C．
【名师点拨】本题考查了估算无理数的大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
变式3-2．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，又∵，∴故选：C．
【名师点拨】
本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键．
考点四：无理数的判断
【经典例题】（2021·广西河池·中考真题）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．-2 B．0 C． D．3.14
【答案】C
【提示】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答．
【详解】解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意．故选：C．
【名师点拨】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【举一反三】
变式4-1．（2021·湖北荆州·中考真题）在实数，0，，中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：在实数，0，，中，无理数是，故选D．
变式4-2．（2021·湖北宜昌·中考真题）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．
【详解】解：在6，，3.1415，，0，六个数中，是无理数的有，共2个，
∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是，故选：C．
【名师点拨】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．
考点五：无理数的估值
【经典例题】（2021·辽宁营口·中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【提示】由16＜21＜25，以及算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：∵16＜21＜25，∴4＜＜5，故选B．
【名师点拨】本题主要考查估计无理数的范围，掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
【举一反三】
变式5-1．（2021·四川达州·中考真题）实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【提示】先求出的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．
【详解】解：∵，∴，∴它表示的点应位于2和3之间，所以对应点是点D，故选：D．
【名师点拨】本题考查了对无理数的估值及其在数轴上的表示，解决本题的关键是能正确估出的整数部分，本题较基础，考查了学生的基本功．
变式5-2．（2021·浙江台州·中考真题）大小在和之间的整数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【提示】先估算和的值，即可求解．
【详解】解：∵，，∴在和之间的整数只有2，这一个数，
故选：B．
变式5-3．（2021·浙江·中考真题）已知是两个连续整数，，则分别是（ ）
A． B．，0 C．0，1 D．1，2
【答案】C
【提示】先确定的范围，再利用不等式的性质确定的范围即可得到答案．
【详解】解： 故选：
【名师点拨】本题考查的是无理数的估算，掌握利用算术平方根的含义估算无理数是解题的关键．
考点六： 实数的分类
【经典例题】（2021·山东青岛·中考真题）下列各数为负分数的是（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】
解：A、-1是负整数，故本选项不符合题意；
B、是负分数，故本选项符合题意；
C、0是整数，故本选项不符合题意；
D、 是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查了负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义．
【举一反三】
变式6-1．（2021·广东广州·中考真题）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项A不符合题意；
B、−0.5是负分数，故选项B不符合题意；
C、不是负整数，故选项C不符合题意；
D、-2是负整数，符合题意．
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查了大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，本题熟记负整数的概念是解题的关键．
变式6-2．（2021·山东聊城·中考真题）下列各数中，是负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．（-1）0 D．﹣32
【答案】D
【详解】
解：A. |﹣2|=2，是正数，不符合题意，
B. （﹣）2=5，是正数，不符合题意，
C. （﹣1）0=1是正数，不符合题意，
D. ﹣32=-9是负数，符合题意，
故选D．
【名师点拨】
本本题主要考查正负数的概念，掌握乘方运算，零指数幂运算以及绝对值的意义，是解题的关键．
考点七： 实数与数轴
【经典例题】（2021·山东济南·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据数轴可得，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得，∴，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误；故选B．
【名师点拨】本题主要考查数轴及实数的运算，熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键．
【举一反三】
变式8-1．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【详解】解：∵a+b=0，∴原点在a，b的中间，如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，，故选：C．
【名师点拨】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
变式8-2．（2021·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】由数轴及题意可得，依此可排除选项．
【详解】解：由数轴及题意可得：，∴，
∴只有B选项正确，故选B．
【名师点拨】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．
变式8-3．（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【提示】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】根据数轴可得：，，且，则，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确；故选：D．
【名师点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
考点八： 比较实数的大小
【经典例题】（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．-2 B． C． D．0
【答案】B
【提示】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【详解】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，，故选：B．
【名师点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．
【举一反三】
变式9-1．（2021·辽宁鞍山·中考真题）下列实数最小的是（ ）
A．－2 B．－3.5 C．0 D．1
【答案】B
【提示】根据实数大小比较的方法进行求解即可．
【详解】解：因为，所以最小的实数是－3.5．故选：B．
【名师点拨】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．
变式9-2．（2021·贵州安顺·中考真题）在，0，1，个实数中，大于1的实数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【提示】根据实数的大小关系，即可求解．
【详解】解：在，0，1，个实数中，大于1的实数是，故选D．
【名师点拨】本题主要考查实数的大小关系，掌握≈1.414，是解题的关键．
第2讲 实数及其运算
1、了解：算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念
2、理解：算术平方根、平方根、立方根的性质
3、会：求一个数的算术平方根、平方根、立方根，实数的分类，判断无理数
4、掌握：利用数轴表示无理数，
5、能：比较实数的大小，实数的运算，无理数的估值
1．的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
提示：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
名师点拨：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2．若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （ ）
A．12 B．10 C．8或10 D．6
【答案】B
【提示】
根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
【详解】
由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
【名师点拨】
本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
3．下列说法中错误的是（ ）
A．是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是 D．当时，没有平方根
【答案】C
【详解】
A选项中，因为“”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；
C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
4．一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【提示】
根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】
解：根据题意可得：，
解得，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了平方根的概念，正确理解一个正数的两个平方根的关系，求得a的值是关键．
5．（-）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
【答案】D
【提示】
利用平方根及立方根的定义求出x与y的值，即可确定出x+y的值．
【详解】
∵（-）2=9，9的平方根x=±3，y=4，
∴x+y=7或1．
故答案为7或1．
【名师点拨】
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
6．下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】
提示：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，
所以无理数有2个，
故选C.
名师点拨：本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
7．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A． 与 B．-4与 C．与 D．与
【答案】C
【提示】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
A、-|-2|=-2，=-2，故A错误；
B、-4=，故B错误；
C、=，只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、与不是相反数，故D错误；
故选C．
【名师点拨】
本题考查了相反数，利用了相反数的意义．
8．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数的点P应落在
A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上
【答案】B
【提示】
根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质，可得答案．
【详解】
由被开方数越大算术平方根越大，得2<<3,由不等式的性质得：-1<2-<0.故选B.
【名师点拨】
本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.
9．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【答案】B
【提示】
根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】
∵4.84<5<5.29，
∴2.2<<2.3，
∴1.2<-1<1.3，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．
10．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为
A．180 B．182 C．184 D．186
【答案】C
【详解】
由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，
可得最后一个三个数分别为：11，13，15，
∵3×5﹣1=14，；
5×7﹣3=32；
7×9﹣5=58；
∴m=13×15﹣11=184．
故选C．
一、思维导图
二、知识梳理
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， -a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3-a=-3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考点一：算术平方根的相关计算
【经典例题】（2021·山东东营·中考真题）16的算术平方根是( )
A．4 B．-4 C． D．8
【答案】A
【提示】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，∴，故选：A．
【举一反三】
变式1-1．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【提示】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵，，且
∴，
即，且∴， ∴故选：B．
【名师点拨】
本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
变式1-2．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【提示】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，∴解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
变式1-3．（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【提示】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴；故选B．
【名师点拨】
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键
考点二： 平方根的相关计算
【经典例题】（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
【答案】D
【提示】先化简，再根据平方根的地红衣求解．
【详解】解：∵=9，∴的平方根是，故选D．
【名师点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
【举一反三】
变式2-1．（2021·河北石家庄·模拟预测）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【提示】依据平方根的性质列方出求解即可．
【详解】∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，∴2a-1-a+2=0．解得：a=-1．
∴2a-1=-3．∴这个正数是9．故选：D．
【名师点拨】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的性质列出关于a的方程是解题的关键．
变式2-2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行提示，即可得出答案．
【详解】A、，正确，故该选项符合题意；
B、,错误，故该选项不合题意；
C、，错误，故该选项不合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；
故选：A．
【名师点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．
变式2-3．（2020·湖北荆门·中考真题）的平方是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【提示】先计算，然后再计算平方．
【详解】∵∴故选：D．
【名师点拨】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可．
考点三： 立方根的相关计算
【经典例题】（2020·江苏常州·中考真题）8的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．±2 D．2
【答案】D
【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D．
【举一反三】
变式3-1．（2021·四川绵阳·中考真题）下列数中，在与之间的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【提示】根据，，，，，即可得出结果．
【详解】，，，
又，，，，
故选：C．
【名师点拨】本题考查了估算无理数的大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
变式3-2．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，又∵，∴故选：C．
【名师点拨】
本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键．
考点四：无理数的判断
【经典例题】（2021·广西河池·中考真题）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．-2 B．0 C． D．3.14
【答案】C
【提示】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答．
【详解】解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意．故选：C．
【名师点拨】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【举一反三】
变式4-1．（2021·湖北荆州·中考真题）在实数，0，，中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：在实数，0，，中，无理数是，故选D．
变式4-2．（2021·湖北宜昌·中考真题）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．
【详解】解：在6，，3.1415，，0，六个数中，是无理数的有，共2个，
∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是，故选：C．
【名师点拨】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．
考点五：无理数的估值
【经典例题】（2021·辽宁营口·中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【提示】由16＜21＜25，以及算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：∵16＜21＜25，∴4＜＜5，故选B．
【名师点拨】本题主要考查估计无理数的范围，掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
【举一反三】
变式5-1．（2021·四川达州·中考真题）实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【提示】先求出的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．
【详解】解：∵，∴，∴它表示的点应位于2和3之间，所以对应点是点D，故选：D．
【名师点拨】本题考查了对无理数的估值及其在数轴上的表示，解决本题的关键是能正确估出的整数部分，本题较基础，考查了学生的基本功．
变式5-2．（2021·浙江台州·中考真题）大小在和之间的整数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【提示】先估算和的值，即可求解．
【详解】解：∵，，∴在和之间的整数只有2，这一个数，
故选：B．
变式5-3．（2021·浙江·中考真题）已知是两个连续整数，，则分别是（ ）
A． B．，0 C．0，1 D．1，2
【答案】C
【提示】先确定的范围，再利用不等式的性质确定的范围即可得到答案．
【详解】解： 故选：
【名师点拨】本题考查的是无理数的估算，掌握利用算术平方根的含义估算无理数是解题的关键．
考点六： 实数的分类
【经典例题】（2021·山东青岛·中考真题）下列各数为负分数的是（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】
解：A、-1是负整数，故本选项不符合题意；
B、是负分数，故本选项符合题意；
C、0是整数，故本选项不符合题意；
D、 是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查了负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义．
【举一反三】
变式6-1．（2021·广东广州·中考真题）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项A不符合题意；
B、−0.5是负分数，故选项B不符合题意；
C、不是负整数，故选项C不符合题意；
D、-2是负整数，符合题意．
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查了大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，本题熟记负整数的概念是解题的关键．
变式6-2．（2021·山东聊城·中考真题）下列各数中，是负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．（-1）0 D．﹣32
【答案】D
【详解】
解：A. |﹣2|=2，是正数，不符合题意，
B. （﹣）2=5，是正数，不符合题意，
C. （﹣1）0=1是正数，不符合题意，
D. ﹣32=-9是负数，符合题意，
故选D．
【名师点拨】
本本题主要考查正负数的概念，掌握乘方运算，零指数幂运算以及绝对值的意义，是解题的关键．
考点七： 实数与数轴
【经典例题】（2021·山东济南·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据数轴可得，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得，∴，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误；故选B．
【名师点拨】本题主要考查数轴及实数的运算，熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键．
【举一反三】
变式8-1．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【详解】解：∵a+b=0，∴原点在a，b的中间，如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，，故选：C．
【名师点拨】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
变式8-2．（2021·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】由数轴及题意可得，依此可排除选项．
【详解】解：由数轴及题意可得：，∴，
∴只有B选项正确，故选B．
【名师点拨】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．
变式8-3．（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【提示】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】根据数轴可得：，，且，则，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确；故选：D．
【名师点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
考点八： 比较实数的大小
【经典例题】（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．-2 B． C． D．0
【答案】B
【提示】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【详解】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，，故选：B．
【名师点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．
【举一反三】
变式9-1．（2021·辽宁鞍山·中考真题）下列实数最小的是（ ）
A．－2 B．－3.5 C．0 D．1
【答案】B
【提示】根据实数大小比较的方法进行求解即可．
【详解】解：因为，所以最小的实数是－3.5．故选：B．
【名师点拨】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．
变式9-2．（2021·贵州安顺·中考真题）在，0，1，个实数中，大于1的实数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【提示】根据实数的大小关系，即可求解．
【详解】解：在，0，1，个实数中，大于1的实数是，故选D．
【名师点拨】本题主要考查实数的大小关系，掌握≈1.414，是解题的关键．
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