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2021-2022学年湖北省黄石市阳新县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖北省黄石市阳新县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省黄石市阳新县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣2，﹣1
2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+1）2，则这个平移过程是（ ）
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
4．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．（3分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠BOD＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．130° B．120° C．60° D．150°
6．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（3，4） D．（﹣4，﹣3）
8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0
9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，11～14每小题3分，15～18每小题3分。共28分）
11．（3分）若m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣2m2+5的值是 ．
12．（3分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O的半径是 cm．
13．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝ ．
14．（3分）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
15．（4分）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ．
16．（4分）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
17．（4分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B在第二象限，AB＝，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转60°得到线段OD，连接AD，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D，B两点，则k的值为 ．
18．（4分）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若PA＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）先化简，再求值：，其中，a满足a2﹣4＝0．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
21．（8分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
22．（9分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
23．（8分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若该公司的日销售利润不低于2250元，应该如何确定销售价格？
24．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），且过点D（2，﹣3）点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
（3）若OD与抛物线的对称轴相交于点E．求线段PE的最小值．
2021-2022学年湖北省黄石市阳新县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣2，﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．
【解答】解：将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式为：2x2﹣3x﹣1＝0，其中二次项系数、一次项系数分别是2，﹣3．
故选：A．
2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+1）2，则这个平移过程是（ ）
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+1）2，则这个平移过程正确的是向左平移了1个单位，
故选：C．
4．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
5．（3分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠BOD＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．130° B．120° C．60° D．150°
【分析】根据圆周角定理和已知条件求出∠A＝BOD＝60°，根据圆内接四边形得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝BOD＝60°（圆周角定理），
∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
6．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据＝得：
＝
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（3，4） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据题意可得，点P和点P的对应点Q关于原点对称，据此求出Q的坐标即可．
【解答】解：∵将点P（4，3）绕原点O旋转180°后，得到的对应点Q，
∴点Q和点P关于原点对称，
∵点P的坐标为（4，3），
∴点Q的坐标是（﹣4，﹣3）．
故选：D．
8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，
∴，
解得：k≤1且k≠0．
故选：C．
9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c可知，抛物线开口向上，
∵A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、
∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为2＜x＜2.5，
∴y1＞y3，
∵点E到对称轴的距离小于2﹣，点D到对称轴的距离大于4﹣2.5＝1.5，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质、求线段和的最小值等知识依次对各结论进行分析求解．
【解答】解：①∵y＝﹣x2+2x+m+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根，
故①正确；
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，
∴，
解得：﹣1＜m＜2，
故②正确；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，
即y＝﹣（x+1）2+m，
故③正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
如图，作点B关于y轴的对称点B'（﹣1，3），作C关于x轴的对称点C'（2，﹣2），
连接B'C'，与x轴、y轴分别交于D、E点，则BE+ED+CD+BC＝B'E+ED+C'D+BC，
根据两点之间线段最短，知B'C'最短，而BC的长度一定，此时四边形BCDE的周长最小，最小为+，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，11～14每小题3分，15～18每小题3分。共28分）
11．（3分）若m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣2m2+5的值是 3 ．
【分析】先由方程的解的含义，得出m2﹣3m﹣1＝0，变形得m2﹣3m＝1，再将要求的代数式提取公因式﹣2，然后将m2﹣3m＝1代入，计算即可．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴6m﹣2m2+5
＝﹣2（m2﹣3m）+5
＝﹣2×1+5
＝3．
故答案为：3．
12．（3分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O的半径是 5 cm．
【分析】连接OA，先由垂径定理得AD＝BD＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵半径OC⊥AB，AB＝8cm，
∴AD＝BD＝AB＝4（cm），
设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5cm，
故答案为：5．
13．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝ 2 ．
【分析】用韦达定理求解即可．
【解答】解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣＝2，
故答案为2．
14．（3分）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 18π cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18πcm2．
故答案为18π．
15．（4分）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ．
【分析】先求出y＝﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∵当y＝﹣1时，x＝﹣3，
∴当函数值y＜﹣1时，﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
16．（4分）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣2≤a＜4 ．
【分析】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥﹣2，从而得出选项．
【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故答案为：﹣2≤a＜4．
17．（4分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B在第二象限，AB＝，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转60°得到线段OD，连接AD，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D，B两点，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】作DE⊥OA于点E，设OA＝m，则B（﹣m，），由旋转性质知OP＝OA＝m、∠POQ＝60°，据此求得OE＝ODcos60°＝m，DE＝OPsin60°＝m，即D（﹣m，m），代入解析式解之可得．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，
∵AB＝，
设OA＝m，
∴B（﹣m，），
由旋转性质知OA＝OD＝m、∠AOD＝60°，
则OE＝ODcos60°＝m，DE＝OPsin60°＝m，
即D（﹣m，m），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，B两点，
∴k＝﹣m＝﹣m×m，
解得：m＝4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
18．（4分）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若PA＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据旋转的性质可得：△AEP是等腰直角三角形，则∠AED＝45°，所以∠BEP＝135°﹣45°＝90°，可作判断；
②作垂线段BF，根据等腰直角△BEF的性质可得BF的长；
③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
④根据勾股定理可得AB2，从而得正方形的面积．
【解答】解：①∵将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，
∴∠EAP＝90°，AE＝AP，∠APD＝∠AEB，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，
∴∠BEP＝∠AEB﹣∠AED＝∠APD﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥EP；
故①正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP＝2，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝PD＝2
∴BF＝＝，即点B到直线AE的距离为；
故②正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝2，
∴EP＝2，
Rt△ABM中，AB＝＝＝，
∴S正方形ABCD＝AB2＝16+4，
故④正确；
③S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝（16+4）﹣＝2+2．
故③不正确．
所以本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）先化简，再求值：，其中，a满足a2﹣4＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程求出a的值，结合分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝•
＝﹣
＝﹣，
∵a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a≠±3且a≠2，
∴a＝﹣2，
则原式＝﹣＝﹣．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可证DE∥BC；
（2）由旋转的性质可得AE＝BD＝7，即可求△ADE的周长．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴AE＝BD＝7，
∵△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，
∴△ADE的周长＝7+8＝15．
21．（8分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上，此问得解；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合x1+x2+x1x2＝4可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，
解得：k≤．
综上所述，k的取值范围为k≤．
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
22．（9分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 60 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他学习方式的人数，求出C学习方式的人数，从而补全统计图；
（2）用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（人），
选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
故答案为：60；
（2）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，其中抽取两人为一男一女有8种结果．
则抽到一男一女的概率为＝．
23．（8分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若该公司的日销售利润不低于2250元，应该如何确定销售价格？
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润等于2250元列出方程，解方程求出x的值，根据函数的性质结合图象，得出w≥2250时x的取值范围即可．
【解答】解：（1）通过观察表中数据可知p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30），
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵﹣30＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值3000，
∴这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）由（2）得，﹣30（x﹣40）2+3000＝2250，
解得：x1＝35，x2＝45，
∵抛物线开口向下，
∴当w≥2250时，35≤x≤45，
∴该公司的日销售利润不低于2250元，销售价应该为35≤x≤45．
24．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD、BD，证∠ODF＝90°即可；
（2）根据OB＝BF＝OD，得出∠F＝30°，根据三角函数求出FB长度即可求出半径；
（3）根据（2）中数据求出BE，FD的长度，再根据阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积计算阴影部分的面积即可．
【解答】解：（1）连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBD+∠DBO＝90°，
∴∠EDB+∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠DBO＝∠BDO，
∴∠EDB+∠BDO＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OB＝2OD，
∴sinF＝＝，
∴∠F＝30°，
∴OB＝BF＝EF•cosF＝4×cos30°＝2，
即⊙O的半径为2；
（3）由（2）知，OD＝2，∠BOD＝90°﹣∠F＝60°，
∴DF＝OD•tan∠BOD＝2×＝6，
∵EF＝4，∠F＝30°，
∴BE＝EF•sin30°＝2，
∵阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积，
∴S阴＝S△ODF﹣S△FEB﹣S扇形BOD
＝OD•DF﹣BF•BE﹣π•OD2
＝
＝4﹣2π，
∴阴影部分的面积为4﹣2π．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），且过点D（2，﹣3）点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
（3）若OD与抛物线的对称轴相交于点E．求线段PE的最小值．
【分析】（1）设出抛物线的解析式，用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出直线OD的解析式，联立直线OD和抛物线的解析式求出m的取值范围，设出直线PD的解析式，用待定系数法可得直线PD的解析式，求出OE，再根据S△POD＝OE（xD﹣xP）得出面积的表达式，根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，可得E（1，﹣），设P（t，t2﹣2t﹣3），即得PE2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t﹣3+）2＝（t2﹣2t﹣1）2+，即知t2﹣2t﹣1＝0时，PE2的最小值为，故线段PE最小值是．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），且过点D（2，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线OD的解析式为y＝sx，
把D（2，﹣3）代入得﹣3＝2s，解得s＝﹣，
∴直线OD的解析式为y＝﹣x，
由得2x2﹣x﹣6＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣，
设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵点P在直线OD的下方，
∴﹣＜m＜2，
设直线PD的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∴，
解得，
∴直线PD的解析式为：y＝mx﹣2m﹣3；
如图：
在y＝mx﹣2m﹣3中，令x＝0得y＝﹣2m﹣3，
∴OF＝3+2m，
∴S△POD＝OF（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△POD取最大值为；
（3）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
由（2）知直线OD为y＝﹣x，
在y＝﹣x中，令x＝1得y＝﹣，
∴E（1，﹣），
设P（t，t2﹣2t﹣3），
∴PE2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t﹣3+）2
＝t2﹣2t+1+（t2﹣2t）2﹣3（t2﹣2t）+
＝（t2﹣2t）2﹣2（t2﹣2t）+
＝（t2﹣2t﹣1）2+，
∵（t2﹣2t﹣1）2≥0，
∴t2﹣2t﹣1＝0时，PE2的最小值为，
此时线段PE最小值是．
2021-2022学年湖北省黄石市阳新县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣2，﹣1
2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+1）2，则这个平移过程是（ ）
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
4．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．（3分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠BOD＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．130° B．120° C．60° D．150°
6．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（3，4） D．（﹣4，﹣3）
8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0
9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，11～14每小题3分，15～18每小题3分。共28分）
11．（3分）若m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣2m2+5的值是 ．
12．（3分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O的半径是 cm．
13．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝ ．
14．（3分）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
15．（4分）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ．
16．（4分）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
17．（4分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B在第二象限，AB＝，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转60°得到线段OD，连接AD，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D，B两点，则k的值为 ．
18．（4分）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若PA＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）先化简，再求值：，其中，a满足a2﹣4＝0．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
21．（8分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
22．（9分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
23．（8分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若该公司的日销售利润不低于2250元，应该如何确定销售价格？
24．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），且过点D（2，﹣3）点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
（3）若OD与抛物线的对称轴相交于点E．求线段PE的最小值．
2021-2022学年湖北省黄石市阳新县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣2，﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．
【解答】解：将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式为：2x2﹣3x﹣1＝0，其中二次项系数、一次项系数分别是2，﹣3．
故选：A．
2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+1）2，则这个平移过程是（ ）
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+1）2，则这个平移过程正确的是向左平移了1个单位，
故选：C．
4．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
5．（3分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠BOD＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．130° B．120° C．60° D．150°
【分析】根据圆周角定理和已知条件求出∠A＝BOD＝60°，根据圆内接四边形得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝BOD＝60°（圆周角定理），
∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
6．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据＝得：
＝
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（3，4） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据题意可得，点P和点P的对应点Q关于原点对称，据此求出Q的坐标即可．
【解答】解：∵将点P（4，3）绕原点O旋转180°后，得到的对应点Q，
∴点Q和点P关于原点对称，
∵点P的坐标为（4，3），
∴点Q的坐标是（﹣4，﹣3）．
故选：D．
8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，
∴，
解得：k≤1且k≠0．
故选：C．
9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c可知，抛物线开口向上，
∵A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、
∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为2＜x＜2.5，
∴y1＞y3，
∵点E到对称轴的距离小于2﹣，点D到对称轴的距离大于4﹣2.5＝1.5，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质、求线段和的最小值等知识依次对各结论进行分析求解．
【解答】解：①∵y＝﹣x2+2x+m+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根，
故①正确；
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，
∴，
解得：﹣1＜m＜2，
故②正确；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，
即y＝﹣（x+1）2+m，
故③正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
如图，作点B关于y轴的对称点B'（﹣1，3），作C关于x轴的对称点C'（2，﹣2），
连接B'C'，与x轴、y轴分别交于D、E点，则BE+ED+CD+BC＝B'E+ED+C'D+BC，
根据两点之间线段最短，知B'C'最短，而BC的长度一定，此时四边形BCDE的周长最小，最小为+，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，11～14每小题3分，15～18每小题3分。共28分）
11．（3分）若m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣2m2+5的值是 3 ．
【分析】先由方程的解的含义，得出m2﹣3m﹣1＝0，变形得m2﹣3m＝1，再将要求的代数式提取公因式﹣2，然后将m2﹣3m＝1代入，计算即可．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴6m﹣2m2+5
＝﹣2（m2﹣3m）+5
＝﹣2×1+5
＝3．
故答案为：3．
12．（3分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O的半径是 5 cm．
【分析】连接OA，先由垂径定理得AD＝BD＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵半径OC⊥AB，AB＝8cm，
∴AD＝BD＝AB＝4（cm），
设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5cm，
故答案为：5．
13．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝ 2 ．
【分析】用韦达定理求解即可．
【解答】解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣＝2，
故答案为2．
14．（3分）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 18π cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18πcm2．
故答案为18π．
15．（4分）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ．
【分析】先求出y＝﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∵当y＝﹣1时，x＝﹣3，
∴当函数值y＜﹣1时，﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
16．（4分）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣2≤a＜4 ．
【分析】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥﹣2，从而得出选项．
【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故答案为：﹣2≤a＜4．
17．（4分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B在第二象限，AB＝，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转60°得到线段OD，连接AD，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D，B两点，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】作DE⊥OA于点E，设OA＝m，则B（﹣m，），由旋转性质知OP＝OA＝m、∠POQ＝60°，据此求得OE＝ODcos60°＝m，DE＝OPsin60°＝m，即D（﹣m，m），代入解析式解之可得．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，
∵AB＝，
设OA＝m，
∴B（﹣m，），
由旋转性质知OA＝OD＝m、∠AOD＝60°，
则OE＝ODcos60°＝m，DE＝OPsin60°＝m，
即D（﹣m，m），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，B两点，
∴k＝﹣m＝﹣m×m，
解得：m＝4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
18．（4分）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若PA＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据旋转的性质可得：△AEP是等腰直角三角形，则∠AED＝45°，所以∠BEP＝135°﹣45°＝90°，可作判断；
②作垂线段BF，根据等腰直角△BEF的性质可得BF的长；
③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
④根据勾股定理可得AB2，从而得正方形的面积．
【解答】解：①∵将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，
∴∠EAP＝90°，AE＝AP，∠APD＝∠AEB，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，
∴∠BEP＝∠AEB﹣∠AED＝∠APD﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥EP；
故①正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP＝2，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝PD＝2
∴BF＝＝，即点B到直线AE的距离为；
故②正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝2，
∴EP＝2，
Rt△ABM中，AB＝＝＝，
∴S正方形ABCD＝AB2＝16+4，
故④正确；
③S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝（16+4）﹣＝2+2．
故③不正确．
所以本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）先化简，再求值：，其中，a满足a2﹣4＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程求出a的值，结合分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝•
＝﹣
＝﹣，
∵a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a≠±3且a≠2，
∴a＝﹣2，
则原式＝﹣＝﹣．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可证DE∥BC；
（2）由旋转的性质可得AE＝BD＝7，即可求△ADE的周长．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴AE＝BD＝7，
∵△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，
∴△ADE的周长＝7+8＝15．
21．（8分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上，此问得解；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合x1+x2+x1x2＝4可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，
解得：k≤．
综上所述，k的取值范围为k≤．
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
22．（9分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 60 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他学习方式的人数，求出C学习方式的人数，从而补全统计图；
（2）用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（人），
选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
故答案为：60；
（2）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，其中抽取两人为一男一女有8种结果．
则抽到一男一女的概率为＝．
23．（8分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若该公司的日销售利润不低于2250元，应该如何确定销售价格？
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润等于2250元列出方程，解方程求出x的值，根据函数的性质结合图象，得出w≥2250时x的取值范围即可．
【解答】解：（1）通过观察表中数据可知p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30），
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵﹣30＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值3000，
∴这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）由（2）得，﹣30（x﹣40）2+3000＝2250，
解得：x1＝35，x2＝45，
∵抛物线开口向下，
∴当w≥2250时，35≤x≤45，
∴该公司的日销售利润不低于2250元，销售价应该为35≤x≤45．
24．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD、BD，证∠ODF＝90°即可；
（2）根据OB＝BF＝OD，得出∠F＝30°，根据三角函数求出FB长度即可求出半径；
（3）根据（2）中数据求出BE，FD的长度，再根据阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积计算阴影部分的面积即可．
【解答】解：（1）连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBD+∠DBO＝90°，
∴∠EDB+∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠DBO＝∠BDO，
∴∠EDB+∠BDO＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OB＝2OD，
∴sinF＝＝，
∴∠F＝30°，
∴OB＝BF＝EF•cosF＝4×cos30°＝2，
即⊙O的半径为2；
（3）由（2）知，OD＝2，∠BOD＝90°﹣∠F＝60°，
∴DF＝OD•tan∠BOD＝2×＝6，
∵EF＝4，∠F＝30°，
∴BE＝EF•sin30°＝2，
∵阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积，
∴S阴＝S△ODF﹣S△FEB﹣S扇形BOD
＝OD•DF﹣BF•BE﹣π•OD2
＝
＝4﹣2π，
∴阴影部分的面积为4﹣2π．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），且过点D（2，﹣3）点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
（3）若OD与抛物线的对称轴相交于点E．求线段PE的最小值．
【分析】（1）设出抛物线的解析式，用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出直线OD的解析式，联立直线OD和抛物线的解析式求出m的取值范围，设出直线PD的解析式，用待定系数法可得直线PD的解析式，求出OE，再根据S△POD＝OE（xD﹣xP）得出面积的表达式，根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，可得E（1，﹣），设P（t，t2﹣2t﹣3），即得PE2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t﹣3+）2＝（t2﹣2t﹣1）2+，即知t2﹣2t﹣1＝0时，PE2的最小值为，故线段PE最小值是．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），且过点D（2，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线OD的解析式为y＝sx，
把D（2，﹣3）代入得﹣3＝2s，解得s＝﹣，
∴直线OD的解析式为y＝﹣x，
由得2x2﹣x﹣6＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣，
设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵点P在直线OD的下方，
∴﹣＜m＜2，
设直线PD的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∴，
解得，
∴直线PD的解析式为：y＝mx﹣2m﹣3；
如图：
在y＝mx﹣2m﹣3中，令x＝0得y＝﹣2m﹣3，
∴OF＝3+2m，
∴S△POD＝OF（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△POD取最大值为；
（3）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
由（2）知直线OD为y＝﹣x，
在y＝﹣x中，令x＝1得y＝﹣，
∴E（1，﹣），
设P（t，t2﹣2t﹣3），
∴PE2＝（t﹣1）2+（t2﹣2t﹣3+）2
＝t2﹣2t+1+（t2﹣2t）2﹣3（t2﹣2t）+
＝（t2﹣2t）2﹣2（t2﹣2t）+
＝（t2﹣2t﹣1）2+，
∵（t2﹣2t﹣1）2≥0，
∴t2﹣2t﹣1＝0时，PE2的最小值为，
此时线段PE最小值是．
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