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2021-2022学年湖北省襄阳市襄城区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2021-2022学年湖北省襄阳市襄城区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了四象限，则k的取值范围是，简答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年湖北省襄阳市襄城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答
1．（3分）一元二次方程x2=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（6，﹣7）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣7） B．（6，7） C．（﹣6，7） D．（6，﹣7）
4．（3分）如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
5．（3分）从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
10．（3分）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2； ④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上
11．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）=0的一个根是0，则m的值是 ．
12．（3分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 个
13．（3分）用配方法把二次函数y=2x2﹣3x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式为
14．（3分）如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=58°，则∠BOC= ．
15．（3分）如图所示，点A在双曲线y=上，点A的坐标为（，3），点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积是
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 秒时，△CPQ与△ABC相似．
三、简答题：（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．
18．（6分）“时裳”服装店现有A、B、C三种品牌的衣服和D、E两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A品牌衣服被选中的概率是多少？
19．（6分）如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少cm？
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
21．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB=5，BC=13，求CE的长．
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣3x+900．
（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC边长的动点（不与B，C重合），点E是AC上的某点并且满足∠ADE=∠C．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD的长为x，请用含x的代数式表示AE的长；
（3）当（2）中的AE最短时，求△ADE的面积．
25．（10分）如图，已知：抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，过点A的直线y=kx﹣1与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE=2DE时，求点P坐标；
（3）是否存在点P使得△BEC为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明你的理由
2017-2018学年湖北省襄阳市襄城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答
1．（3分）一元二次方程x2=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵a=1，b=0，c=0，
∴△=b2﹣4ac=02﹣4×1×0=0，
所以原方程有两个相等的实数．
故选：A．
2．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），
∴9a+3b+8=2，
∴3a+b=﹣2，
∴3a+2b+8=﹣2+8=6．
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（6，﹣7）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣7） B．（6，7） C．（﹣6，7） D．（6，﹣7）
【解答】解：点A（6，﹣7）关于原点对称的点的坐标为：（﹣6，7）．
故选：C．
4．（3分）如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，
∴OE==1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP=OE=．
故选：B．[来源:学科网ZXXK]
5．（3分）从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在，0，π，，6中，只有0、和6是有理数，
∴抽到有理数的概率是；
故选：C．
6．（3分）若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1
【解答】解：∵双曲线位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+DB=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=（）2=．
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
【解答】解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．
故选：A．
10．（3分）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2； ④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上
11．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）=0的一个根是0，则m的值是 ﹣3 ．
【解答】解：把x=0代入方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）=0，
得m2﹣9=0，
解得：m=±3，
∵m﹣3≠0，
∴m=﹣3，
故答案是：﹣3．
12．（3分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 12 个
【解答】解：：设白球有x个，根据题意列出方程，
=，
解得x=12．
故答案为：12．
13．（3分）用配方法把二次函数y=2x2﹣3x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式为 y=2（x﹣）2﹣
【解答】解：y=2x2﹣3x+1
=2（x2﹣x）+1
=2[（x﹣）2﹣]+1
=2（x﹣）2﹣．
故答案为：y=2（x﹣）2﹣．
14．（3分）如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=58°，则∠BOC= 119° ．
【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=58°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=122°，[来源:学科网]
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×122°=119°．
故答案为：119°
15．（3分）如图所示，点A在双曲线y=上，点A的坐标为（，3），点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积是 2
【解答】解：∵A（，3），AB∥x轴，点B在双曲线y=上，
∴B（1，3），
∴AB=1﹣=，AD=3，
∴S=AB•AD=×3=2．
故答案为：2
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或 秒时，△CPQ与△ABC相似．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
三、简答题：（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．
【解答】解：原式=[+]÷
=•y（x+y）
=，
当x=+2，y=﹣2时，
原式===．
18．（6分）“时裳”服装店现有A、B、C三种品牌的衣服和D、E两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A品牌衣服被选中的概率是多少？
【解答】解：画树状图得：
；
（2）∵共6种选购方案，其中A品牌衣服被选中的方案有2种，
∴A品牌衣服被选中的概率是．[来源:学科网]
19．（6分）如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少cm？
【解答】解：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm．依题意，得
（20﹣2x）（30﹣3x）=81%×20×30．
解之，得
x1=1，x2=19，
当x=19时，2x=38＞20，不符题意，舍去．
所以x=1．
答：横彩条的宽为2 cm，竖彩条的宽为3 cm．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
【解答】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
21．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，
∴4=，得m=4，
∴y=，
∴﹣2=，得n=﹣2，
∴点A（﹣2，﹣2），
∴，得，
∴一函数解析式为y=2x+2，
即反比例函数解析式为y=，一函数解析式为y=2x+2；
（2）当x=0时，y=2×0+2=2，
∴点C的坐标是（0，2），
∵点A（﹣2，﹣2），点C（0，2），
∴△AOC的面积是：．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB=5，BC=13，求CE的长．
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
（2）解：∵∠BAC=90°．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=8，AC=12．
在Rt△DFC中，
设DF=DE=r，则
r2+64=（12﹣r）2，
解得：r=．
∴CE=．
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣3x+900．
（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
【解答】解：（1）当x=180时，y=﹣3x+900=﹣3×180+900=360，
360×（165﹣120）=16200，即政府这个月为他承担的总差价为16200元．
（2）依题意得，
w=（x﹣120）（﹣3x+900）=﹣3（x﹣210）2+24300
∵a=﹣3＜0，
∴当x=210时，w有最大值24300．
即当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元．
（3）由题意得：﹣3（x﹣210）2+24300=19500，
解得：x1=250，x2=170．
∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当170≤x≤250时，w≥19500．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（165﹣120）×（﹣3x+900）=﹣135x+40500．
∵k=﹣135＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=250时，p有最小值=6750．
即销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC边长的动点（不与B，C重合），点E是AC上的某点并且满足∠ADE=∠C．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD的长为x，请用含x的代数式表示AE的长；
（3）当（2）中的AE最短时，求△ADE的面积．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=∠C，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴=，
∴=，
∴CE=x（6﹣x），
∴AE=5﹣x（6﹣x）=x2﹣x+5．
（3）∵AE=x2﹣x+5=（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴x=3时，AE的值最小，此时BD=CD=3，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AD==4，
∴S△ADC=×AD×CD=6，
∵此时AE=，EC=5﹣=，
∴AE：EC=16：9，
∴S△ADE=6×=．
25．（10分）如图，已知：抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，过点A的直线y=kx﹣1与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE=2DE时，求点P坐标；
（3）是否存在点P使得△BEC为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明你的理由
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵直线y=kx﹣1过点A，
∴﹣k﹣1=0，k=﹣1，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），
则PE=|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|=|x2﹣2x﹣3|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|x2﹣2x﹣3|=2|x+1|，
当x2﹣2x﹣3=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=5，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（5，6）；
当x2﹣2x﹣3=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=1，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（1，﹣6）；
综上可知P点坐标为（5，6）或（1，﹣6）；
（3）解方程组，得，，
∴C（3，﹣4）．
设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），且B（4，0），C（3，﹣4），
∴BE==，CE==|x﹣3|，BC==，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则=|x﹣3|，解得x=，此时P点坐标为（，﹣）；
当BE=BC时，则=，解得x=0或x=3，当x=3时E点与C点重合，不合题意舍去，此时P点坐标为（0，﹣4）；
当CE=BC时，则|x﹣3|=时，解得x=，此时P点坐标为（，）或（，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，﹣）或（0，﹣4）或（，）或（，4）．
2017-2018学年湖北省襄阳市襄城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答
1．（3分）一元二次方程x2=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（6，﹣7）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣7） B．（6，7） C．（﹣6，7） D．（6，﹣7）
4．（3分）如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
5．（3分）从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
10．（3分）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2； ④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上
11．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）=0的一个根是0，则m的值是 ．
12．（3分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 个
13．（3分）用配方法把二次函数y=2x2﹣3x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式为
14．（3分）如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=58°，则∠BOC= ．
15．（3分）如图所示，点A在双曲线y=上，点A的坐标为（，3），点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积是
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 秒时，△CPQ与△ABC相似．
三、简答题：（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．
18．（6分）“时裳”服装店现有A、B、C三种品牌的衣服和D、E两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A品牌衣服被选中的概率是多少？
19．（6分）如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少cm？
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
21．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB=5，BC=13，求CE的长．
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣3x+900．
（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC边长的动点（不与B，C重合），点E是AC上的某点并且满足∠ADE=∠C．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD的长为x，请用含x的代数式表示AE的长；
（3）当（2）中的AE最短时，求△ADE的面积．
25．（10分）如图，已知：抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，过点A的直线y=kx﹣1与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE=2DE时，求点P坐标；
（3）是否存在点P使得△BEC为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明你的理由
2017-2018学年湖北省襄阳市襄城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答
1．（3分）一元二次方程x2=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵a=1，b=0，c=0，
∴△=b2﹣4ac=02﹣4×1×0=0，
所以原方程有两个相等的实数．
故选：A．
2．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），
∴9a+3b+8=2，
∴3a+b=﹣2，
∴3a+2b+8=﹣2+8=6．
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（6，﹣7）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣7） B．（6，7） C．（﹣6，7） D．（6，﹣7）
【解答】解：点A（6，﹣7）关于原点对称的点的坐标为：（﹣6，7）．
故选：C．
4．（3分）如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，
∴OE==1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP=OE=．
故选：B．[来源:学科网ZXXK]
5．（3分）从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在，0，π，，6中，只有0、和6是有理数，
∴抽到有理数的概率是；
故选：C．
6．（3分）若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1
【解答】解：∵双曲线位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+DB=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=（）2=．
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
【解答】解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．
故选：A．
10．（3分）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2； ④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上
11．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）=0的一个根是0，则m的值是 ﹣3 ．
【解答】解：把x=0代入方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）=0，
得m2﹣9=0，
解得：m=±3，
∵m﹣3≠0，
∴m=﹣3，
故答案是：﹣3．
12．（3分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 12 个
【解答】解：：设白球有x个，根据题意列出方程，
=，
解得x=12．
故答案为：12．
13．（3分）用配方法把二次函数y=2x2﹣3x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式为 y=2（x﹣）2﹣
【解答】解：y=2x2﹣3x+1
=2（x2﹣x）+1
=2[（x﹣）2﹣]+1
=2（x﹣）2﹣．
故答案为：y=2（x﹣）2﹣．
14．（3分）如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=58°，则∠BOC= 119° ．
【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=58°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=122°，[来源:学科网]
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×122°=119°．
故答案为：119°
15．（3分）如图所示，点A在双曲线y=上，点A的坐标为（，3），点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积是 2
【解答】解：∵A（，3），AB∥x轴，点B在双曲线y=上，
∴B（1，3），
∴AB=1﹣=，AD=3，
∴S=AB•AD=×3=2．
故答案为：2
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或 秒时，△CPQ与△ABC相似．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
三、简答题：（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．
【解答】解：原式=[+]÷
=•y（x+y）
=，
当x=+2，y=﹣2时，
原式===．
18．（6分）“时裳”服装店现有A、B、C三种品牌的衣服和D、E两种品牌的裤子，温馨家现要从服装店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A品牌衣服被选中的概率是多少？
【解答】解：画树状图得：
；
（2）∵共6种选购方案，其中A品牌衣服被选中的方案有2种，
∴A品牌衣服被选中的概率是．[来源:学科网]
19．（6分）如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少cm？
【解答】解：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm．依题意，得
（20﹣2x）（30﹣3x）=81%×20×30．
解之，得
x1=1，x2=19，
当x=19时，2x=38＞20，不符题意，舍去．
所以x=1．
答：横彩条的宽为2 cm，竖彩条的宽为3 cm．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
【解答】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
21．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，
∴4=，得m=4，
∴y=，
∴﹣2=，得n=﹣2，
∴点A（﹣2，﹣2），
∴，得，
∴一函数解析式为y=2x+2，
即反比例函数解析式为y=，一函数解析式为y=2x+2；
（2）当x=0时，y=2×0+2=2，
∴点C的坐标是（0，2），
∵点A（﹣2，﹣2），点C（0，2），
∴△AOC的面积是：．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB=5，BC=13，求CE的长．
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
（2）解：∵∠BAC=90°．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=8，AC=12．
在Rt△DFC中，
设DF=DE=r，则
r2+64=（12﹣r）2，
解得：r=．
∴CE=．
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣3x+900．
（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
【解答】解：（1）当x=180时，y=﹣3x+900=﹣3×180+900=360，
360×（165﹣120）=16200，即政府这个月为他承担的总差价为16200元．
（2）依题意得，
w=（x﹣120）（﹣3x+900）=﹣3（x﹣210）2+24300
∵a=﹣3＜0，
∴当x=210时，w有最大值24300．
即当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元．
（3）由题意得：﹣3（x﹣210）2+24300=19500，
解得：x1=250，x2=170．
∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当170≤x≤250时，w≥19500．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（165﹣120）×（﹣3x+900）=﹣135x+40500．
∵k=﹣135＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=250时，p有最小值=6750．
即销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC边长的动点（不与B，C重合），点E是AC上的某点并且满足∠ADE=∠C．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD的长为x，请用含x的代数式表示AE的长；
（3）当（2）中的AE最短时，求△ADE的面积．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=∠C，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴=，
∴=，
∴CE=x（6﹣x），
∴AE=5﹣x（6﹣x）=x2﹣x+5．
（3）∵AE=x2﹣x+5=（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴x=3时，AE的值最小，此时BD=CD=3，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AD==4，
∴S△ADC=×AD×CD=6，
∵此时AE=，EC=5﹣=，
∴AE：EC=16：9，
∴S△ADE=6×=．
25．（10分）如图，已知：抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，过点A的直线y=kx﹣1与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PE=2DE时，求点P坐标；
（3）是否存在点P使得△BEC为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明你的理由
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵直线y=kx﹣1过点A，
∴﹣k﹣1=0，k=﹣1，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），
则PE=|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|=|x2﹣2x﹣3|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|x2﹣2x﹣3|=2|x+1|，
当x2﹣2x﹣3=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=5，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（5，6）；
当x2﹣2x﹣3=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=1，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（1，﹣6）；
综上可知P点坐标为（5，6）或（1，﹣6）；
（3）解方程组，得，，
∴C（3，﹣4）．
设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），且B（4，0），C（3，﹣4），
∴BE==，CE==|x﹣3|，BC==，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则=|x﹣3|，解得x=，此时P点坐标为（，﹣）；
当BE=BC时，则=，解得x=0或x=3，当x=3时E点与C点重合，不合题意舍去，此时P点坐标为（0，﹣4）；
当CE=BC时，则|x﹣3|=时，解得x=，此时P点坐标为（，）或（，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，﹣）或（0，﹣4）或（，）或（，4）．
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