2022高考数学一轮复习专题49 数列（多选题部分）（解析卷）

专题49   数 列（多选题部分）

一、题型选讲

题型一 、数列中的项与和的问题

例1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】等比数列的公比，

和异号， ，故A正确；

但不能确定和的大小关系；故B不正确；

和异号，且且，

和中至少有一个数是负数，

又 ， ，故D正确，

一定是负数，即 ，故C不正确；

故选：AD

例2、（2020·鱼台县第一中学高三月考）设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．、均为的最大值

【答案】ABD

【解析】由得，即，
又∵，
，
，故B正确；
同理由，得，
，故A正确；
对C，，即，可得，

由结论，显然C是错误的；
与均为的最大值，故D正确；
故选：ABD.

例3、．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C．当时， D．当时，

【答案】ABC

【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：

，即，即，

对于选项A：由得，可得，故选项A正确；

对于选项B：，故选项B正确；

对于选项C：，若，则，故选项C正确；

对于选项D：当时，，则，因为，所以，，

所以，故选项D不正确，

例4、在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是　　

A．此人第二天走了九十六里路 

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 

C．此人第三天走的路程占全程的 

D．此人后三天共走了42里路

【答案】ABD

【解析：设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，

由等比数列前项和公式得，解得，

在中，，此人第二天走了九十六里路，故正确；

在中，，，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故正确；

在中，，，故错误；

在中，，故正确．

故选：．

题型二、数列的综合性问题

例5、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )

A．S2019<S2020 B．

C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值

【答案】AB

【解析】当时，，不成立；

当时，，不成立；

故，且，故，正确；

，故正确；

是数列中的最大值，错误；

故选：

例6、（2020·德州跃华学校高中部高三月考）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】因为数列满足，，

；

；

；

数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；

故选：．

例7、（2020·浙江开学考试）已知数列满足：，且，则下列说法正确的是（    ）

A．存在，使得为等差数列 B．当时，

C．当时， D．当时，是等比数列

【答案】ABD

【解析】当，两边同时取倒数可得为等差数列；当时，，可知；

当时，求可判断；当时，求作比较即可.

详解：

当，两边同时取倒数可得，，所以为等差数列，A正确；

当时，，，可知，B正确；

当时， ，C错误

当时，，D.正确.

故选:ABD

例8、（2020·博兴县第三中学高三月考）记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有<H，则称数列{an}为“和有界数列”.下列说法正确的是（    ）

A．若{an}是等差数列，且公差d=0，则{an}是“和有界数列”

B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差d=0

C．若{an}是等比数列，且公比<l，则{an}是“和有界数列”

D．若{an}是等比数列，且{an}是“和有界数列”，则{an}的公比<l

【答案】BC

【解析】是等差数列，公差为，则，

A．，则，若，则时，，{an}不是“和有界数列”，A错；

B．若{an}是“和有界数列”，则由知，即，B正确；

C．{an}是等比数列，公比是，则，若，则时，，根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；

D．若，，则，∴，{an}是“和有界数列”，D错．

故选：BC．

二、达标训练

1、（2020·江苏南通·高三期中）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．与均为的最大值

【答案】BD

【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A错误；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：BD.

2、（2020徐州期末）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（　　）

A．若S5＝S9，则必有S14＝0 

B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 

C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 

D．若S6＞S7，则必有S5＞S6

【答案】ABC

【解析】：根据题意，依次分析选项：

对于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，则a7+a8＝0，S140，A正确；

对于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；

对于C，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；

对于D，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；

故选：ABC．

3、（2020·山东日照·高三月考）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”为（    ）

A．2 B．7 C．3 D．8

【答案】AB

【解析】因为，所以

，，，，，，，，

当，，∴，此时数列单调递增，，，，，

所以数列的“谷值点”为2，7.

故选：AB

4、（2019秋•宁阳县校级月考）设是数列的前项和，且，，则　　

A． B． 

C．数列为等差数列 D．

【答案】BCD

【解析：是数列的前项和，且，，则，

整理得（常数），

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故正确

所以，

故：．

所以当时，

（首项不符合通项），

故故正确

所以，故正确．

故选：．

5、设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列选项中成立的　　

A． B． 

C． D．与均为的最大值

【答案】ABD

【解析：根据题意，依次分析选项：

对于，若，则，故正确；

对于，由可得，则，故正确；

对于，由是各项为正数的等比数列且可得数列单调递减，则有，故错误；

对于，结合，，可得正确．

故选：．

6、（2020·浙江开学考试）已知数集具有性质P：对任意的，或成立，则下列说法错误的是（    ）

A．若，则成等差数列

B．若，则成等比数列

C．若，则成等差数列

D．若，则成等比数列

【答案】ABC

【解析】证明：因为具有性质P，

所以或中至少有一个属于，
由于，所以，故，
从而，故；
因为，所以，故，
由具有性质可知，
又因为，
所以，

当时，

有，

即，
因为，
所以，故，
由具有性质可知，
由，得，且，
所以，
所以：，
即是首项为1，公比为的等比数列.

故选：ABC