2022高考数学一轮复习专题47 立体几何部分（多选题）（解析卷）

专题47  立体几何部分（多选题）

一、题型选讲

题型一 、判定定理和性质定理的考查

例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若则

B．若则

C．若，，则

D．若，则

【答案】ACD

【解析】

若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；

若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；

垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；

若，则，又，则，故D对；

故选：ACD．

例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列说法正确的是(    )

A．若且则

B．若则

C．若则

D．若则

【答案】BC

【解析】A. 若且则可以，异面，或相交，故错误；

B. 若则，又故，正确；

C. 若则或，又故，正确；

D. 若则，则或，错误；

故选：

题型二、翻折问题的考查

例3、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是(     )

A． B．存在一个位置，使为等边三角形

C．与不可能垂直 D．直线与平面所成的角的最大值为

【答案】ABD

【解析】A选项，因为菱形中，与相交于点，所以，；

将沿折起，使顶点至点，折起过程中，始终与垂直，因此，

又，由线面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正确；

B选项，因为折起的过程中，边长度不变，因此；若为等边三角形，则；设菱形的边长为，因为，则，即，又，所以，即二面角的余弦值为时，为等边三角形；故B正确；

C选项，，，由A选项知，，，

所以，因此，

同B选项，设菱形的边长为，易得，，

所以，显然当时，，即；故C错误；

D选项，同BC选项，设菱形的边长为，则，，，由几何体直观图可知，当平面，直线与平面所成的角最大，为，易知.

故选：ABD.

例4、如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（　　）

A．异面直线与所成的角可以为

B．二面角可以为

C．直线与平面所成的角为定值

D．线段的长为定值

【答案】BCD

【解析】对于选项A：若与所成的角为，因为，，

可设，所以，，所以，

所以，，，面，面，

又面，所以，与为等边三角形矛盾，故错误；

对于选项B：因为，所以，所以当点与点E重合时，二面角等于，故正确；

取DC的中点为N，EC的中点为P，因为B、N、P在同一条直线上，所以面面，因为与平面共面，所以直线面，所以直线与平面所成的角为定值，故正确；

对于D：，，

所以，所以线段的长为定值.

例5、如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（    ）

A．平面平面 B．

C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为

【答案】ABD

【解析】：如图，连接，则，又，，

所以中有，所以.

对于A.由题意可得，又，，平面

所以平面，所以，

又，，平面，所以平面，

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面，故A正确；

对于B.由A得平面，又，由三垂线定理可得（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；

对于C.由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角，易得，故C不正确；

对于D. 由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，易得，，故D正确.

题型三、知识的综合考查

例6、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】作图在四棱锥中：

由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：在中

即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：BC

例7、（2020届山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ABD

【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；

对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；

对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；

对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确

故选：ABD

例8、已知正方体的棱长为，点分别棱的中点，下列结论正确的是（    ）

A．平面

B．四面体的体积等于

C．与平面所成角的正切值为

D．平面

【答案】AC

【解析】A：在面、面上的射影、，而，所以，且，则平面，正确.

B：如下图示，知：，错误.

C：过G作GG’⊥CD于G’，H为GG’的中点，则有FG//AH，连接AG’，所以与平面所成角α =∠HAG’，有，正确.

D：若H为AD中点，可将平移至EH，显然面，即不与面平行，错误.

例9、如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）

A．在棱上存在点M，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

【答案】ABC

【解析】如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，

，又底面是菱形，，是等边三角形，

，又，，平面，

平面，故正确.

对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.

对于，∵平面平面，，平面，，

是二面角的平面角，设，则，，

在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.

对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.

故选：

二、达标训练

1、已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【解析】A．若，此时可能平行或异面，故A错误；

B．根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B正确；

C．若，此时或，故C错误；

D．选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D正确，

2、已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，．将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点.下列结论中正确的是（    ）

A． B．点到平面的距离为

C．平面 D．四面体的外接球表面积为

【答案】BD

【解析】因为，，

所以为等腰直角三角形，过C做，交AB于F，如图所示：

所以，即AE=BF，又，，

所以，则，

对于A：因为，，平面BCDE，

所以平面BCDE，平面BCDE，

所以，

若，且平面ADE，

则平面ADE，

所以DE

与已知矛盾，所以BC与AD不垂直，故A错误；

对于B：连接MC，如图所示，

在中，DE=DC=1，所以，又，EB=2，

所以，所以，

又因为，平面AEC，

所以平面AEC，平面AEC，

所以，即为直角三角形，

在中，，所以，

因为是的中点，

所以的面积为面积的一半，所以，

因为，

所以DE即为两平行线CD、EB间的距离，

因为，设点E到平面的距离为h，

则，即，

所以，所以点到平面的距离为，故B正确；

对于C：因为，平面ADC，平面ADC，

所以平面ADC，

若平面，且平面AEB，

所以平面ACD平面AEB，与已知矛盾，故C错误.

对于D：因为，所以的外接圆圆心为EB的中点，

又因为，所以的外接圆圆心为AB的中点M，

根据球的几何性质可得：四面体的外接球心为M，

又E为球上一点，在中，

所以外接球半径,

所以四面体的外接球表面积，故D正确.

3、如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（　　）

A．异面直线与所成的角可以为

B．二面角可以为

C．直线与平面所成的角为定值

D．线段的长为定值

【答案】BCD

【解析】对于选项A：若与所成的角为，因为，，

可设，所以，，所以，

所以，，，面，面，

又面，所以，与为等边三角形矛盾，故错误；

对于选项B：因为，所以，所以当点与点E重合时，二面角等于，故正确；

取DC的中点为N，EC的中点为P，因为B、N、P在同一条直线上，所以面面，因为与平面共面，所以直线面，所以直线与平面所成的角为定值，故正确；

对于D：，，

所以，所以线段的长为定值.

4、如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论正确的是（    ）

A．平面

B．

C．直线与所成角的范围为

D．二面角的大小为

【答案】ABD

【详解】对于选项A：因为平面平面，平面，

所以平面，故选项A正确；

如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，

，，，

对于选项B：，，因为

，所以，即，故选项B正确；

对于选项C：，，设直线与所成角为，

则，当时最大等于，此时最小为，当时最小等于，此时最大为，所以，即直线与所成角的范围为，故选项C不正确；

对于选项D：二面角即二面角，因为，，

平面，平面，所以即为二面角的平面角，

在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确；